高次元を観る

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169:高次厨  ◆f4LB0ypkynR3 
 11/06/12 22:33:12.85 
>>166 
４次元空間上で３次元球体を見込む超立体角の式は 
極座標表示で書いて積分していくと 
初等関数で解けるような気がしてきましたが 
いかがでしょうか？

170:高次厨  ◆f4LB0ypkynR3 
 11/06/13 22:48:21.19 
>>169 
 
とりあえず求まった式を使って等高線プロットしてみました 
 
http://www1.axfc.net/uploader/Sc/so/244597

171:高次厨  ◆f4LB0ypkynR3 
 11/06/13 23:52:14.16 
n = 1, 3 の場合が可積分みたいだから n = 5 はどうだろう 
とやってみたら、また解けそうな感じになっています

172:Nanasi, N.S.  忍法帖【Lv=13,xxxPT】  ◆NMwJFki61g 
 11/06/16 05:59:11.06  BE:2154672948-2BP(1000)
Σ( ﾟДﾟ) ｽｯ､ｽｹﾞｰ!!今まで変なミスリードしてスマソm(_ _)m 
これはすごいことになりますよ！俺もちょっとやってみた↓ 
 
n次元Euclid空間内で，原点を中心とした半径Rのn次元超球体をDとする． 
そのn次元Euclid空間に直交するz軸方向の値がZ(>0)の点から 
Dを見込むn次元超立体角をΩ_nとしたとき，Ω_nが一定値となる 
点全体が作る超曲面を表す式を求めよ． 
 
(x_1,x_2,…,x_n,z)=(X,0,0,…,0,Z)の点での超立体角は 
Ω_n=∬_D {Z/(√[(x_1-X)^2+x_2^2+…+x_n^2+Z^2])^(n+1)} dx_n dx_(n-1) … dx_1 
と表せて，ここで，√[(x_1-X)^2+x_2^2+…+x_n^2]=Ztanφと考えることを用いて， 
中心(X,0,…)半径Ztanφのn次元超球面の一部を 
中心(0,0,…)半径Rのn次元超球面で切り取った超表面積をS[φ]とすれば， 
Ω_n=∫[全てのφ] {S[φ] / (Z/cosφ)^(n-1)} ｄφ という式に帰着できる． 
 
例えば，Ω_1の場合で計算すると，Ω_1/2=Arctan[(X-R)/Z]-Arctan[(-X-R)/Z] 
となり，X^2 + (Z - R/tan[Ω_1/2])^2 = (R/sin[Ω_1/2])^2 が出る． 
n≧3の場合も，半頂角ψ=Arccos[X^2+(Ztanφ)^2-R^2)/(2XZtanφ)]で 
半径Ztanφのn次元超球面の一部である超表面積S[φ]が，n=3のときの 
2π(1-cosψ)(Ztanφ)^2 のように表せるとすれば解けそうです． 
 
n=2の円板に対する立体角の場合に限りArccosが残るので，前述の 
ベッセル関数のラプラス変換のように大変になるんすかねー

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