11/06/12 22:33:12.85
>>166
４次元空間上で３次元球体を見込む超立体角の式は
極座標表示で書いて積分していくと
初等関数で解けるような気がしてきましたが
いかがでしょうか？
170:高次厨 ◆f4LB0ypkynR3
11/06/13 22:48:21.19
>>169
とりあえず求まった式を使って等高線プロットしてみました
URLﾘﾝｸ(www1.axfc.net)
171:高次厨 ◆f4LB0ypkynR3
11/06/13 23:52:14.16
n = 1, 3 の場合が可積分みたいだから n = 5 はどうだろう
とやってみたら、また解けそうな感じになっています
172:Nanasi, N.S. 忍法帖【Lv=13,xxxPT】 ◆NMwJFki61g
11/06/16 05:59:11.06 BE:2154672948-2BP(1000)
Σ( ﾟДﾟ) ｽｯ､ｽｹﾞｰ!!今まで変なミスリードしてスマソm(_ _)m
これはすごいことになりますよ！俺もちょっとやってみた↓
n次元Euclid空間内で，原点を中心とした半径Rのn次元超球体をDとする．
そのn次元Euclid空間に直交するz軸方向の値がZ(>0)の点から
Dを見込むn次元超立体角をΩ_nとしたとき，Ω_nが一定値となる
点全体が作る超曲面を表す式を求めよ．
(x_1,x_2,…,x_n,z)=(X,0,0,…,0,Z)の点での超立体角は
Ω_n=∬_D {Z/(√[(x_1-X)^2+x_2^2+…+x_n^2+Z^2])^(n+1)} dx_n dx_(n-1) … dx_1
と表せて，ここで，√[(x_1-X)^2+x_2^2+…+x_n^2]=Ztanφと考えることを用いて，
中心(X,0,…)半径Ztanφのn次元超球面の一部を
中心(0,0,…)半径Rのn次元超球面で切り取った超表面積をS[φ]とすれば，
Ω_n=∫[全てのφ] {S[φ] / (Z/cosφ)^(n-1)} ｄφ という式に帰着できる．
例えば，Ω_1の場合で計算すると，Ω_1/2=Arctan[(X-R)/Z]-Arctan[(-X-R)/Z]
となり，X^2 + (Z - R/tan[Ω_1/2])^2 = (R/sin[Ω_1/2])^2 が出る．
n≧3の場合も，半頂角ψ=Arccos[X^2+(Ztanφ)^2-R^2)/(2XZtanφ)]で
半径Ztanφのn次元超球面の一部である超表面積S[φ]が，n=3のときの
2π(1-cosψ)(Ztanφ)^2 のように表せるとすれば解けそうです．
n=2の円板に対する立体角の場合に限りArccosが残るので，前述の
ベッセル関数のラプラス変換のように大変になるんすかねー
173:Nanasi, N.S. 忍法帖【Lv=15,xxxPT】 ◆NMwJFki61g
11/06/16 06:19:03.75 BE:1818004493-2BP(1000)
ちなみに，私は違う号を見てて勘違いしてましたが，「初等数学」の
次回67号の締切りは7月16日(土)ということですので，あとちょうど1ヶ月でした！
僕も何かしら匿名ハンドルネームで出したいぉ…何卒よしなに
174:高次厨 ◆f4LB0ypkynR3
11/06/16 11:53:21.34
>>173
ハンドルネームできるといいですね。
Neetubot さん第一著者＆ corresponding auther にしますか？
175:高次厨 ◆f4LB0ypkynR3
11/06/16 12:22:19.07
>>172
＞ 中心(0,0,…)半径Rのn次元超球面で切り取った超表面積をS[φ]とすれば，
＞ Ω_n=∫[全てのφ] {S[φ] / (Z/cosφ)^(n-1)} ｄφ という式に帰着できる．
n次元超球面ということは (n+1) 次元超球の表面という意味ですか？
S[φ] の意味が良く分かりません。
あと n 変数の積分 dx_1 … dx_n を 1 変数の積分 dφ にしているのが良く分かりません。
以上、教えて下さい。
一応、私のとった方法を：
Ω_3=∬_D {Z/(√[(x-X)^2+y^2+z^2+Z^2])^4)} dx dy dz
= 2πZ ∫_[r=0～R] dr ∫_[θ=0～π] r^2 sinθ(r^2 - 2Xr cosθ + X^2 + Z^2)^{-2}
= 2πZ ∫_[r=0～R] dr [ -(r/2X) (r^2 - 2Xr cosθ + X^2 + Z^2)^{-1} ]_[θ=0～π]
= 2πZ ∫_[r=0～R] dr (r/2X) { (r^2 + 2Xr + X^2 + Z^2)^{-1} - (r^2 - 2Xr + X^2 + Z^2)^{-1} }
= π (Z/X) ∫_[r=0～R] dr r { (r^2 + 2Xr + X^2 + Z^2)^{-1} - (r^2 - 2Xr + X^2 + Z^2)^{-1} }
以下略、で、
Ω_3= (π/2) (Z/X) { log [(R-X)^2 + Z^2] - log [(R+X)^2 + Z^2] }
+ π { atan [(R-X)/Z] + atan [(R+X)/Z] }
でした。
n = 5 は同様に部分積分で出来そうでした。
n = 4 だと r^{-(n+1)/2} でルートが出てきてしまいやっかいでした。
176:１３２人目の素数さん
11/06/16 12:34:09.26
>>173
あと１ヶ月か…できるかな
これだけすっきり解けてしまうと
既に研究されていないか、広く知られているのではないか
と疑ってしまいます。
177:高次厨 ◆f4LB0ypkynR3
11/06/16 12:36:12.91
トリップつけ忘れました >176
178:高次厨 ◆f4LB0ypkynR3
11/06/18 20:58:10.52
この辺
URLﾘﾝｸ(scholar.google.co.jp)
の論文が読みたいが、購入していないと読めない…
これ
URLﾘﾝｸ(arxiv.org)
とか参考になりそう
Ω_circ が Ω_2 に相当するのかな？
179:Nanasi, N.S. 忍法帖【Lv=16,xxxPT】 ◆NMwJFki61g
11/06/19 08:38:28.27 BE:4242011279-2BP(1000)
>>174
私は今回全く役に立っておりませんし，
余因子総和行列とか違うネタで出したい
気もしてるので，高次厨さんのお好きな名前でヨロシク( ｀・∀・´)ﾉ
LaTeXとかお手伝いできることは是非したいです．
>>178
自炊は任せてくんろー
投稿要領とかいろいろお送りしたいものありますので
neetubot(at)gmail.com までメール頂けるとありがたいです．
180:Nanasi, N.S. 忍法帖【Lv=17,xxxPT】 ◆NMwJFki61g
11/06/19 12:07:05.82
>>175
(n-1)次元超球面だったスマソ．
この積分のキモが最後のオフセットの所以外
は超球面の積分と酷似していると考え，
一般化してヤコビアンやn回積分やるのは嫌だったので，
答えから逆算して Z tanφ= x-X の置換より前の
(n-1)回の積分ではφに対する(n-1)次元超球面S[φ]
を出している計算だと見切って，式出してみました．
高次厨さんのΩ_3=(π/2)(Ω_1 + (Z/X) log([(R-X)^2 + Z^2]/[(R+X)^2 + Z^2]))
どころか私の式ではΩ_3が積分できなかったOTZ僕の事は忘れてください…
とりあえず，Ω_3とΩ_5がモンテカルロ法や逐次計算での
数値計算と整合すれば神ですな！
とりあえず，半径Rの URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
を(0,0,…,Z)から見込むHypersphere Angleの理論値は
Ω_n=(1-Z/√[Z^2+R^2]) π^((n+1)/2) / Γ((n+1)/2) っすか？
181:高次厨 ◆f4LB0ypkynR3
11/06/19 17:46:00.77
とりあえずこちらでは
lim_{X→0} Ω_3 = 2π[arctan(R/Z) - RZ/(R^2 + Z^2)]
となっています。
モンテカルロ法との比較では合っていると思います。
> a <- 0.2*1:10
> angle3_top(a)
[1] 7.4210267 5.3121967 3.7020550 2.5651136 1.7932095 1.2750782 0.9253656
[8] 0.6858795 0.5188039 0.3999097
> monte(10000, 3, 1, 0, a)
[1] 7.5700444 5.3408415 3.7121183 2.5693985 1.7952156 1.2760887 0.9259085
[8] 0.6861881 0.5189882 0.4000246
示された Hypersphere Angle の式と違っていますが、良く分かりません。
182:ゆ ◆KkNV/VOqcw
11/07/06 23:33:50.86
猫は規制
183:１３２人目の素数さん
11/07/17 12:40:15.33
URLﾘﾝｸ(dl7.getuploader.com)
184:検便のナウシカ ◆UVkh7uHFoI
11/09/14 17:57:13.94
3次元ユークリッド空間内の凸多面体で、任意の2頂点が隣り合うのは四面体のみだけど、
4次元以上だと豊富にあるらしい。
185:紙切れ君
11/09/22 23:49:27.65
>>12 は面白いと思いました。
>視覚で見る以外に立体を把握する能力が人にあるかどうか。
>なんとなくですが、駅の立体交差を歩いているときに
>視覚以外の立体認識が働いていそうです。
>どちらに行けば何があるか分かるような感覚。
３次元の宇宙空間（４次元球体に貼りついている）と
地球儀の平面上の人（３次元球体に貼りついている）を比べたら、
空間の内部にいる人からの高次元の歪み（曲率R）の目に見えない影響
が感覚的に感じれるように思います。
例えば、
「この３次元の宇宙空間をどんどん進んで、（４次元球から見て）
一番遠い所（地点ｚとする。１３７億光年くらい？決して無限ではなく、
有限の距離）に行ったら、自分がひっくり返って、その先に自分の背中を
見ている。」
は、
「地球儀の北極にいる人が一番遠い地点（南極）まで行ったら、
ひっくり返ってその先に自分の背中を見ている。」
と同じ。
186:紙切れ君
11/09/22 23:52:26.19
「この３次元の宇宙空間を上下左右、どの方向に進んでも、地点ｘに
たどり着く」
は、
「北極の人はどの方向に進んでも南極点にたどり着く」
で、さらに５次元球に貼りついた４次元空間、
６次元球に張りついた５次元空間、と拡張していっても、
「端まで行ったらひっくり返って自分の背中を見ている」というのは
同じと言える。
スレタイの「高次元を観る」について、
「ｎ次元空間は（n+１）次元球に張り付いている」、とした場合
・ｎ次元空間内の人は端まで行ったらひっくり返って自分の背中を見ている
ということを、
（１）ｎ次元空間内の人には分からない
（２）（ｎ＋１）次元空間の人からはよく見える
187:１３２人目の素数さん
11/09/24 14:01:47.16
>>185-186
１次元ホモトピーは３次元に埋め込こめるから考えやすいけれど
２次元ホモトピーは体感できるだろうか
>>184
任意の２頂点が隣り合うというのは
任意の２頂点が辺で結ばれている
ということかな
そうすると、ｎ頂点の完全グラフということかな
４次元で、ｎ がいくつのとき
完全グラフを凸多面体にうつせるか
うん、分からない
188:１３２人目の素数さん
11/10/10 10:16:33.21
４次元横丁のカレー屋までいく道順は何通り？
189:１３２人目の素数さん
11/10/21 07:26:18.84
4次元の地図が欲しい。