11/04/03 15:43:12.09
>>249
x - 1/2 という発想はどこから？
251:１３２人目の素数さん
11/04/03 18:18:19.82
>>238
C925.
f ∈ Ｃ^2([0,1]) で
∫[0,1] f(x)dx = 2∫[1/4,3/4] f(x)dx,
のとき、f "(x0) =0 を満たす点 x0 ∈ (0,1) が存在することを示せ。
C932.
f : [0,1] → Ｒ は連続関数
∫[0,1] {f(x)}^3 dx = 0,
のとき、次を示せ。
∫[0,1] {f(x)}^4 dx ≧ (27/4){∫[0,1] f(x)dx}^4,
C944.
f ∈ Ｃ^1([0,1])
∫[0,1] f(x) dx = 0,
A ≦ f '(x) ≦ B x∈[0,1]
のとき、次を示せ。
A ≦ 12∫[0,1] x･f(x)dx ≦ B,
252:１３２人目の素数さん
11/04/03 18:49:37.86
>>251
C925.
(左辺) - (右辺)
= ∫[0,1/4] f(x)dx - ∫[1/4,1/2] f(x)dx - ∫[1/2,3/4] f(x)dx + ∫[3/4,1] f(x)dx
= ∫[0,1/4] {f(x) -f(x+1/4) -f(x+1/2) +f(x+3/4)} dx
= ∫[0,1/4] g(x) dx
平均値の定理より
= (1/4)g(a) (0<a<1/4)
= (1/4){f(a) -f(a+1/4) -f(a+1/2) +f(a+3/4)}
= (1/16){f '(b) - f '(c)} (a<b<a+1/4, a+1/2<c<a+3/4)
= (1/16)(b-c)f "(x0), (b<x0<c)
253:１３２人目の素数さん
11/04/04 01:51:35.18
>>239-240
しょうがねぇなぁ････
基本対称式を a+b+c = s, ab+bc+ca = t, abc = u とおくと
(左辺) = (s^2 +t)/(st-u) -1/s = (s^3 + u)/{s(st-u)},
(右辺) = 2/√t,
(s^3 + u)^2 - (4/t){s(st-u)}^2 = (s^3)F_1 + (s^2)(u/t)(st-4u) + u^2 ≧ 0,
ここに
F_1 = a(a-b)(a-c) + b(b-c)(b-a) + c(c-a)(c-b) = s^3 -4st +9u ≧ 0, (Schurの不等式)
やっと解けた。しかし、めんどくせぇなぁ･･･
254:１３２人目の素数さん
11/04/04 03:44:39.82
URLﾘﾝｸ(d.hatena.ne.jp)
なんかみつけたけん
255:１３２人目の素数さん
11/04/04 08:24:10.34
>>254
よくある間違い。
１＜２と１００≦１００で等号が成り立つから１より１００の方が小さいとやってしまう。
ａ＝ｂ－＞０とすれば下の式は２より小さくなるから駄目。
256:１３２人目の素数さん
11/04/04 08:37:51.12
>>255
> １＜２と１００≦１００で等号が成り立つから１より１００の方が小さいとやってしまう。
言っている意味が分からないが、>>254が初歩的なミスをしていることは同意。
例えば、次のように説明すると分かりやすいかも？
>>254の主張を、グラフで視覚化してみよう！
y=x^2 と y=2x-1 において、x^2 ≧ 2x-1 が成り立つ。
等号成立条件は x=1のときで、このとき右辺は 2・1-1=1だから、x^2≧1
どう考えてもおかしいよね (・A・)ｲｸﾅｲ！
257:１３２人目の素数さん
11/04/04 09:04:09.55
a=b=c=1/3^(1/2)
1/(a+b)+1/(a+c)+1/(b+c)-1/(a+b+c)=7*3^(1/2)/6=2.0207259421
7/(3((a+b)(a+c)(b+c))^(1/3))=7*3^(1/2)/6=2.0207259421
a=b=0.1,c=4.95
1/(a+b)+1/(a+c)+1/(b+c)-1/(a+b+c)=5.2018648466
7/(3((a+b)(a+c)(b+c))^(1/3))=1.3555198072
2.0207259421>=2.0207259421>=2
5.2018648466>=1.3555198072>=2
258:１３２人目の素数さん
11/04/04 10:01:03.59
>>253
等号成立は0,1,1のときしかないんだよね？
259:１３２人目の素数さん
11/04/05 01:02:06.67
>>244の最後からね
{1/(x+y+z)}*{z/(x+y) + x/(y+z) + y/(z+x)} + 2/(x+y+z)
={1/(x+y+z)}*{z/(x+y) + x/(y+z) + y/(z+x)} (xy+xz+yz)+ 2/(x+y+z)
=1/2*({1/(x+y+z)}*{z/(x+y) + x/(y+z) + y/(z+x)} (z(x+y)+x(y+z)+y(x+z)))+ 2/(x+y+z)
>=1/2*({1/(x+y+z)}*(x+y+z)^2+ 2/(x+y+z)
=(x+y+z)/2+ 2/(x+y+z)>=2
260:239
11/04/05 01:47:07.55
>>259 >>244
お見事でござる。
コーシー不等式 z/(x+y) + x/(y+z) + y/(z+x) ≧ (s^2)/(2t) がミソだった。
>>258
そうでつね。
261:１３２人目の素数さん
11/04/05 02:01:12.29
>>242
が言いたかったことが やっと分かった。
｛［（ ）］｝をたくさん使ってくれると ありがたいです。
262: ◆BhMath2chk
11/04/06 12:00:00.55
>>248
>>250
∫＿［０，１］（（ｄｆ／ｄｘ）（ｘ）－ｇ（ｘ））＾２ｄｘ
＝∫＿［０，１］（ｄｆ／ｄｘ）（ｘ）＾２ｄｘ＋∫＿［０，１］２（ｄｇ／ｄｘ）（ｘ）ｆ（ｘ）ｄｘ＋∫＿［０，１］ｇ（ｘ）＾２ｄｘ＋２（ｆ（０）ｇ（０）－ｆ（１）ｇ（１））。
（ｄｇ／ｄｘ）（ｘ）＝－１，（ｄｆ／ｄｘ）（ｘ）＝ｇ（ｘ）となるｆが存在するようにｇをとるとｇ（ｘ）＝－ｘ＋１／２。
263: ◆BhMath2chk
11/04/06 12:59:59.72
>>251
Ａ＝∫＿［０，１］ｆ（ｘ）ｄｘ。
∫＿［０，１］（ｆ（ｘ）＾２＋３Ａｆ（ｘ）－（９／２）Ａ＾２）＾２ｄｘ
＝∫＿［０，１］ｆ（ｘ）＾４ｄｘ＋６Ａ∫＿［０，１］ｆ（ｘ）＾３ｄｘ－（２７／４）Ａ＾４。
１２∫＿［０，１］ｘｆ（ｘ）ｄｘ
＝∫＿［０，１］（１２ｘ－６）ｆ（ｘ）ｄｘ
＝［（６ｘ＾２－６ｘ）ｆ（ｘ）］＿０＾１－∫＿［０，１］（６ｘ＾２－６ｘ）（ｄｆ／ｄｘ）（ｘ）ｄｘ
＝∫＿［０，１］（６ｘ－６ｘ＾２）（ｄｆ／ｄｘ）（ｘ）ｄｘ
＝∫＿［０，１］（６ｘ－６ｘ＾２）ｄｘ（ｄｆ／ｄｘ）（ｓ） （０＜ｓ＜１）
＝（ｄｆ／ｄｘ）（ｓ）。
264:１３２人目の素数さん
11/04/09 09:02:08.28
a、b、c≧0のとき、(a^3 + b^3 + c^3)^4 ≧ (a^4 + b^4 + c^4)^3 を示せ
前にやったっけ？( ﾟ∀ﾟ)
265:１３２人目の素数さん
11/04/09 13:52:52.11
バンチで
266:１３２人目の素数さん
11/04/10 09:44:59.54
【数学検定】数検・児童数検総合スレッド Part.4
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
の４，４５
模範解答はａ＝ｂ≧ｃの場合が抜けている。
>>107
267:１３２人目の素数さん
11/04/10 18:56:36.30
>>264 >>107
>>76 の方法でござるな････ >>111
a^4 = a^3･a ≦ a^3･(a^3 +b^3 +c^3)^(1/3),
巡回的にたすと
a^4 + b^4 + c^4 ≦ (a^3 +b^3 +c^3)^(4/3),
a^3 = a^4 /a ≧ a^4 /(a^4 +b^4 +c^4)^(1/4),
巡回的にたすと
a^3 + b^3 + c^3 ≧ (a^4 +b^4 +c^4)^(3/4),
あるいは Max{a,b,c}=M とおいて
a^4 + b^4 + c^4 ≦ M(a^3 +b^3 +c^3),
(a^4 +b^4 +c^4)^3 ≦ (M^3)(a^3 +b^3 +c^3)^3 ≦ (a^3 +b^3 +c^3)^4,
>>266
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:44-45番)
数検総合スレ４
URLﾘﾝｸ(www.suken.net) → 1級 検定問題(2次)
URLﾘﾝｸ(www.suken.net)
268:１３２人目の素数さん
11/04/12 10:48:14.35
a, b, c を実数とするとき, (a^2+b^2+c^2)^2≧3(a^3b+b^3c+c^3a)を証明せよ。
269:じゅー
11/04/12 21:29:19.35
>>268
ｷｬｽﾌｨ高校数学板 - 不等式 - 517,519,523
…………
ではｷｬｽﾌｨからもう一題。
a,b,cを三角形の三辺とするとき、
a^3+b^3+c^3+3abc
≧2(ab^2+bc^2+ca^2)
を示せ。
ｷｬｽﾌｨ高校数学板 - チャレンジ問題 - 60
270:訂正
11/04/12 21:34:07.11
523→522
60→59
に訂正です。
271:１３２人目の素数さん
11/04/13 21:45:47.80
>>269
|a-b|<cの両辺を２乗して変形し
a^2+b^2-c^2<2ab
ca^2+cb^2-c^3<2abc
同様に
ab^2+ac^2-a^3<2abc
bc^2+ba^2-b^3<2abc
足して
ca^2+cb^2+ab^2+ac^2+bc^2+ba^2<a^3+b^3+c^3+6abc
ab^2+ bc^2+ca^2+3abc<a^3+b^3+c^3+6abc
ab^2+ bc^2+ca^2<a^3+b^3+c^3+3abc
失敗した…
272:１３２人目の素数さん
11/04/14 08:28:54.62
失敗かよ！
273: ◆BhMath2chk
11/04/14 18:00:00.06
ｐ＝（ｂ＋ｃ－ａ）／２。
ｑ＝（ａ＋ｃ－ｂ）／２。
ｒ＝（ａ＋ｂ－ｃ）／２。
ａ＝ｑ＋ｒ。
ｂ＝ｐ＋ｒ。
ｃ＝ｐ＋ｑ。
ａ＾３＋ｂ＾３＋ｃ＾３＋３ａｂｃ－２（ａｂ＾２＋ｂｃ＾２＋ａ＾２ｃ）
＝２（ｐｑ＾２＋ｐ＾２ｒ＋ｑｒ＾２－３ｐｑｒ）
≧０。
274:じゅー
11/04/14 21:33:49.09
正解!!
275:１３２人目の素数さん
11/04/14 21:55:29.13
？
276:２７１
11/04/14 22:28:05.71
>>273
すげー！
このスレ見てたら、不等式に魅了されたよ
>>275
相加相乗
277:１３２人目の素数さん
11/04/14 23:26:13.93
>>273みたいなアクロバティックな変形は思いつかなかったので・・・
a^3-a^2c+abc-ab^2=a(a^2-ac-bc-b^2)=a(a-b)(a+b-c)>a(a-b)
b^3-b^2a+abc-bc^2=b(b^2-ba+ac-c^2)=b(b-c)(b+c-a)>b(b-c)
c^3-c^2b+abc-ca^2=c(c^2-cb+ab-a^2)=c(c-a)(c+a-b)>c(c-a)
全部足して
=a^3+b^3+c^3+3abc-2(ab^2+bc^2+ca^2)>a(a-b)+b(b-c)+c(c-a)
=a^2-ab+b^2-bc+c^2-ca={(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}/2≧0
よって(左辺)-(右辺)≧0
むーん
278:277
11/04/14 23:31:35.12
符号打ち間違えた
×a^3-a^2c+abc-ab^2=a(a^2-ac-bc-b^2)=・・・
○a^3-a^2c+abc-ab^2=a(a^2-ac+bc-b^2)=・・・
273はいったいどういう発想でその置換を思いついたのだろう
レベルの低いおいらにはわかんないや
279:１３２人目の素数さん
11/04/15 12:42:51.39
p,q,rはヘロンの公式に出てくる量だから、三角形という条件がある場合には、
全く新しい発想というわけではないと思う。
目的関数が、非対称なので、コーシー・シュワルツ形へ持って行くのかと思っていたが、
[3]√((p/q)(q/r)(r/p))形を通して、相加相乗形へ持って行ったのには、感心した。
280:１３２人目の素数さん
11/04/16 00:58:02.78
p>0,x[i]≧0のとき
min{1,n^(p-1)}Σ[i=1→n](x[i])^p
≦(Σ[i=1→n]x[i])^p
≦max{1,n^(p-1)}Σ[i=1→n](x[i])^p
281:１３２人目の素数さん
11/04/17 11:42:27.80
流れてしまった春の学会で話そうとしていた内容をUPしておきました。
URLﾘﾝｸ(www.math.s.chiba-u.ac.jp)
282:１３２人目の素数さん
11/04/17 14:12:27.19
@273
a=x+y, b=y+z, z=x+yとおけば十分,
Σ_cyc (x^2y-xyz)≧0 Q.E.D.
283:１３２人目の素数さん
11/04/17 20:03:58.97
>>269
F_1 = (a+b+c)^3 - 4(a+b+c)(ab+bc+ca) + 9abc,
⊿ = (a-b)(b-c)(c-a),
とおくと、
F_1 ≧ ⊿,
284:１３２人目の素数さん
11/04/18 12:55:14.00
(a^2+b^2+c^2)^2-3(a^3b+b^3c+c^3a)
=(1/2){(a^2-b^2-ab++2bc-ca)^2+(b^2-c^2-bc+2ca-ab)^2+(c^2-a^2-ca+2ab-bc)^2}
285:じゅー
11/04/18 15:27:18.36
すげぇ
286:１３２人目の素数さん
11/04/18 17:17:34.76
どうやって思いついたんだ??
287:１３２人目の素数さん
11/04/18 21:12:59.72
二 ｀丶、｀丶、_＼__＼〉ﾉﾉへ!
`‐-、 二. ｀ヽ、 ミ￣ ／⌒ｼ′）
二‐/,ｨ┐|=ミ=┘ ,r‐'_二ﾆ....イ
‐ニ| i＜ ｉ ,..-=ﾆ‐''＼ /彡}
二‐ヽ ┘ ｜ lヾ. } } / /リ
ﾆ ‐'"/ / |_{;)} ﾚ' /(（ エレガントな証明を見ると・・・・・
' / / '" ` `ﾞ / ｿ
/ , Ｆ'′/ なんていうか･･････その･･･
ヽ. ＼、 L`___l
＿＼ ヽ._>┘ 下品なんですが･･････フフ･････
／了＼＿ノ
◆（ 勃起･･････しちゃいましてね･････････
門｜
288:１３２人目の素数さん
11/04/19 01:17:01.91
>>286
p = a^2 -ab +bc,
q = b^2 -bc +ca,
r = c^2 -ca +ab,
とおくと、
p + q + r = a^2 + b^2 + c^2,
pq + qr + rp = a^3･b + b^3･c + c^3･a,
これらを↓に代入する。
(p+q+r)^2 -3(pq+qr+rp) = (1/2){(p-q)^2 + (q-r)^2 + (r-p)^2} ≧ 0,
289:１３２人目の素数さん
11/04/19 03:02:58.17
>>288
> p = a^2 -ab +bc,
> q = b^2 -bc +ca,
> r = c^2 -ca +ab,
> とおくと、
どうやって思いついたんだ??
290:286
11/04/19 06:56:22.13
確かに。
p+q+r=a^2+b^2+c^2
pq+qr+rp=a^3b+b^3c+c^3a
からp=a^2-ab+bc……を出すのは難しいと思う。
291:１３２人目の素数さん
11/04/19 23:03:28.82
〔類題〕
a,b,c ≧ 0、3/4≦r≦8/3 のとき
(a^2 +b^2 +c^2)^2 ≧ 3{a^r･b^(4-r) + b^r･c^(4-r) + c^r･a^(4-r)},
なら簡単だが･････
292:１３２人目の素数さん
11/04/19 23:12:30.94
>>291 の訂正 ｽﾏｿ
４／３ ≦ r ≦ 8/3 のとき
293:１３２人目の素数さん
11/04/20 00:16:10.72
>>291-292
相加･相乗平均で
{(3/4)r -1}a^4 +2(ab)^2 +{2 -(3/4)r}b^4 ≧ 3a^r･b^(4-r),
巡回的にたす。
294:１３２人目の素数さん
11/04/20 00:20:00.49
思いつくんじゃないのならできる。
295:１３２人目の素数さん
11/04/20 01:31:20.75
>>289,290
それは, 秘密です. DX
296:１３２人目の素数さん
11/04/20 02:06:55.71
初代スレの頃には、ここで不等式を探してﾊｧﾊｧ…してたんだけど、移転したのかな？
Kalva homepage
URLﾘﾝｸ(web.archive.org)
検索したら、次のサイトが出てきたけど、扱ってる問題が減ってない？
URLﾘﾝｸ(www.cs.cornell.edu)
297:１３２人目の素数さん
11/04/23 23:38:27.16
〔問題549〕
任意の実数 x[1], x[2], ……, x[n] に対して 次を示せ。
∑[k=1,n] {x[k]/(1+∑[L=1,k] x[L]^2)} < √n,
（じゅー）
ｷｬｽﾌｨｰ 不等式 549, 574
298:１３２人目の素数さん
11/04/24 02:39:10.57
>>297
〔補題〕
負でない実数 y[1], y[2], ……, y[n] に対して
Σ[k=1,n] y[n]／(1+y[1]+y[2]+････+y[n])^2 < 1,
299:１３２人目の素数さん
11/04/25 20:25:11.82
平面上に4つの定点A,B,C,Dと動点Pがある
Dが△ABCの内部にあるとき
PA+PB+PC+PDが最小となるPはP=Dのときであることを示せ
300:１３２人目の素数さん
11/04/26 00:31:40.08
>>298 の訂正....
〔補題〕
負でない実数 y[1], y[2], ……, y[n] に対して
Σ[k=1,n] y[k]／(1+y[1]+y[2]+････+y[k])^2 < 1,
301:１３２人目の素数さん
11/04/26 12:45:59.84
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十九問
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:542番)
AB＝3、BC＝4、CA＝5 の三角形において
36°＜ C ＜ 37° を示せ。
302:１３２人目の素数さん
11/04/26 22:58:09.11
>>301 左側
∠B = 90ﾟ だから
cos(C) = 4/5, sin(C) = 3/5,
cos(2C) = 7/25,
sin(4C)/sin(C) = 4cos(C)cos(2C) = 112/125 < 1,
sin(4C) < sin(C),
36ﾟ < 180ﾟ/5 < C
C ≒ 36.8699ﾟ
303:１３２人目の素数さん
11/04/27 02:34:23.79
>>299
PA ≧ DA - PDcos(∠ADP), (PからADの延長線に垂線を下ろす)
PB ≧ DB - PDcos(∠BDP),
PC ≧ DC - PDcos(∠CDP),
∴ PA + PB + PC + PD ≧ (DA + DB + DC) + PD{1-cos(ADP) －cos(BDP) -cos(CDP)}
次に 1-cos(ADP) －cos(BDP) -cos(CDP) ≧ 0 を示せばよい。
304:１３２人目の素数さん
11/04/27 09:45:05.17
>>302
正解です。
右側評価をお願いします。
305:１３２人目の素数さん
11/04/27 10:02:46.60
URLﾘﾝｸ(izu-mix.com)
306:１３２人目の素数さん
11/04/28 02:09:28.16
>>301 >>304
∠B=90ﾟ ゆえ直角三角形で
tan(C) = 3/4,
tan(5C) = {(tan C)^5 -10(tan C)^3 +5(tan C)}/{1 -10(tan C)^2 +5(tan C)^4}
= 237/(4･19･41),
0 < 5C - 180ﾟ < tan(5C) = 237/(4･19･41) ≒ 4.3578625ﾟ,
180ﾟ < 5C < 184.3578625ﾟ
36ﾟ < C < 36.8715725ﾟ
東大入試作問者スレ１９-578
307:１３２人目の素数さん
11/04/28 12:55:42.80
a_1,a_2,....a_nを正の数列とし、b_1, b_2....b_nを、その数列の任意の置換とする。
このとき、
a_1/b_1 + a_2/b_2 + ..... a_n/b_n ≧ n を示せ。
って有名だっけ？
308:１３２人目の素数さん
11/04/28 14:44:03.42
はい, AM-GM or C.S.で秒殺です^_^
309:１３２人目の素数さん
11/04/28 14:51:01.39
a, b, cを正の実数とするとき, 次の不等式を証明せよ。
\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}≧\frac{\sqrt{2}}{4}}(\sqrt{a^2+b^2} +\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\right)
310:307
11/04/28 23:31:17.26
>>308
すまぬ、文系のおれに、その略語の意味をおしえてくれ。
C.S.はコーシーシュワルツ？・・・ってどうやって？
311:１３２人目の素数さん
11/04/29 06:47:11.86
>>309
2(a^2 + b^2) = (a+b)^2 + (a-b)^2 ≧ (a+b)^2, より
(a^2)/(a+b) = (a-b)/2 + (a^2 +b^2)/{2(a+b)} ≧ (a-b)/2 + {(√2)/4}√(a^2 + b^2),
循環的にたす。
312:１３２人目の素数さん
11/04/29 08:23:28.12
>>311
そんな変形、思いつきませぬ！
313:１３２人目の素数さん
11/04/29 09:15:15.97
>>311
(a^2 +b^2)/{2(a+b)} ≧ (a+b)/4 と変形できるから、循環的に足して、
a^2/(a+b) + b^2/(b+c) + c^2/(c+a) ≧ (a+b+c)/2
となったけど、
{(√2)/4}*{√(a^2 + b^2) + √(b^2 + c^2) +√(c^2 + a^2)}
と、どっちが大きいん？
314:１３２人目の素数さん
11/04/29 09:51:49.21
>>309を改造
a^2/(a+b) + b^2/(b+c) + c^2/(c+a)
≧ {(√2)/4}*{√(a^2 + b^2) + √(b^2 + c^2) +√(c^2 + a^2)}
≧ (a+b+c)/2
これで合ってるよね？ ｳﾋｮｯ！
315:１３２人目の素数さん
11/04/29 11:14:28.55
a,b,c,d,e≧0
2a-b+3c-15d-12e=23
2a-6b-c-5d+11e=46
のとき
6a-3b+9c-15d+24e
の最小値を求めよ
316:311
11/04/29 16:09:24.65
>>313
√(a^2 + b^2) ≧ {(√2)/2}(a+b) より、･････
の方がベターだな。
>>314 は対称式。
a^2/(a+b) + b^2/(b+c) + c^2/(c+a)
≧ {(√3)/2}√(a^2 + b^2 + c^2)
≧ {(√2)/4}{√(a^2 + b^2) + √(b^2 + c^2) +√(c^2 + a^2)}
≧ (a+b+c)/2,
かな？
317:１３２人目の素数さん
11/04/29 16:45:31.78
>>315
f = 2a -b +3c -15d -12e,
g = 2a -6b -c -5d +11e,
h = 10b +8c +3d,
とおくと
6a -3b +9c -15d +24e
= (9/23)f + (60/23)g + (30/23)h
= (9/23)*23 + (60/23)*46 + (30/23)h (← 題意)
= 129 + (30/23)h
≧ 129, (← 題意)
等号成立は (a,b,c,d,e) = (35/2,0,0,0,1) のとき。
318:１３２人目の素数さん
11/04/29 18:43:56.56
>>316
> a^2/(a+b) + b^2/(b+c) + c^2/(c+a)
> ≧ {(√3)/2}√(a^2 + b^2 + c^2)
> ≧ {(√2)/4}{√(a^2 + b^2) + √(b^2 + c^2) +√(c^2 + a^2)}
> ≧ (a+b+c)/2,
さらに改良しやがったな、こんちきしょう（笑）
さすが不等式ヲタ！ にくいぜっ！
319:１３２人目の素数さん
11/04/29 20:59:49.54
>>316
> a^2/(a+b) + b^2/(b+c) + c^2/(c+a)
> ≧ {(√3)/2}√(a^2 + b^2 + c^2)
ここが分かりません…
> ≧ {(√3)/2}√(a^2 + b^2 + c^2)
> ≧ {(√2)/4}{√(a^2 + b^2) + √(b^2 + c^2) +√(c^2 + a^2)}
ここはCSでシコシコするんですね
320:１３２人目の素数さん
11/04/29 21:13:18.80
コーシー・シュワルツの不等式を用いることを、
シコシコする、or シコる、というのか・・・（笑）
321:１３２人目の素数さん
11/04/29 22:06:13.23
>>317
f と g の係数をうまく変えて
6a -3b +9c -15d +24e = ●f + ●g + ●h'
となる h と異なる h' > 0 が取れて、最小値が変わったりしないのかな？
322:１３２人目の素数さん
11/04/30 01:34:37.87
R^3＼{(0,0,0)}上の関数
f(x,y,z)=(4x^2+4xz+3y^2+3z^2)/(2x^2+2xz+y^2+z^2)
の最大値を求めよ
323:１３２人目の素数さん
11/04/30 03:58:12.84
>>322
f(x,y,z) ={(2x+z)^2 +3y^2 +2z^2}/{(1/2)(2x+z)^2 +y^2 +(1/2)z^2},
4 - f(x,y,z) = {(2x+z)^2 +y^2}/{(1/2)(2x+z)^2 +y^2 +(1/2)z^2} ≧ 0,
等号成立は 2x+z=y=0 のとき。
ついでに最小値は
f(x,y,z) - 2 = (y^2 +z^2)/{(1/2)(2x+z)^2 +y^2 +(1/2)z^2} ≧ 0,
等号成立は y=z=0 のとき。
324:１３２人目の素数さん
11/04/30 12:13:00.52
a, b, cをa^2+b^2+c^2+(a+b+c)^2≦4を満たす正の実数とするとき,
frac{ab+1}{(a+b)^2}+frac{bc+1}{(b+c)^2}+frac{ca+1}{(c+a)^2}≧3
を証明せよ。
325:１３２人目の素数さん
11/04/30 22:33:26.86
>>319
a^2/(a+b) + b^2/(b+c) + c^2/(c+a) ≧ {(√3)/2}√(a^2 + b^2 + c^2)
やっぱ、これが分からんです
326:１３２人目の素数さん
11/05/01 12:59:13.28
>>324
2{a^2 + b^2 + (b+c)(c+a)} = a^2 + b^2 + c^2 + (a+b+c)^2 ≦ 4,
ab + 1 ≧ ab + (1/2){a^2 + b^2 + (b+c)(c+a)}
= (1/2)(a+b)^2 + (1/2)(b+c)(c+a),
(左辺) ≧ (3/2) + (1/2){(b+c)(c+a)/(a+b)^2 + cyclic.}
≧ (3/2) + (3/2) (← 相加･相乗平均)
= 3,
327:１３２人目の素数さん
11/05/01 14:41:38.31
>>320
相撲の四股を踏む動作は、大地を踏みしめることで土の下に潜む「醜(ｼｺ)」を鎮めるための動作とされている。
醜（シコ）：醜悪なもの、強く恐ろしいもの。
328:１３２人目の素数さん
11/05/01 20:33:40.90
このスレの不等式ヲタって只者じゃないな。
暇つぶしにフラリと訪れて、サックリ解いて立ち去るような・・・
何者なんだ？
329:１３２人目の素数さん
11/05/01 20:59:56.98
ただの通りすがりの不等式ヲタです
330:１３２人目の素数さん
11/05/02 05:19:12.09
>>303
1 -cos(ADP) - cos(BDP) - cos(CDP) = 1 - ｅP・(ｅ_A + ｅ_B + ｅ_C),
ここに
ｅ_A、ｅ_B、ｅ_C、ｅP は DA、DB、DC、DP方向の単位ベクトルである。
|ｅ_P| = 1 と下の補題から 上式 ≧ 0 が成り立つ。
〔補題〕
Dが△ABCの内部にあるとき、
|ｅ_A + ｅ_B + ｅ_C | ≦ 1,
(略証)
ｅ_A = (cosα, sinα)
ｅ_B = (cosβ, sinβ)
ｅ_C = (cosγ, sinγ)
とおく。(0≦α<β<γ<2π)
題意より、DA,DB,DC が 180ﾟ以内に収まることはない。
∴ 0 <β-α<π,
0 <γ-β<π,
π <γ-α<2π,
このとき
|ｅ_A + ｅ_B + ｅ_C |^2
= (cosα+cosβ+cosγ)^2 + (sinα+sinβ+sinγ)^2
= 3 + 2cos(β-α) + 2cos(γ-β) + 2cos(γ-α)
= -3 + 4cos((β-α)/2)^2 + 4cos((γ-β)/2)^2 + 4cos((γ-α)/2)^2
= 1 + 8cos((β-α)/2)cos((γ-β)/2)cos((γ-α)/2)
≦ 1, (終)
331:１３２人目の素数さん
11/05/02 10:21:35.49
a,b,cはabc=8を満たす正の実数とする。
frac{1}{a+2b+3}+frac{1}{b+2c+3}+frac{1}{c+2a+3}≦1/3
を証明せよ。
332:１３２人目の素数さん
11/05/02 21:54:16.57
>>323
同次型の二変数関数の最大最小の解法って
何か定石みたいなのあるの？
333:１３２人目の素数さん
11/05/02 22:06:04.19
>>331
(abc)^(1/3) = g とおくと、与式は
1/{a+2b+3(g/2)} + 1/{b+2c+3(g/2)} + 1/{c+2a+3(g/2)} ≦ 1/{3(g/2)}
(右辺) - (左辺)
= {(a+2b)(b+2c)(c+2a) - (27/4)(a+b+c)gg - (27/4)ggg} / D (←通分)
= {24(aab+bbc+cca) + 48(abb+bcc+caa) +27abc -81(a+b+c)gg} /(12D)
= {(19aab +5cca + 35caa +13abb +9abc -81agg) + cyclic} /(12D)
= {a(19ab +5cc +35ca +13bb +9bc -81gg) + cyclic} /(12D)
= {5a(ab+ab+cc-3gg) + 13a(ca+ca+bb-3gg) + 9a(ab+bc+ca-3gg) + cyclic} /(12D)
≧ 0, (相加･相乗平均)
ここに D = [3(g/2)] [a+2b+3(g/2)] [b+2c+3(g/2)] [c+2a+3(g/2)],
334:１３２人目の素数さん
11/05/02 23:09:47.20
>>332
ない。
y/x=u で一変数に還元するのみ。