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311 名前：306[sage] 投稿日：2011/01/15(土) 23:33:50
>>285 >>294 >>307-308
〔補題〕与式の最大に関しては、 (x,0,････,0,1-x) を考えれば十分。
(略証)
(与式) = F(a_1,a_2,････,a_n)･G(a_1,a_2,････,a_n)^2,
と書ける。ここに
F(t_1,t_2,････,t_n) = Σ(i=1～n) i･t_i,
G(t_1,t_2,････,t_n) = Σ(i=1～n) t_i／i,
いま
x = {1/(n-1)}Σ(j=1～n-1) (n-j)･a_j,
1-x = {1/(n-1)}Σ(j=2～n) (j-1)･a_j,
とおけば
⊿F = F(x,0,････,0,1-x) - F(a_1,a_2,････,a_n) = 0,
⊿G = G(x,0,････,0,1-x) - G(a_1,a_2,････,a_n)
= (1/n)Σ(j=2～n-1) {(n-j)(j-1)/j}･a_j > 0,
また
y = {1/(n-1)}Σ(j=1～n-1) (n-j)･a_j／j,
1-y = {n/(n-1)}Σ(j=2～n) (j-1)･a_j／j,
とおけば
⊿F = F(y,0,････,0,1-y) - F(a_1,a_2,････,a_n)
= Σ(j=2～n-1) (n-j)(j-1)･a_j > 0,
⊿G = G(y,0,････,0,1-y) - G(a_1,a_2,････,a_n) = 0,
いずれの場合も F･G^2 は増加する。
よって頭書の結論を得る。(終)