不等式への招待 第5章at MATH
不等式への招待 第5章 - 暇つぶし2ch106:132人目の素数さん
11/01/30 01:22:49
>>102
Q1=tx.A.x>0
Q2=tx.B. x>0 xはn次元ヴェクター

A または Bのいづれかが、正定あれば、(Aとする)
適当な T 正則マトリクス,が存在して
線形変換x=Tyにより

Q1=ty.E.ty
Q2=ty.L.y :L=対角マトリクス:Bも正定だからL>0


((Q1+Q2)/2)^2=(ty((E+L)/2)y)^2 =Sigma{i}(yi^2(1+Li))^2

Q1Q2=ty.y.ty.L.y=Sigma{i}yiLi

 Sigma{i}(yi^2(1+Li))^2 >= Sigma{i}yi^2Li
これから 
(Det(E+L)/2)^2>=Det(E)Det(L) 
つまり 
Det(A+B)/2>=(Det(A)Det(B))^(1/2)

107:132人目の素数さん
11/01/30 01:41:14
x,y,z≧0のとき
(x^3+y^3+z^3)^4≧(x^4+y^4+z^4)^3

108:132人目の素数さん
11/01/30 04:42:21
>>107

x^4 =X, y^4 =Y, z^4 =Z, 3/4 =p とおくと、与式は
 X^p + Y^p + Z^p ≧ (X+Y+Z)^p,
これは >>67 (2) の形だから、>>76 と同様にして示せる。

109:132人目の素数さん
11/01/30 04:50:57
>>103
下らんごくごく普通の関数解析の本に、そのような話題は嫌というほど載っている。
もはやそれらは楽しいリー群(位相群)やフーリエ解析などに昇華されている。


110:132人目の素数さん
11/01/30 05:07:33
>>103
ハーディー・リトルウッドの「不等式」がおすすめだ。
これがモデルになった関数解析(フーリエ解析)の本がある位だ。


111:108
11/01/30 05:35:42
>>107 (訂正)

 これは、>>62 の形だから・・・・

112:え(⌒▽⌒)?
11/01/30 10:34:05
y=e^x

113:132人目の素数さん
11/01/31 00:26:04
〔問題〕
A, Bを2次の実対称行列とするとき、次の不等式を示せ。
 tr(exp(A+B)) ≦ tr(exp(A))・tr(exp(B)),


ただし、exp(X) = E + Σ[n=1,∞) (1/n!)X^n, (Eは単位行列)


(注意) 
A,Bが交換可能ならば等式になりますが、AB≠BA のときには一般に不等式になります。
この結果は一般にA,Bがn次対称行列のときにも正しいのですが、2次のときなら、腕づくで計算してもできます。


数セミ増刊「数学の問題 第2集」No.96, 日本評論社 (1978)

114:132人目の素数さん
11/01/31 00:59:02
>>113

荒木不二洋 先生(元・京大、RIMS)の名作だな。

(;´д`) ハァハァ…

115:132人目の素数さん
11/01/31 15:43:55
>>106
>適当な T 正則マトリクス,が存在して
>線形変換x=Tyにより
>
>Q1=ty.E.ty
>Q2=ty.L.y :L=対角マトリクス:Bも正定だからL>0

A,B は非可換だから、一般に同時対角化は出来ないのでは?


116:132人目の素数さん
11/01/31 16:51:00
>>115
> A,B は非可換だから、一般に同時対角化は出来ないのでは?

はい。
A,B が同時対角化できるための必要十分条件は AB=BA(可換)なので、
>>106の証明は誤りです。
これが出来てしまうと>>113は等号になってしまいますから・・・

117:132人目の素数さん
11/01/31 17:00:47
>>103
一般的には、作用素環のノルム不等式と言われる分野ですかね。
もちろん、行列環だけでなくもっと一般的な物を扱っています。
一般論はコンヌなどの非可換幾何などとも関係して難しいです。


118:仙石60
11/01/31 17:22:17
>>113 
AB=BA ならば
Exp(A+B)=Exp(A)Exp(B) だから Tr(Exp(A+B))=Tr(Exp(A)Exp(B))=Tr(Exp(B)Exp(A))

Tr(Exp(A)Exp(B))=<Tr(Exp(A))Tr(Exp(B)) ですか?

 つまりTr(A.B)=<Tr(A)Tr(B) というわけですね?


119:仙石60
11/01/31 17:33:14
>>116
 >>106の証明は誤りです。

実の対称マトリクスについては同時対角は可能ではないのですか?
(証明を見たようなきがするのだが。。。。自信ない)
A,Bがエルミートで一方が正定であれば同時対角化(Lamda,En)が可能であるというのは
よく使ったような気がする。(正定の定義が違うのかな?)

120:132人目の素数さん
11/01/31 20:10:22
>>119
> 実の対称マトリクスについては同時対角は可能ではないのですか?

違います。

実際、AとBが同時対角化されたとします。
つまり、ある1つの直交行列 T が存在して、T^t A T, T^t B T が対角行列になる。

対角行列同士は交換可能なので、T^t A T と T^t B T は交換可能です。
つまり、
(T^t A T)・(T^t B T) = (T^t B T)・(T^t A T)
が成り立ちますが、Tは直交行列なので T^t T = Eより、
T^t AB T = T^t BA T
つまり,AB=BA となります。

しかし、任意の2つの正定値対称行列は交換可能とは限らないので、これは矛盾です。

121:仙石60
11/01/31 20:28:27
対角化の意味ですが、
 E、と Lamda=固有値マトリクス のふたつを意味しているのですが。



122:132人目の素数さん
11/01/31 20:43:42
>>121
何を言いたいのか全く分かりません。

>>103の証明を書いた >>106は以下の事実が間違っています。

A,Bを一般の正定値対称行列に対して

> Q1=tx.A.x>0
> Q2=tx.B. x>0 xはn次元ヴェクター
>
> A または Bのいづれかが、正定あれば、(Aとする)
> 適当な T 正則マトリクス,が存在して
> 線形変換x=Tyにより
>
> Q1=ty.E.ty
> Q2=ty.L.y :L=対角マトリクス:Bも正定だからL>0


123:仙石60
11/01/31 20:46:31
正定マトリクスの定義 (x*)Ax>0 for all x not zero
2個の実対称マトリクスA、Bについての2次形式
Q1=TxAx,Q2=TXBX とする。
Aが正定ならば、適当な正則マトリクスによる線形変換x=Tyにより新変数yについて
2次形式がyの各成分の2乗項だけをふくむ
Q1=ty y、Q2=ty L y L:対角まとりくす
とあらわせる

証明 略

124:仙石60
11/01/31 20:47:54
>何を言いたいのか全く分かりません。

チョット時間をおきませう

125:132人目の素数さん
11/01/31 22:16:26
>>123
その主張が間違っているんですよ。

具体的には、同じ線形変換 x=Ty で、
Q1=ty y、Q2=ty L y 

と表される(つまり、Q_1=<y,y> )のは良いのですが、
「Lが対角行列」というのが間違いです。

これが出来るためには AB=BA でなくてはなりません。
理由は>>120です。

126:仙石60
11/01/31 22:30:16
CLAIM:
BがC^mxn ならばA:=B*B:C^nxnは準正定マトリクスである。
逆に
エルミートマトリクスA:C^nxnが準正定ならば rank(B)=m (mはAの固有地の数)なるマトリクスB:C^mxn
をもちいてA=B*Bと表すことができる。

を証明せよ

A*=Aが成立するようなマトリクスをエルミートマトリクスという
A*はAの共役転置


127:仙石60
11/01/31 22:39:06
Claim2
 2個の実対称マトリクス:R^nxn、B:R^nxnについての2次形式
Q1=txAx,Q2=txBx  x:R^n t:transpose

A ガ正定ならば、適当な正則マトリクスT:R^nxn による線形変換x=Ty
によって、新変数yについては2次形式がyの各成分の二乗項だけをふくむ
Q1=ty y、Q2=ty L y、 L:対角マトリクス
と表せる

を証明せよ


128:仙石60
11/01/31 22:44:10
↑なお 一般にLの対角要素はBの固有地ではない。

129:132人目の素数さん
11/01/31 23:07:07
仙石60さんよ、これ以上書くと恥晒しになるから止めとけや



130:Fランク受験生
11/01/31 23:18:13
システム制御工学で使われるマトリクス演算手法ですね。
証明を期待しています。

131:132人目の素数さん
11/01/31 23:23:47
こんなやつは、30年ぐらい前いっぱい流行したよねえ。
恥を晒して墓までよ 気にすることは無い。

132:132人目の素数さん
11/02/01 00:09:59
正則行列と直交行列を混同しているような…

133:仙石60
11/02/01 00:22:36
そうだね

134:132人目の素数さん
11/02/01 01:33:17
>>128
糞コテめ!
さっさと消えろ!

我々のスレを荒らすな!
ここは不等式のスレだ、日本語読めるか? あん?

質問は質問スレでやれ!

135:132人目の素数さん
11/02/01 02:16:43
120と123は何ら矛盾してない。この件については仙石が正しい。

136:132人目の素数さん
11/02/01 20:11:43
【問題】
n次の実行列 A,B,C,D に対して,2n次の行列 X を
  X = [A B]
     [C D]
とおく.X が正定値対称行列のとき,

  det (X) ≦ det (A)・det(D)

を示せ.

137:132人目の素数さん
11/02/02 13:21:13
Det(A) !=0 としてもよい。 A=tF.F
 Det(X)=Det(A)Det[D-B.A^-1.C]

X X が正定値対称行列-=> C=tB ,A=tF.F-->B.A^-1.C=B.A^-1.tB=B.(tF.F)^-1.tB
=B.(F)^-1.tF^-1.tB=B.F^-1.t(B.F^-1)
=Y.Ty : y:=B.F^-1
Det[D-B.A^-1.C]=Det[D-Y.tY]<=Det(D)
 det (X) ≦ det (A)・det(D)

q.e.d


138:Fランク受験生
11/02/02 15:36:31
(1) A1>=B1,A2>=B2==>A1+A1>=B1+B2
(2) A>=B>=C ==> A >=C
(3)A1>=B1,A2>=B2 --->A1A2>=B1B2

間違っているのは(1)、(2)、(3)のどれでしょうか?



139:132人目の素数さん
11/02/02 15:57:27
>>138
オコチャマは消えろ!
カーッ(゚Д゚≡゚д゚)、ペッ

140:132人目の素数さん
11/02/02 16:14:29
↑ わからないとすぐそうやってごまかすんだから

141:132人目の素数さん
11/02/02 16:19:29
なんかアホの巣窟になっちまったなw

142:132人目の素数さん
11/02/02 16:24:41
猫がいなくなったから、猫に構ってた連中が持て余してんだろw
猫も必要悪ということだ。

143:132人目の素数さん
11/02/02 16:34:19
(1),(2) OK
(3) マちが日


144:132人目の素数さん
11/02/02 17:14:49
大学は試験シーズンだからな

ところで猫って大学の教員なの?

145:132人目の素数さん
11/02/02 17:21:50
>>144
無職のルンペンだよ

146:132人目の素数さん
11/02/02 18:14:26
一応非常勤をやっているんじゃなかったか?

147:132人目の素数さん
11/02/03 01:09:18
>>113
まづ、exp( ) の定義から、
 exp(xE) = (e^x)E,
 AB = BA ⇒ exp(A+B) = exp(A)・exp(B),
 exp(A'+xE) = (e^x)・exp(A'),
 exp(B'+yE) = (e^y)・exp(B'),
ところで、
 A = (tr{A}/n)E + A',
 B = (tr{B}/n)E + B',
とおくと tr{A'} = tr{B'} =0 となる。
これらを上記に代入すると、本問は
tr{A'} = tr{B'} =0 ⇒ tr{exp(A'+B')} ≦ tr{exp(A')}・tr{exp(B')},
に帰着する。

148:132人目の素数さん
11/02/03 01:27:19
>>113
A',B'は跡なしの2次行列だから、Cayley-Hamilton より
 (A')^2 = (a^2)E,  a = √(-det{A'}),
 (B')^2 = (b^2)E,  b = √(-det{B'}),
よって exp( ) の定義から
 exp(A') = cosh(a)・E + {sinh(a)/a}・A',
 exp(B') = cosh(b)・E + {sinh(b)/b}・B',
となる。また、
 tr{E} = n = 2,
 tr{A'} = tr{B'} = 0,
 tr{A'B'} = det{A'} + det{B'} - det{A'+B'} = 2ab・cosθ,
よって、
 tr{exp(A')exp(B')} = cosh(a)cosh(b)tr{E} + (・・・・)*tr{A'} + (・・・・)*tr{B'} + {sinh(a)sinh(b)/(ab)}tr{A'B'}
  = 2cosh(a)cosh(b) + 2sinh(a)sinh(b)・cosθ
  = (1+cosθ)cosh(a+b) + (1-cosθ)cosh(a-b)
  = (1+cosθ)f((a+b)^2) + (1-cosθ)f((a-b)^2)   (← *)
  ≧ 2f(a^2 + b^2 +2ab・cosθ)
  = 2f(-det{A'} -det{B'} +tr{A'B'})
  = 2f(-det{A'+B'})
  = tr{exp(A'+B')},

*)  f(t) = cosh(√t) = Σ[k=0,∞) (1/(2n)!)t^n, は t≧0 で下に凸。

149:103
11/02/03 19:02:06
うわっ、凄い勢いでレスが伸びていてびっくり!!

>>104-105>>109-110>>117
文献の案内ありがとうございます。
作用素環へ繋がっていくのですね。
それは奥が深いわけだ。


150:132人目の素数さん
11/02/03 23:28:08
>>138 >>143

(3)A1>=B1,A2>=B2 --->A1A2>=B1B2
ガ誤りであるような 実例を教えてください。


151:132人目の素数さん
11/02/04 00:11:48
A1=A2=[1,1],B1=B2=[-10,-10]

A1,A2,B1,B2>0 の例をもとむ

152:147-148
11/02/04 00:53:49
>>113
 ・・・・つまり、本題は次の補題に帰着した。

〔補題〕
2次の正方行列 A,B について 
 det(A) + det(B) - tr(AB) + tr(A)・tr(B) = det(A+B),

(略証) 成分を使って計算するだけ。

153:132人目の素数さん
11/02/04 01:19:06
√2+√3>πを示せ
エレガントに頼むよ

154:132人目の素数さん
11/02/04 13:18:51
√2+√3=3.14626...>π

155:132人目の素数さん
11/02/04 13:21:32
エレガントを 求めるのは厨房

156:Fランク受験生
11/02/04 13:43:44
>>152
〔補題〕
2次の正方行列 A,B について 
 det(A) + det(B) - tr(AB) + tr(A)・tr(B) = det(A+B),

計算しても等号がせいりつしません。
数値計算しても等号が成立しません。

どこがまちがっているのでしょうか
 det(A) + det(B) - tr(AB) + tr(A)・tr(B) ー det(A+B)=
a22 b11 + a23 a32 b11 + a33 b11 - a22 a33 b11 - a21 b12 - a23 a31 b12 +
a21 a33 b12 - a31 b13 + a22 a31 b13 - a21 a32 b13 - a12 b21 - a13 a32 b21 +
a12 a33 b21 + a33 b12 b21 - a32 b13 b21 + a11 b22 + a13 a31 b22 + a33 b22 -
a11 a33 b22 - a33 b11 b22 + a31 b13 b22 - a12 a31 b23 - a32 b23 +
a11 a32 b23 + a32 b11 b23 - a31 b12 b23 - a13 b31 + a13 a22 b31 -
a12 a23 b31 - a23 b12 b31 + a22 b13 b31 + a13 b22 b31 - a12 b23 b31 -
a13 a21 b32 - a23 b32 + a11 a23 b32 + a23 b11 b32 - a21 b13 b32 -
a13 b21 b32 + a11 b23 b32 + a11 b33 + a12 a21 b33 + a22 b33 - a11 a22 b33 -
a22 b11 b33 + a21 b12 b33 + a12 b21 b33 - a11 b22 b33


157:132人目の素数さん
11/02/04 13:51:59
>>156
お前、受験板に帰れよ!
カーッ(゚Д゚≡゚д゚)、ペッ

158:132人目の素数さん
11/02/04 13:54:04
147-148 は似非かはったりか?

159:132人目の素数さん
11/02/04 14:51:36
新着レスがあると思ってみたら、便所の落書き未満だったり…

160:132人目の素数さん
11/02/04 18:28:28
>>158
ということになります。

161:132人目の素数さん
11/02/04 18:44:13
(π-x)^3=31 実数xをもとむ
 エレガントに頼むよ


162:132人目の素数さん
11/02/04 19:14:14
156は何を計算してるのやら
2次の正方行列つってんだろが

163:132人目の素数さん
11/02/04 20:39:09
[問題]
正定値対称行列 A,B に対して tA + (1-t)B (0≦t≦1) に対して、
t の関数 f(t) = det (tA + (1-t)B)^{-1} は下に凸であることを示せ。

   t det (A) + (1-t) det(B) ≦ det (tA + (1-t)B).


164:132人目の素数さん
11/02/04 21:11:26
ばかばかし>>162

165:132人目の素数さん
11/02/04 21:13:14
えらそうにしている割に程度低すぎ>>162

166:132人目の素数さん
11/02/04 21:42:20
>>163
det (tA + (1-t)B). はn次の多項式
t det (A) + (1-t) det(B) はnの一次多項式

主張にムリガあるような気がするのだが?

たとえば t=~0
(1-t) det(B) >=det ((1-t)B).kjなぜなら(1-t)>(1-t)^n



167:132人目の素数さん
11/02/04 22:04:27
>>166
> たとえば t=~0

すまんが、t=~0 の意味を教えてもらえまいか?

168:132人目の素数さん
11/02/04 22:12:53



          ~0





169:132人目の素数さん
11/02/04 22:18:54
精子かYO!

170:132人目の素数さん
11/02/05 00:51:07
>>163
det (tA + (1-t)B). はtのn次の多項式
t det (A) + (1-t) det(B) はtの一次多項式

主張にムリガあるような気がするのだが?



171:132人目の素数さん
11/02/05 01:42:23
>>170
多項式の次数が違うことが、不等式が成立しないという根拠にはならんだろ。

例:実数 0< t <1 と自然数 n に対して、不等式 0< t^n < t は常に成立します。


172:132人目の素数さん
11/02/05 01:45:16
というか凸函数におけるイェンセンの不等式を知らんのか?


173:132人目の素数さん
11/02/05 02:48:24
>>170
多項式の次数が違うからといって、不等式が成立しないとは言ぇんぜん。
だな。

174:163
11/02/05 03:46:34
>>170
確かに主張は間違っていました。
(多項式の次数が違うからというのは理由にはなりません)

[>>163の訂正]
関数 f(t) = det (tA + (1-t)B )^{-1} は逆行列を取っているので、
凸性を表す不等式は(この f が凸であることを示すのが問い)
  t f(1) + (1 -t) f(0) ≧ f(t)
これを書き換えると、
  t det (A^{-1}) + (1-t) det(B^{-1}) ≧ det (tA + (1-t)B)^{-1}
と逆数を取った式でした。

あるいは、最初から A, B を逆行列 A^{-1}, B^{-1} (これらも正定値対称行列)にして
 t det (A) + (1-t) det(B) ≦ det (t^{-1} A + (1-t)^{-1} B)
という不等式を得ます。

175:132人目の素数さん
11/02/05 04:02:00
>>166 >>170

t=0,1 のとき 左辺は0ゆえ、因数定理から
 t・det(A) + (1-t)・det(B) - det{t・A + (1-t)・B} = t(1-t)f(t;A,B),


(例) n=2 の場合、
 t・det(A) + (1-t)・det(B) - det{t・A + (1-t)・B} = t(1-t)det(A-B),


176:132人目の素数さん
11/02/05 06:13:39
>>166 >>170

t=0,1 のとき 左辺は0ゆえ、因数定理から
 t^n・det{A} + (1-t)^n・det{B} - det{t・A + (1-t)・B} = t(1-t)g(t;A,B),


(例) n=2 の場合、
 t^2・det{A} + (1-t)^2・det{B} - det{t・A + (1-t)・B} = t(1-t)(tr{AB}-tr{A}tr{B}),

177:Fランク受験生
11/02/05 21:00:57
>実数 0< t <1 と自然数 n に対して、不等式 0< t^n < t は常に成立します。

(1)n>=3のばあいは
(2)実数 0< t <1 と自然数 n に対して、不等式 0< an t^n+an-1t^(n-1)+,,, < t は常に成立しますか?

178:132人目の素数さん
11/02/08 14:47:14
掃除していたら、昔のメモが出てきた、懐かしす…

問1.レベル(目糞)---------------------

a、b、c、d≧0 のとき、次式を証明せよ

1/a + 1/b + 4/c + 16/d ≧ 64/(a+b+c+d)


問2.レベル(鼻糞)---------------------

x、y、z≧0、x+y+z=1 のとき、次式を証明せよ

0 ≦ xy + yz + zx -2xyz ≦ 7/27

179:回答ー目糞
11/02/08 23:58:19
(1)P=1/a + 1/b + 4/c + 16/d - 64/(a + b + c + d)
   q=abcd(a+b+c+d)P の極点をもとめると( 11個)
{(a,b,c,d)=(0,0,c,0),(0,0,0,d),(-d,0,0,d),(a,0,0,0),(a,0,-a,0),....(d/4,d/4.d/2.d)}

どの極点の値もq=0になる。
qの形態から 是が最小値になる。
q>=0


180:回答ー鼻糞
11/02/09 00:33:05
q=xy + yz + zx -2xyz-Lamda(x+y-1)
の局地をもとめて
(L,x,y,z)={(4/9,1/3,1/3,1/3),(1/2,0,1/2,1/2),...}
qの値は{7/27,1/4,1/4,1/4}になる。
境界の(x、y、z)=(1,0,0) でq=0
0≦ xy + yz + zx -2xyz ≦ 7/27


181:132人目の素数さん
11/02/09 02:29:03
>>178

問1(目糞)
 {a, b, c/2, c/2, d/4, d/4, d/4, d/4} の8個で相加・調和平均あるいはコーシー
だな。

問2(鼻糞)
右側
 -1/2 ≦ 1/2 -x, 1/2 -y, 1/2 -z ≦ 1/2, より
 -(1/2)^3 ≦ (1/2 -x)(1/2 -y)(1/2 -z) < (1/2)^3,
上限は 3つの因子が同符号(正)のときで、相乗・相加平均より
  (1/2 -x)(1/2 -y)(1/2 -z) ≦ {(3/2 -x -y -z)/3}^3 = (1/6)^3,
これを展開する。左側は (ry

182:132人目の素数さん
11/02/09 07:48:14
問3.レベル(耳糞)-------------------------------

実数 x、y、z が、x+y+z=0 をみたすとき、次式を証明せよ

(|a|+|b|+|c|)^2 ≧ 2(a^2 + b^2 + c^2)

-----------------------------------------------

※ 差を取るのはミジンコでもできるので、エレガントに証明してください
 ミジンコといえば…
URLリンク(www.yomiuri.co.jp)

※ さらに n乗の場合に拡張できるなら、お願いします

183:132人目の素数さん
11/02/09 07:49:18
>>182
ごめん、a、b、cをx、y、zで読み替えてください

184:132人目の素数さん
11/02/11 00:21:14
>>182-183

問3(耳糞)
 ミジンコだが、差を取ってみた。

a+b+c = 0 より 三角不等式が成り立つ。
よって
 (左辺) - (右辺) = 2|ab| + 2|bc| + 2|ca| - a^2 - b^2 - c^2
 = |a|(|b|+|c|-|a|) + |b|(|c|+|a|-|b|) + |c|(|a|+|b|-|c|) ≧ 0,


185:184
11/02/13 02:46:47
>>183
 ごめん、a、b、cはn次元ベクトルだよね・・・・

186:132人目の素数さん
11/02/13 05:53:59
>>153
あまりエレガントぢゃねぇが・・・・

6 > 6 - 2/(9^2) = (22/9)^2,
∴ √6 > 22/9,

(√2 + √3)^2 = 5 + 2√6 > 89/9 = (22/7)^2 + 5/(21^2) > (22/7)^2,
∴ √2 + √3 > 22/7,

ところで、
 (1/6)π^2 = ζ(2) < 5/3 - 1/48 < 5/3 - 1/49 = (1/6)(22/7)^2,
∴ 22/7 > π,

スレリンク(math板:187番) , 199
東大入試作問者スレ19

187:132人目の素数さん
11/02/13 06:02:07
〔問題〕
 (14/3)√(5/11) > √2 + √3 を示してくださいです。


188:132人目の素数さん
11/02/13 06:24:28
>>187

 485 > (√484)(√486) = 22(9√6) = 99(2√6),
∴ 485/99 > 2√6,
∴ (14/3)^2・(5/11) = 980/99 > 5 + 2√6 = (√2 + √3)^2,


189:132人目の素数さん
11/02/13 11:06:40
>>136
Xは正定値なので、小行列式 det(A) >0である。
とくに A は正則行列なので、行列 X は以下のように分解できる。
 [A B] = [ I   O][A B]
 [C D]   [CA^{-1} I][O D-CA^{-1}B].
両辺の行列式を取れば、
 det(X) = det(A)・det(D-CA^{-1}B)
ここで X は対称行列なので C=B^t で A^{-1} も正定値行列なので、
det(D-CA^{-1}B) = det (D - B^t A^{-1}B) ≦ det(D).
よって、
 det(X) ≦ det(A)・det(D)
が示された。

190:132人目の素数さん
11/02/13 17:13:26
>>189
上手いなあ・・・


191:132人目の素数さん
11/02/13 21:58:06
>>153
ちっともエレガントぢゃねぇが・・・・

6 > 6 - 2/(9^2) = (22/9)^2,
∴ √6 > 22/9,
∴ (√2 + √3)^2 = 5 + 2√6 > 89/9,

ところで、
 (1/6)π^2 = ζ(2) < 5/3 - 1/48 < 5/3 - 1/54 = (1/6)(89/9) < (1/6)(√2 + √3)^2,
∴ √2 + √3 > π,

スレリンク(math板:187番) , 199
東大入試作問者スレ19

192:132人目の素数さん
11/02/14 00:58:05
〔補題〕
3 + 1/8 < 31^(1/3) < π < 355/113 < 22/7 < √2 + √3 < √10,

スレリンク(math板:220-222番)
東大入試作問者スレ19

・3 + 1/8 < 31^(1/3) は
 (3 + 1/8)^3 = 27 +27/8 +9/64 +(1/8)^3 = 31 -(5 -9/8 -1/64)/8 < 31,

・355/113 = 3 + 16/113 < 3 + 16/112 = 3 + 1/7 = 22/7,

・22/7 < √2 + √3 は >>186

・√2 + √3 < √10 は
 y = √x は上に凸: √a + √b < 2√{(a+b)/2} = √{2(a+b)},
 あるいは √a + √b = √{2(a+b) - (√a -√b)^2} ≦ √{2(a+b)},

193:132人目の素数さん
11/02/14 14:02:05
  π^6 = 945ζ(6) = 945*(1+1/2^6+1/3^6+...)
> 945*(1+1/2^6+1/3^6) = 945 + 945/64 + 35/27 = 945 + (14*64+48+1)/64 + {1+ (27+5)/(27*4)} = 961 + 1/64 + 5/108
> 961 = 31^2 = ([3]√31)^6

194:132人目の素数さん
11/02/15 02:48:13
>>193
お見事でござる。それでは次を出さねば・・・・

〔補題〕
 31^(1/3) < 306^(1/5) < π

左側は
 31^3 = 29791 < 29800,
 31^5 < 29800*31*31 = 298*310*310 < 306^3, (相乗・相加平均)

ハァハァ

195:132人目の素数さん
11/02/16 21:56:14
このレベルの不等式を示すのに、(1/6)π^2 = ζ(2) を使うのはナンセンス。
証明すべきことより、(1/6)π^2 = ζ(2) の証明の方が遥かに難しく、証明になっとらんわw

ていうか、ここいつから大学入試問題スレになったんだよw
糞みたいな問題ばっかりで、詰まらない。

受験生は受験板でやれや

どうせ sin の無限積展開とか知らん奴は (1/6)π^2 = ζ(2) の事実を使うな!


196:132人目の素数さん
11/02/16 21:57:24
>>191-194
巣に戻れやボケ!

197:132人目の素数さん
11/02/16 22:23:34
君こそ消えたまえ!

198:132人目の素数さん
11/02/16 23:09:57
sin(23^23)>1/2

199:132人目の素数さん
11/02/17 06:26:46
>>197
あんたこそスレ違い
ここは受験問題のスレじゃない!

しかも、他スレのコピペだし

200:132人目の素数さん
11/02/17 12:29:35
157 :132人目の素数さん:2011/02/04(金) 13:51:59
>>156
お前、受験板に帰れよ!
カーッ(゚Д゚≡゚д゚)、ペッ


201:132人目の素数さん
11/02/17 14:14:52
どうして荒れるのかなぁ…
初代スレからの住人としては悲しい限り

202:132人目の素数さん
11/02/17 14:33:46
このスレは今まで荒れることがなかったから耐性ないねw
スレの数が減ったために目につきやすくなったからある程度は仕方ないね。
スルーしとけばいいと思うよ。

203:132人目の素数さん
11/02/18 13:53:48
>>201
入試問題ばかりになっちまったからだろ

スレ住人が塾講師の連中ばかりになっちまったというよ。


204:132人目の素数さん
11/02/18 22:38:59
>>198 お願いします

205:132人目の素数さん
11/02/19 21:50:20.35
>>198 >>204

URLリンク(www.wolframalpha.com)

と言う他はない。

206:132人目の素数さん
11/02/20 00:42:17.01
>>194
このレベルの不等式を示すのに (1/93555)π^10 = ζ(10) を使うのはナンセンス。
証明すべきことより、(1/93555)π^10 = ζ(10) の事実の方が遥かに難しいから、証明になっとらんわw
とは思いつつ・・・・

 π^10 = 93555ζ(10)
  = 93555・{1 + (1/2)^10 + ・・・・}
  > 93555・(1 + 1/1024)
  > 93555・(1 + 1/1155)
  = 93555 + 91
  = 93646
  = 306^2,


207:206
11/02/20 03:54:59.36
>>194 (訂正)

π^10 = ・・・・
 = ・・・・・
 > 93555・(1 + 1/1155)
 = 93555 + 81
 = 93636
 = 306^2,

∴ 306^(1/5) < π

208:132人目の素数さん
11/02/20 04:19:51.61
>>192

y=1/x^6 は下に凸だから
 1/k^6 < ∫[k-0.5, k+0.5] 1/x^6 dx = (1/5){1/(k-0.5)^5 - 1/(k+0.5)^5},
これを使って
 (1/945)π^6 = ζ(6)
  = 1 + 1/2^6 + 1/3^6 + ・・・・
  < Σ[k=1,n] 1/k^6 + ∫[n+1/2,∞) 1/x^6 dx
  = 1 + 1/2^6 + 1/3^6 + 1/4^6 + 1/5^6 + 1/6^6 + 1/(5*6.5^5) (n=6 とおく)
  = 1 + (3^6 + 2^6 + 1)/(6^6) + 1/4^6 + 1/5^6 + 32/(5*13^5)
  = 1 + 794/(6^6) + 1/4^6 + 1/5^6 + 32/(5*13^5)
  < 1 + (35431020482 + 508289003 + 133244913 + 35886729)/(113^6)
  = 1 + 36108441127/(113^6)
  = 1 + 34122476865015/(945・113^6)
  < 1 + 34122530050120/(945・113^6)
  = (1/945)(355/113)^6,

∴ π < 355/133 ・・・・・・ 密率(「隋書」)

祖沖之(429-500)

209:208
11/02/20 04:33:00.68
>>192
またまた訂正・・・・

 π < 355/113 ・・・・・・ 密率
 π < 22/7   ・・・・・・ 約率


210:132人目の素数さん
11/02/20 07:58:37.53
222/77 < π < 22/7

211:132人目の素数さん
11/02/20 08:02:12.86
3555/1133 < π < 355/113

212:132人目の素数さん
11/02/20 11:38:15.55
〔問題649〕
 a,b,c>0 のとき a+b+c=s とおくと
 a/√(s-b) + b/√(s-c) + c/√(s-a) < (5/4)√s,


casphy - 高校数学 - 不等式スレ 330, 375-376
→ 前スレ.649

213:132人目の素数さん
11/02/20 23:44:56.31
>>195
 正n角形とその内接円・外接円を使うのは、面倒な割に、精度がいまいち・・・・
 ζ函数の方が効率がいいし・・・
 他にいい方法がないかと思う今日この頃・・・

214:132人目の素数さん
11/02/26 05:15:12.79
今年の京大

1/2<a[i]<1のとき
Π(1-a[i])>1-2Σ(a[i]/2^i)
(i=2,3,…n)


215:132人目の素数さん
11/02/27 07:19:26.19
>>214

左辺を P[n] とおくと、
 P[n] = P[n-1]・(1-a[n])
   = P[n-1] - a[n]・P[n-1]
   = ・・・・・
   = 1 - Σ[i=1,n] a[i]・P[i-1]

 P[0] = 1,
 P[i] < 1/(2^i)   (i≧1)
から。

URLリンク(nyushi.yomiuri.co.jp)

スレリンク(math板:253番)
東大入試作問者スレ19

216:132人目の素数さん
11/02/27 10:20:07.83
〔問題〕
 0 < x < π のとき 次を示せ。
(1) 1/sin(x) - 1/x > x/6,
(2) {1/sin(x)}^2 - 1/x^2 > 1/3,


217:132人目の素数さん
11/02/28 03:57:23.98
今年の阪大で不等式の問題が出たが、難問だったらしい

218:132人目の素数さん
11/02/28 06:32:54.58
>>217
+   +
  ∧_∧  +
 (0゚・∀・)    ワクワク、テカテカ…
 (0゚∪ ∪ +
 と__)__) +

219:132人目の素数さん
11/02/28 10:19:21.16
阪大のってこれか
URLリンク(nyushi.nikkei.co.jp)

220:Fランク受験生
11/03/03 00:49:07.67
内容は簡単だと思うけど計算間違いをしているかも。。。

(1)
S(a)=(1/2)(a^2+1)^(n-1)
(2)
a=4 のときx=1.76になる


221:132人目の素数さん
11/03/03 23:48:54.04
>>217
全然難問じゃないじゃん。
大数で言うと C*** クラス。

222:132人目の素数さん
11/03/04 02:52:40.02
↑ 解いてから言え

223:132人目の素数さん
11/03/04 08:37:16.00
新参はまず過去レスを読んでこのスレの空気を知ってほしいね。

224:132人目の素数さん
11/03/04 08:47:21.33
数人の自演スレだからなぁ

225:132人目の素数さん
11/03/04 09:37:23.59

   / ̄ ̄\     
 /   _ノ  \  
 |   ( ●)(●)  <おっとそこまでだ
. |     (__人__)____
  |     ` ⌒/ ─' 'ー\
.  |       /( ○)  (○)\
.  ヽ     /  ⌒(n_人__)⌒ \
   ヽ   |、    (  ヨ    |
   /    `ー─-  厂   / ←>>224
   |   、 _   __,,/     \

226:132人目の素数さん
11/03/04 10:49:02.96
その後224の行方を知る者は誰もいなかった。

227:132人目の素数さん
11/03/05 12:42:07.49
>>226

URLリンク(kotonoha.cc)


228:132人目の素数さん
11/03/07 21:32:08.20
もう工房の入試問題スレになっちまったな・・・orz

229:132人目の素数さん
11/03/07 21:46:33.46
ageんな

230:猫は廃人 ◆MuKUnGPXAY
11/03/08 13:50:17.70



231:猫はボケ老人 ◆MuKUnGPXAY
11/03/08 19:29:40.79



232:132人目の素数さん
11/03/08 19:36:06.98
猫は小便垂れ流し

233:猫はボケ老人 ◆MuKUnGPXAY
11/03/08 19:40:50.01
目的を達成スル為であれば小便でも何でも垂れ流しますワ。




234:132人目の素数さん
11/03/14 01:35:56.47
「不等式」大関清太
URLリンク(www.kyoritsu-pub.co.jp)

  ∧_∧
  ( ;´∀`) < こ、こりゃたまらんっ!
  人 Y /
 ( ヽ し
 (_)_)

235:132人目の素数さん
11/03/17 15:37:44.25
a,b,c,dをabcd=1を満たす正の実数とするとき,
(a-1)(3a-7)+(b-1)(3b-7)+(c-1)(3c-7)+(d-1)(3d-7)≧0
を証明せよ。

236:132人目の素数さん
11/03/19 01:36:36.10
>>235

 (左辺) = f(log(a)) + f(log(b)) + f(log(c)) + f(log(d)),
ここで
 f(x) = (e^x - 1)(3e^x - 7) = 3(e^x - 5/3)^2 - 4/3 ≧ -4/3,
とおいた。

 f "(x) = 12{e^x - (5/6)}e^x > 0,   (x≧0)
ゆえ、
 x≧0 では f は下に凸。
 f '(0) = -4,
 k = -0.64298265 = log(0.5257220384) < x < 0 では f(x) > -4x,  
そこで
 F(x) = f(x),    x < k, 0 < x
    = -4x,    k ≦ x ≦ 0
とおく。(函数凸包、function convex hull)
 F(x) は x ≧ k で下に凸(広義)である。

(1) a,b,c,d ≧ e^k のとき、凸不等式より
 (左辺) ≧ F(log(a)) + F(log(b)) + F(log(c)) + F(log(d))
    ≧ 4F(log(abcd)/4) = 4F(0) = 4f(0) = 0,

(2) a,b,c,d の中に e^k より小さいものが1つだけある(a)とき、凸不等式より
 f(log(b)) + f(log(c)) + f(log(d)) ≧ F(log(b)) + F(log(c)) + F(log(d))
  ≧ 3F(log(bcd)/3) = 3F(-log(a)/3) = 3f(-log(a)/3)
 (左辺) ≧ f(log(a)) + 3f(-log(a)/3) ≧ f(k) + 3f(-k/3) = 0.21780074,

(3) a,b,c,d の中に e^k より小さいものが2つ以上ある(a,b)とき
  f(log(a)) ≧ f(log(b)) ≧ 2.5719306, f(log(c))≧-4/3, f(log(d))≧-4/3,
 により成立。

237:132人目の素数さん
11/03/22 06:15:56.83
今月は不等式が一杯載っている

Problem 365.
URLリンク(www.math.ust.hk)

238:132人目の素数さん
11/03/22 06:18:57.91
C950、M1862、C944など
URLリンク(www.mat.uniroma2.it)

239:132人目の素数さん
11/03/25 23:48:58.94
>>237

Problem 365.
負でない実数 a,b,c が ab+bc+ca = 1 を満たすとき、
 1/(a+b) + 1/(b+c) + 1/(c+a) - 1/(a+b+c) ≧ 2,
を示せ。

240:132人目の素数さん
11/03/26 01:40:10.75
>>239
俺もこれが面白いと思った
まだ解けぬ~

241:132人目の素数さん
11/03/27 23:30:24.83
>>239-240

 附帯条件から考えて、a→cotα, b→cotβ, c→cotγ と置いてみる・・・
 α+β+γ = π より,
 (左辺) = 1/(cotα+cotβ) + 1/(cotβ+cotγ) + 1/(cotγ+cotα) - 1/(cotα+cotβ+cotγ)
  = (sinα・sinβ)/sin(α+β) + (sinβ・sinγ)/sin(β+γ) + (sinγ・sinα)/sin(γ+α) - (sinα・sinβ・sinγ)/(1-cosα・cosβ・cosγ)
  = (sinα・sinβ)/sinγ + (sinβ・sinγ)/sinα + (sinγ・sinα)/sinβ -2(sinα・sinβ・sinγ)/[(sinα)^2 + (sinβ)^2 + (cosγ)^2]
  = (sinα・sinβ・sinγ){(1/sinα)^2 + (1/sinβ)^2 + (1/sinγ)^2 - 2/[(sinα)^2 + (sinβ)^2 + (cosγ)^2]}
  = 2⊿・{(1/a')^2 + (1/b')^2 + (1/c')^2 -2/[(a')^2 + (b')^2 + (c')^2]}
  = ・・・・
ここに、 a'=2R・sinα, b'=2R・sinβ, c'=2R・sinγ, ⊿ = 2R^2・sinα・sinβ・sinγ,

まだ解けぬるぽ~

242:132人目の素数さん
11/03/28 07:26:05.27
1/x+y+1/y+z+1/z+x-1/x+y+z
=1/x+y+z*(z/x+y+x/y+z+y/z+x)+2/x+y+z
>=1/x+y+z*(x+y+z)^2/2(xy+yz+zx)+2/x+y+z
=x+y+z/2+2/x+y+z>=2 Q.E.D.

243:132人目の素数さん
11/03/28 08:37:32.00
>>242
エスパー検定3級の俺には、どれが分母なのか読み取れねぇ・・・

244:132人目の素数さん
11/03/28 09:52:08.74
>242
2行目から3行目に何を使ったのか分からない

1/(x+y) + 1/(y+z) + 1/(z+x) - 1/(x+y+z)
= 1/(x+y) + 1/(y+z) + 1/(z+x) - 3/(x+y+z) + 2/(x+y+z)
1/(x+y+z)で括る
= {1/(x+y+z)}*{(x+y+z)/(x+y) + (x+y+z)/(y+z) + (x+y+z)/(z+x) - 3} + 2/(x+y+z)
= {1/(x+y+z)}*{1 + z/(x+y) + 1 + x/(y+z) + 1 + y/(z+x) - 3} + 2/(x+y+z)
= {1/(x+y+z)}*{z/(x+y) + x/(y+z) + y/(z+x)} + 2/(x+y+z)
後は頼んだ>243

245:243
11/03/28 10:52:27.44
では、引き継いで頑張ってみます

3(x^2 + y^2 + z^2) - (x+y+z)^2 = (x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2 ≧ 0

∴(x^2 + y^2 + z^2) ≧ (1/3)*(x+y+z)^2

z/(x+y) + x/(y+z) + y/(z+x)
= z^2/(zx+yz) + x^2/(xy+zx) + y^2/(yz+xy)
≧ z^2/(xy+yz+zx) + x^2/(xy+yz+zx) + y^2/(xy+yz+zx)
= (x^2 + y^2 + z^2)
≧ (1/3)*(x+y+z)^2

>>242の4行目から

= {1/(x+y+z)}*{z/(x+y) + x/(y+z) + y/(z+x)} + 2/(x+y+z)
≧ (x+y+z)/3 + 2/(x+y+z)
≧ 2√(2/3)

うむ、失敗したようじゃ…

246:243
11/03/28 10:56:30.96
>>245

>>242の4行目から → >>244の下から2行目から

だけど、もはやどうでもいい…

247:132人目の素数さん
11/03/29 02:54:50.22
>>241
 鋭角△に限定しなければならぬ~

 (a')^2 + (b')^2 ≧ (c')^2, etc.

248:132人目の素数さん
11/04/03 15:07:21.35
>>238

M1852.
 f∈ C^1([0,1]) で f(0) = f(1) = -1/6. のとき次を示せ。

 ∫[0,1] {f '(x)}^2 dx ≧ 2∫[0,1] f(x) dx + 1/4,


249:132人目の素数さん
11/04/03 15:38:26.07
>>248

部分積分により
 (右辺) = 2[ (x - 1/2)f(x) ](x=0,1) -2∫[0,1] (x - 1/2)f '(x)dx + 1/4
   = f(0) + f(1) + 1/4 -2∫[0,1] (x - 1/2)f '(x) dx
   = -1/12 -2∫[0,1] (x - 1/2)f '(x) dx,

  ∫[0,1] (x - 1/2)^2 dx = [ (1/3)(x - 1/2)^3 ](x=0,1) = 1/12,

よって
 (左辺) - (右辺) = ∫[0,1] {f '(x) + (x - 1/2)}^2 dx ≧ 0,

250:132人目の素数さん
11/04/03 15:43:12.09
>>249
x - 1/2 という発想はどこから?

251:132人目の素数さん
11/04/03 18:18:19.82
>>238

C925.
 f ∈ C^2([0,1]) で
 ∫[0,1] f(x)dx = 2∫[1/4,3/4] f(x)dx,
のとき、f "(x0) =0 を満たす点 x0 ∈ (0,1) が存在することを示せ。


C932.
 f : [0,1] → R は連続関数
 ∫[0,1] {f(x)}^3 dx = 0,
のとき、次を示せ。
 ∫[0,1] {f(x)}^4 dx ≧ (27/4){∫[0,1] f(x)dx}^4,


C944.
 f ∈ C^1([0,1])
 ∫[0,1] f(x) dx = 0,
 A ≦ f '(x) ≦ B   x∈[0,1]
のとき、次を示せ。
 A ≦ 12∫[0,1] x・f(x)dx ≦ B,

252:132人目の素数さん
11/04/03 18:49:37.86
>>251

C925.
 (左辺) - (右辺)
  = ∫[0,1/4] f(x)dx - ∫[1/4,1/2] f(x)dx - ∫[1/2,3/4] f(x)dx + ∫[3/4,1] f(x)dx
  = ∫[0,1/4] {f(x) -f(x+1/4) -f(x+1/2) +f(x+3/4)} dx
  = ∫[0,1/4] g(x) dx
平均値の定理より
  = (1/4)g(a)         (0<a<1/4)
  = (1/4){f(a) -f(a+1/4) -f(a+1/2) +f(a+3/4)}
  = (1/16){f '(b) - f '(c)}  (a<b<a+1/4, a+1/2<c<a+3/4)
  = (1/16)(b-c)f "(x0),    (b<x0<c)

253:132人目の素数さん
11/04/04 01:51:35.18
>>239-240
しょうがねぇなぁ・・・・

基本対称式を a+b+c = s, ab+bc+ca = t, abc = u とおくと
 (左辺) = (s^2 +t)/(st-u) -1/s = (s^3 + u)/{s(st-u)},
 (右辺) = 2/√t,

 (s^3 + u)^2 - (4/t){s(st-u)}^2 = (s^3)F_1 + (s^2)(u/t)(st-4u) + u^2 ≧ 0,
ここに
 F_1 = a(a-b)(a-c) + b(b-c)(b-a) + c(c-a)(c-b) = s^3 -4st +9u ≧ 0,  (Schurの不等式)

やっと解けた。しかし、めんどくせぇなぁ・・・

254:132人目の素数さん
11/04/04 03:44:39.82
URLリンク(d.hatena.ne.jp)
なんかみつけたけん

255:132人目の素数さん
11/04/04 08:24:10.34
>>254
よくある間違い。
1<2と100≦100で等号が成り立つから1より100の方が小さいとやってしまう。
a=b->0とすれば下の式は2より小さくなるから駄目。


256:132人目の素数さん
11/04/04 08:37:51.12
>>255
> 1<2と100≦100で等号が成り立つから1より100の方が小さいとやってしまう。

言っている意味が分からないが、>>254が初歩的なミスをしていることは同意。
例えば、次のように説明すると分かりやすいかも?
>>254の主張を、グラフで視覚化してみよう!

y=x^2 と y=2x-1 において、x^2 ≧ 2x-1 が成り立つ。
等号成立条件は x=1のときで、このとき右辺は 2・1-1=1だから、x^2≧1

どう考えてもおかしいよね (・A・)イクナイ!

257:132人目の素数さん
11/04/04 09:04:09.55
a=b=c=1/3^(1/2)
1/(a+b)+1/(a+c)+1/(b+c)-1/(a+b+c)=7*3^(1/2)/6=2.0207259421
7/(3((a+b)(a+c)(b+c))^(1/3))=7*3^(1/2)/6=2.0207259421

a=b=0.1,c=4.95
1/(a+b)+1/(a+c)+1/(b+c)-1/(a+b+c)=5.2018648466
7/(3((a+b)(a+c)(b+c))^(1/3))=1.3555198072

2.0207259421>=2.0207259421>=2
5.2018648466>=1.3555198072>=2


258:132人目の素数さん
11/04/04 10:01:03.59
>>253
等号成立は0,1,1のときしかないんだよね?

259:132人目の素数さん
11/04/05 01:02:06.67
>>244の最後からね
{1/(x+y+z)}*{z/(x+y) + x/(y+z) + y/(z+x)} + 2/(x+y+z)
={1/(x+y+z)}*{z/(x+y) + x/(y+z) + y/(z+x)} (xy+xz+yz)+ 2/(x+y+z)
=1/2*({1/(x+y+z)}*{z/(x+y) + x/(y+z) + y/(z+x)} (z(x+y)+x(y+z)+y(x+z)))+ 2/(x+y+z)
>=1/2*({1/(x+y+z)}*(x+y+z)^2+ 2/(x+y+z)
=(x+y+z)/2+ 2/(x+y+z)>=2

260:239
11/04/05 01:47:07.55
>>259 >>244
 お見事でござる。
 コーシー不等式 z/(x+y) + x/(y+z) + y/(z+x) ≧ (s^2)/(2t) がミソだった。

>>258
 そうでつね。

261:132人目の素数さん
11/04/05 02:01:12.29
>>242
が言いたかったことが やっと分かった。
{[( )]}をたくさん使ってくれると ありがたいです。

262: ◆BhMath2chk
11/04/06 12:00:00.55
>>248
>>250
 ∫_[0,1]((df/dx)(x)-g(x))^2dx
=∫_[0,1](df/dx)(x)^2dx+∫_[0,1]2(dg/dx)(x)f(x)dx+∫_[0,1]g(x)^2dx+2(f(0)g(0)-f(1)g(1))。

(dg/dx)(x)=-1,(df/dx)(x)=g(x)となるfが存在するようにgをとるとg(x)=-x+1/2。


263: ◆BhMath2chk
11/04/06 12:59:59.72
>>251
A=∫_[0,1]f(x)dx。
 ∫_[0,1](f(x)^2+3Af(x)-(9/2)A^2)^2dx
=∫_[0,1]f(x)^4dx+6A∫_[0,1]f(x)^3dx-(27/4)A^4。

 12∫_[0,1]xf(x)dx
=∫_[0,1](12x-6)f(x)dx
=[(6x^2-6x)f(x)]_0^1-∫_[0,1](6x^2-6x)(df/dx)(x)dx
=∫_[0,1](6x-6x^2)(df/dx)(x)dx
=∫_[0,1](6x-6x^2)dx(df/dx)(s) (0<s<1)
=(df/dx)(s)。


264:132人目の素数さん
11/04/09 09:02:08.28
a、b、c≧0のとき、(a^3 + b^3 + c^3)^4 ≧ (a^4 + b^4 + c^4)^3 を示せ

前にやったっけ?( ゚∀゚)

265:132人目の素数さん
11/04/09 13:52:52.11
バンチで

266:132人目の素数さん
11/04/10 09:44:59.54
【数学検定】数検・児童数検総合スレッド Part.4
スレリンク(math板)
の4,45

模範解答はa=b≧cの場合が抜けている。


>>107



267:132人目の素数さん
11/04/10 18:56:36.30
>>264 >>107

>>76 の方法でござるな・・・・  >>111

 a^4 = a^3・a ≦ a^3・(a^3 +b^3 +c^3)^(1/3),
巡回的にたすと
 a^4 + b^4 + c^4 ≦ (a^3 +b^3 +c^3)^(4/3),

 a^3 = a^4 /a ≧ a^4 /(a^4 +b^4 +c^4)^(1/4),
巡回的にたすと
 a^3 + b^3 + c^3 ≧ (a^4 +b^4 +c^4)^(3/4),

あるいは Max{a,b,c}=M とおいて
 a^4 + b^4 + c^4 ≦ M(a^3 +b^3 +c^3),
 (a^4 +b^4 +c^4)^3 ≦ (M^3)(a^3 +b^3 +c^3)^3 ≦ (a^3 +b^3 +c^3)^4,

>>266

スレリンク(math板:44-45番)
 数検総合スレ4

URLリンク(www.suken.net) → 1級 検定問題(2次)
URLリンク(www.suken.net)

268:132人目の素数さん
11/04/12 10:48:14.35
a, b, c を実数とするとき, (a^2+b^2+c^2)^2≧3(a^3b+b^3c+c^3a)を証明せよ。

269:じゅー
11/04/12 21:29:19.35
>>268
キャスフィ高校数学板 - 不等式 - 517,519,523
…………
ではキャスフィからもう一題。
a,b,cを三角形の三辺とするとき、
a^3+b^3+c^3+3abc
≧2(ab^2+bc^2+ca^2)
を示せ。
キャスフィ高校数学板 - チャレンジ問題 - 60


270:訂正
11/04/12 21:34:07.11
523→522
60→59
に訂正です。

271:132人目の素数さん
11/04/13 21:45:47.80
>>269
|a-b|<cの両辺を2乗して変形し
a^2+b^2-c^2<2ab
ca^2+cb^2-c^3<2abc
同様に
ab^2+ac^2-a^3<2abc
bc^2+ba^2-b^3<2abc
足して
ca^2+cb^2+ab^2+ac^2+bc^2+ba^2<a^3+b^3+c^3+6abc
ab^2+ bc^2+ca^2+3abc<a^3+b^3+c^3+6abc
ab^2+ bc^2+ca^2<a^3+b^3+c^3+3abc

失敗した…

272:132人目の素数さん
11/04/14 08:28:54.62
失敗かよ!

273: ◆BhMath2chk
11/04/14 18:00:00.06
p=(b+c-a)/2。
q=(a+c-b)/2。
r=(a+b-c)/2。
a=q+r。
b=p+r。
c=p+q。

 a^3+b^3+c^3+3abc-2(ab^2+bc^2+a^2c)
=2(pq^2+p^2r+qr^2-3pqr)
≧0。


274:じゅー
11/04/14 21:33:49.09
正解!!

275:132人目の素数さん
11/04/14 21:55:29.13


276:271
11/04/14 22:28:05.71
>>273
すげー!

このスレ見てたら、不等式に魅了されたよ

>>275
相加相乗

277:132人目の素数さん
11/04/14 23:26:13.93
>>273みたいなアクロバティックな変形は思いつかなかったので・・・

a^3-a^2c+abc-ab^2=a(a^2-ac-bc-b^2)=a(a-b)(a+b-c)>a(a-b)
b^3-b^2a+abc-bc^2=b(b^2-ba+ac-c^2)=b(b-c)(b+c-a)>b(b-c)
c^3-c^2b+abc-ca^2=c(c^2-cb+ab-a^2)=c(c-a)(c+a-b)>c(c-a)
全部足して
=a^3+b^3+c^3+3abc-2(ab^2+bc^2+ca^2)>a(a-b)+b(b-c)+c(c-a)
=a^2-ab+b^2-bc+c^2-ca={(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}/2≧0

よって(左辺)-(右辺)≧0


むーん

278:277
11/04/14 23:31:35.12
符号打ち間違えた
×a^3-a^2c+abc-ab^2=a(a^2-ac-bc-b^2)=・・・
○a^3-a^2c+abc-ab^2=a(a^2-ac+bc-b^2)=・・・

273はいったいどういう発想でその置換を思いついたのだろう
レベルの低いおいらにはわかんないや

279:132人目の素数さん
11/04/15 12:42:51.39
p,q,rはヘロンの公式に出てくる量だから、三角形という条件がある場合には、
全く新しい発想というわけではないと思う。
目的関数が、非対称なので、コーシー・シュワルツ形へ持って行くのかと思っていたが、
[3]√((p/q)(q/r)(r/p))形を通して、相加相乗形へ持って行ったのには、感心した。

280:132人目の素数さん
11/04/16 00:58:02.78
p>0,x[i]≧0のとき

min{1,n^(p-1)}Σ[i=1→n](x[i])^p
≦(Σ[i=1→n]x[i])^p
≦max{1,n^(p-1)}Σ[i=1→n](x[i])^p


281:132人目の素数さん
11/04/17 11:42:27.80
流れてしまった春の学会で話そうとしていた内容をUPしておきました。
URLリンク(www.math.s.chiba-u.ac.jp)

282:132人目の素数さん
11/04/17 14:12:27.19
@273

a=x+y, b=y+z, z=x+yとおけば十分,
Σ_cyc (x^2y-xyz)≧0 Q.E.D.

283:132人目の素数さん
11/04/17 20:03:58.97
>>269
 F_1 = (a+b+c)^3 - 4(a+b+c)(ab+bc+ca) + 9abc,
 ⊿ = (a-b)(b-c)(c-a),
とおくと、
 F_1 ≧ ⊿,

284:132人目の素数さん
11/04/18 12:55:14.00
(a^2+b^2+c^2)^2-3(a^3b+b^3c+c^3a)

=(1/2){(a^2-b^2-ab++2bc-ca)^2+(b^2-c^2-bc+2ca-ab)^2+(c^2-a^2-ca+2ab-bc)^2}

285:じゅー
11/04/18 15:27:18.36
すげぇ

286:132人目の素数さん
11/04/18 17:17:34.76
どうやって思いついたんだ??

287:132人目の素数さん
11/04/18 21:12:59.72
 二 `丶、`丶、_\__\〉ノノへ!
`‐-、 二. `ヽ、 ミ ̄ /⌒シ′)
二‐/,ィ┐|=ミ=┘ ,r‐'_二ニ....イ
‐ニ| i<  i ,..-=ニ‐''\  /彡}   
二‐ヽ ┘ |     lヾ. } } / /リ
ニ ‐'"/   /    |_{;)} レ' /((   エレガントな証明を見ると・・・・・
'  /   /     '" ` `゙ / ソ
  /    ,      F'′/    なんていうか・・・・・・その・・・
  ヽ.    \、 L`___l       
 _\    ヽ._>┘         下品なんですが・・・・・・フフ・・・・・
 /了\_ノ
 ◆(                 勃起・・・・・・しちゃいましてね・・・・・・・・・
 門|

288:132人目の素数さん
11/04/19 01:17:01.91
>>286

 p = a^2 -ab +bc,
 q = b^2 -bc +ca,
 r = c^2 -ca +ab,
とおくと、
 p + q + r = a^2 + b^2 + c^2,
 pq + qr + rp = a^3・b + b^3・c + c^3・a,
これらを↓に代入する。
 (p+q+r)^2 -3(pq+qr+rp) = (1/2){(p-q)^2 + (q-r)^2 + (r-p)^2} ≧ 0,

289:132人目の素数さん
11/04/19 03:02:58.17
>>288
>  p = a^2 -ab +bc,
>  q = b^2 -bc +ca,
>  r = c^2 -ca +ab,
> とおくと、


どうやって思いついたんだ??

290:286
11/04/19 06:56:22.13
確かに。
p+q+r=a^2+b^2+c^2
pq+qr+rp=a^3b+b^3c+c^3a
からp=a^2-ab+bc……を出すのは難しいと思う。


291:132人目の素数さん
11/04/19 23:03:28.82
〔類題〕
a,b,c ≧ 0、3/4≦r≦8/3 のとき
 (a^2 +b^2 +c^2)^2 ≧ 3{a^r・b^(4-r) + b^r・c^(4-r) + c^r・a^(4-r)},

なら簡単だが・・・・・

292:132人目の素数さん
11/04/19 23:12:30.94
>>291 の訂正 スマソ

 4/3 ≦ r ≦ 8/3 のとき


293:132人目の素数さん
11/04/20 00:16:10.72
>>291-292

相加・相乗平均で
{(3/4)r -1}a^4 +2(ab)^2 +{2 -(3/4)r}b^4 ≧ 3a^r・b^(4-r),
巡回的にたす。

294:132人目の素数さん
11/04/20 00:20:00.49
思いつくんじゃないのならできる。


295:132人目の素数さん
11/04/20 01:31:20.75
>>289,290

それは, 秘密です. DX

296:132人目の素数さん
11/04/20 02:06:55.71
初代スレの頃には、ここで不等式を探してハァハァ…してたんだけど、移転したのかな?

Kalva homepage
URLリンク(web.archive.org)

検索したら、次のサイトが出てきたけど、扱ってる問題が減ってない?

URLリンク(www.cs.cornell.edu)

297:132人目の素数さん
11/04/23 23:38:27.16
〔問題549〕
任意の実数 x[1], x[2], ……, x[n] に対して 次を示せ。
 ∑[k=1,n] {x[k]/(1+∑[L=1,k] x[L]^2)} < √n,
                     (じゅー)
キャスフィー 不等式 549, 574

298:132人目の素数さん
11/04/24 02:39:10.57
>>297

〔補題〕
負でない実数 y[1], y[2], ……, y[n] に対して
 Σ[k=1,n] y[n]/(1+y[1]+y[2]+・・・・+y[n])^2 < 1,

299:132人目の素数さん
11/04/25 20:25:11.82
平面上に4つの定点A,B,C,Dと動点Pがある
Dが△ABCの内部にあるとき
PA+PB+PC+PDが最小となるPはP=Dのときであることを示せ

300:132人目の素数さん
11/04/26 00:31:40.08
>>298 の訂正....

〔補題〕
負でない実数 y[1], y[2], ……, y[n] に対して
 Σ[k=1,n] y[k]/(1+y[1]+y[2]+・・・・+y[k])^2 < 1,

301:132人目の素数さん
11/04/26 12:45:59.84
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十九問
スレリンク(math板:542番)

AB=3、BC=4、CA=5 の三角形において
36°< C < 37° を示せ。


302:132人目の素数さん
11/04/26 22:58:09.11
>>301 左側

 ∠B = 90゚ だから
 cos(C) = 4/5, sin(C) = 3/5,
 cos(2C) = 7/25,
 sin(4C)/sin(C) = 4cos(C)cos(2C) = 112/125 < 1,
 sin(4C) < sin(C),
 36゚ < 180゚/5 < C

 C ≒ 36.8699゚

303:132人目の素数さん
11/04/27 02:34:23.79
>>299
 PA ≧ DA - PDcos(∠ADP), (PからADの延長線に垂線を下ろす)
 PB ≧ DB - PDcos(∠BDP),
 PC ≧ DC - PDcos(∠CDP),

∴ PA + PB + PC + PD ≧ (DA + DB + DC) + PD{1-cos(ADP) -cos(BDP) -cos(CDP)}

次に 1-cos(ADP) -cos(BDP) -cos(CDP) ≧ 0 を示せばよい。

304:132人目の素数さん
11/04/27 09:45:05.17
>>302
正解です。
右側評価をお願いします。

305:132人目の素数さん
11/04/27 10:02:46.60
URLリンク(izu-mix.com)

306:132人目の素数さん
11/04/28 02:09:28.16
>>301 >>304

 ∠B=90゚ ゆえ直角三角形で
 tan(C) = 3/4,
 tan(5C) = {(tan C)^5 -10(tan C)^3 +5(tan C)}/{1 -10(tan C)^2 +5(tan C)^4}
   = 237/(4・19・41),
 0 < 5C - 180゚ < tan(5C) = 237/(4・19・41) ≒ 4.3578625゚,
 180゚ < 5C < 184.3578625゚
 36゚ < C < 36.8715725゚

東大入試作問者スレ19-578

307:132人目の素数さん
11/04/28 12:55:42.80
a_1,a_2,....a_nを正の数列とし、b_1, b_2....b_nを、その数列の任意の置換とする。
このとき、

a_1/b_1 + a_2/b_2 + ..... a_n/b_n ≧ n を示せ。

って有名だっけ?

308:132人目の素数さん
11/04/28 14:44:03.42
はい, AM-GM or C.S.で秒殺です^_^

309:132人目の素数さん
11/04/28 14:51:01.39
a, b, cを正の実数とするとき, 次の不等式を証明せよ。

\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}≧\frac{\sqrt{2}}{4}}(\sqrt{a^2+b^2} +\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\right)

310:307
11/04/28 23:31:17.26
>>308

すまぬ、文系のおれに、その略語の意味をおしえてくれ。
C.S.はコーシーシュワルツ?・・・ってどうやって?

311:132人目の素数さん
11/04/29 06:47:11.86
>>309

 2(a^2 + b^2) = (a+b)^2 + (a-b)^2 ≧ (a+b)^2, より
 (a^2)/(a+b) = (a-b)/2 + (a^2 +b^2)/{2(a+b)} ≧ (a-b)/2 + {(√2)/4}√(a^2 + b^2),
循環的にたす。

312:132人目の素数さん
11/04/29 08:23:28.12
>>311
そんな変形、思いつきませぬ!

313:132人目の素数さん
11/04/29 09:15:15.97
>>311
(a^2 +b^2)/{2(a+b)} ≧ (a+b)/4 と変形できるから、循環的に足して、

a^2/(a+b) + b^2/(b+c) + c^2/(c+a) ≧ (a+b+c)/2

となったけど、

{(√2)/4}*{√(a^2 + b^2) + √(b^2 + c^2) +√(c^2 + a^2)}

と、どっちが大きいん?

314:132人目の素数さん
11/04/29 09:51:49.21
>>309を改造

a^2/(a+b) + b^2/(b+c) + c^2/(c+a)
 ≧ {(√2)/4}*{√(a^2 + b^2) + √(b^2 + c^2) +√(c^2 + a^2)}
 ≧ (a+b+c)/2

これで合ってるよね? ウヒョッ!

315:132人目の素数さん
11/04/29 11:14:28.55
a,b,c,d,e≧0
2a-b+3c-15d-12e=23
2a-6b-c-5d+11e=46

のとき

6a-3b+9c-15d+24e

の最小値を求めよ

316:311
11/04/29 16:09:24.65
>>313
 √(a^2 + b^2) ≧ {(√2)/2}(a+b) より、・・・・・
の方がベターだな。


>>314 は対称式。
a^2/(a+b) + b^2/(b+c) + c^2/(c+a)
 ≧ {(√3)/2}√(a^2 + b^2 + c^2)
 ≧ {(√2)/4}{√(a^2 + b^2) + √(b^2 + c^2) +√(c^2 + a^2)}
 ≧ (a+b+c)/2,
かな?

317:132人目の素数さん
11/04/29 16:45:31.78
>>315
 f = 2a -b +3c -15d -12e,
 g = 2a -6b -c -5d +11e,
 h = 10b +8c +3d,
とおくと
6a -3b +9c -15d +24e
 = (9/23)f + (60/23)g + (30/23)h
 = (9/23)*23 + (60/23)*46 + (30/23)h (← 題意)
 = 129 + (30/23)h
 ≧ 129,               (← 題意)
等号成立は (a,b,c,d,e) = (35/2,0,0,0,1) のとき。

318:132人目の素数さん
11/04/29 18:43:56.56
>>316
> a^2/(a+b) + b^2/(b+c) + c^2/(c+a)
>  ≧ {(√3)/2}√(a^2 + b^2 + c^2)
>  ≧ {(√2)/4}{√(a^2 + b^2) + √(b^2 + c^2) +√(c^2 + a^2)}
>  ≧ (a+b+c)/2,

さらに改良しやがったな、こんちきしょう(笑)
さすが不等式ヲタ! にくいぜっ!

319:132人目の素数さん
11/04/29 20:59:49.54
>>316
> a^2/(a+b) + b^2/(b+c) + c^2/(c+a)
>  ≧ {(√3)/2}√(a^2 + b^2 + c^2)

ここが分かりません…

>  ≧ {(√3)/2}√(a^2 + b^2 + c^2)
>  ≧ {(√2)/4}{√(a^2 + b^2) + √(b^2 + c^2) +√(c^2 + a^2)}

ここはCSでシコシコするんですね

320:132人目の素数さん
11/04/29 21:13:18.80
コーシー・シュワルツの不等式を用いることを、
シコシコする、or シコる、というのか・・・(笑)

321:132人目の素数さん
11/04/29 22:06:13.23
>>317
f と g の係数をうまく変えて
 6a -3b +9c -15d +24e = ●f + ●g + ●h'
となる h と異なる h' > 0 が取れて、最小値が変わったりしないのかな?

322:132人目の素数さん
11/04/30 01:34:37.87
R^3\{(0,0,0)}上の関数

f(x,y,z)=(4x^2+4xz+3y^2+3z^2)/(2x^2+2xz+y^2+z^2)
の最大値を求めよ

323:132人目の素数さん
11/04/30 03:58:12.84
>>322
 f(x,y,z) ={(2x+z)^2 +3y^2 +2z^2}/{(1/2)(2x+z)^2 +y^2 +(1/2)z^2},

 4 - f(x,y,z) = {(2x+z)^2 +y^2}/{(1/2)(2x+z)^2 +y^2 +(1/2)z^2} ≧ 0,
  等号成立は 2x+z=y=0 のとき。

ついでに最小値は
 f(x,y,z) - 2 = (y^2 +z^2)/{(1/2)(2x+z)^2 +y^2 +(1/2)z^2} ≧ 0,
  等号成立は y=z=0 のとき。

324:132人目の素数さん
11/04/30 12:13:00.52
a, b, cをa^2+b^2+c^2+(a+b+c)^2≦4を満たす正の実数とするとき,
frac{ab+1}{(a+b)^2}+frac{bc+1}{(b+c)^2}+frac{ca+1}{(c+a)^2}≧3
を証明せよ。

325:132人目の素数さん
11/04/30 22:33:26.86
>>319
a^2/(a+b) + b^2/(b+c) + c^2/(c+a) ≧ {(√3)/2}√(a^2 + b^2 + c^2)

やっぱ、これが分からんです

326:132人目の素数さん
11/05/01 12:59:13.28
>>324

 2{a^2 + b^2 + (b+c)(c+a)} = a^2 + b^2 + c^2 + (a+b+c)^2 ≦ 4,
 ab + 1 ≧ ab + (1/2){a^2 + b^2 + (b+c)(c+a)}
   = (1/2)(a+b)^2 + (1/2)(b+c)(c+a),

 (左辺) ≧ (3/2) + (1/2){(b+c)(c+a)/(a+b)^2 + cyclic.}
    ≧ (3/2) + (3/2)   (← 相加・相乗平均)
    = 3,

327:132人目の素数さん
11/05/01 14:41:38.31
>>320

 相撲の四股を踏む動作は、大地を踏みしめることで土の下に潜む「醜(シコ)」を鎮めるための動作とされている。

 醜(シコ):醜悪なもの、強く恐ろしいもの。

328:132人目の素数さん
11/05/01 20:33:40.90
このスレの不等式ヲタって只者じゃないな。
暇つぶしにフラリと訪れて、サックリ解いて立ち去るような・・・
何者なんだ?

329:132人目の素数さん
11/05/01 20:59:56.98
ただの通りすがりの不等式ヲタです

330:132人目の素数さん
11/05/02 05:19:12.09
>>303

1 -cos(ADP) - cos(BDP) - cos(CDP) = 1 - eP・(e_A + e_B + e_C),
ここに
 e_A、e_B、e_C、eP は DA、DB、DC、DP方向の単位ベクトルである。
 |e_P| = 1 と下の補題から 上式 ≧ 0 が成り立つ。


〔補題〕
Dが△ABCの内部にあるとき、
 |e_A + e_B + e_C | ≦ 1,

(略証)
 e_A = (cosα, sinα)
 e_B = (cosβ, sinβ)
 e_C = (cosγ, sinγ)
とおく。(0≦α<β<γ<2π)
 題意より、DA,DB,DC が 180゚以内に収まることはない。
∴ 0 <β-α<π,
  0 <γ-β<π,
  π <γ-α<2π,
このとき
 |e_A + e_B + e_C |^2
 = (cosα+cosβ+cosγ)^2 + (sinα+sinβ+sinγ)^2
 = 3 + 2cos(β-α) + 2cos(γ-β) + 2cos(γ-α)
 = -3 + 4cos((β-α)/2)^2 + 4cos((γ-β)/2)^2 + 4cos((γ-α)/2)^2
 = 1 + 8cos((β-α)/2)cos((γ-β)/2)cos((γ-α)/2)
 ≦ 1,     (終)

331:132人目の素数さん
11/05/02 10:21:35.49
a,b,cはabc=8を満たす正の実数とする。
frac{1}{a+2b+3}+frac{1}{b+2c+3}+frac{1}{c+2a+3}≦1/3
を証明せよ。

332:132人目の素数さん
11/05/02 21:54:16.57
>>323
同次型の二変数関数の最大最小の解法って
何か定石みたいなのあるの?


333:132人目の素数さん
11/05/02 22:06:04.19
>>331

(abc)^(1/3) = g とおくと、与式は
 1/{a+2b+3(g/2)} + 1/{b+2c+3(g/2)} + 1/{c+2a+3(g/2)} ≦ 1/{3(g/2)}


 (右辺) - (左辺)

 = {(a+2b)(b+2c)(c+2a) - (27/4)(a+b+c)gg - (27/4)ggg} / D   (←通分)

 = {24(aab+bbc+cca) + 48(abb+bcc+caa) +27abc -81(a+b+c)gg} /(12D)

 = {(19aab +5cca + 35caa +13abb +9abc -81agg) + cyclic} /(12D)

 = {a(19ab +5cc +35ca +13bb +9bc -81gg) + cyclic} /(12D)

 = {5a(ab+ab+cc-3gg) + 13a(ca+ca+bb-3gg) + 9a(ab+bc+ca-3gg) + cyclic} /(12D)

 ≧ 0,   (相加・相乗平均)

ここに D = [3(g/2)] [a+2b+3(g/2)] [b+2c+3(g/2)] [c+2a+3(g/2)],

334:132人目の素数さん
11/05/02 23:09:47.20
>>332

ない。

y/x=u で一変数に還元するのみ。


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