11/07/01 00:44:20.34
>>189
❶東大
2台必要になるはぁ？
191:東大バーチャくん。
11/07/01 00:44:35.79
❶東大
❷バーチャ
192:１３２人目の素数さん
11/07/01 06:19:17.95
>>189
はぁ？
193:TS10VF1M4
11/07/01 22:54:00.62
>>192
へぇー凄いね！
194:しんちゃん
11/07/13 21:04:04.04
❶東大
❷R
❸BHG
❹ラミ
❺バーチャ
❻センター
195:しんちゃん
11/07/13 21:06:33.48
❶東大
❷R
❸BHG
❹ラミ
❺バーチャ
❻センター
196:しんちゃん
11/07/13 23:52:58.37
❶東大
❷R
❸BHG
❹ラミ
❺バーチャ
❻センター
197:しんちゃん
11/07/16 01:45:17.16
❶東大
❷R
❸BHG
❹ラミ
❺バーチャ
❻センター
❼JEL
198:しんちゃん
11/07/16 01:45:28.64
❶東大
❷R
❸BHG
❹ラミ
❺バーチャ
❻センター
❼JEL
199:１３２人目の素数さん
11/10/11 00:32:24.70
〔問題〕
四匹のナメクジA,B,C,Dが正方形の頂点にいて、AはBの方に、BはCの方に、CはDの方に、DはAの方に行こうとしています。
各時刻において、すべてのナメクジは、同じ速さで移動するものとします
（時刻が変われば、速さは変わるかもしれません）。
各時刻において、ナメクジは、ある正方形の頂点にいます。
さて、この場合、ナメクジの作る正方形は、回転しながら一点に縮みますが、一点に縮むまでに何回転するでしょうか。
数セミ増刊「数学の問題 第3集」日本評論社 (1988/9) No.40
200:１３２人目の素数さん
11/10/11 00:49:43.59
>>199
A(1,1) B(-1,1) C(-1,-1) D(1,-1)
とする。
本問では時刻tは単なるパラメータで、軌跡に影響しないので、
Aの速度 = ω･AB↑
Bの速度 = ω･BC↑
Cの速度 = ω･CD↑
Dの速度 = ω･DA↑
としてよい。ω>0
Aの軌跡を（x(t),y(t)）とすると
dx/dy = ω(-x-y),
dy/dt = ω(-y+x),
x(0) = y(0) = 1,
これを解いて
x(t) = (√2)exp(-ωt)cos(ωt + π/4),
y(t) = (√2)exp(-ωt)sin(ωt + π/4),
極座標で表わせば
r = (√2)exp(π/4 - θ),
201:１３２人目の素数さん
11/10/11 01:10:46.33
〔類題〕
六匹の虱A,B,C,D,E,Fが立方体の６頂点にいて、AはBの方に、BはCの方に、CはDの方に、DはEの方に、EはFの方に、FはAの方に動こうとしています。
各時刻において、すべての虱は、同じ速さで移動するものとします
（時刻が変われば、速さは変わるかもしれません）。
t=0 のとき A(1,1,1) B(-1,1,1) C(-1,-1,1) D(-1,-1,-1) E(1,-1,-1) F(1,1,-1)
として虱の軌跡を求む。
202:１３２人目の素数さん
11/10/11 01:36:53.14
>>201
本問では時刻tは単なるパラメータで、軌跡に影響しないので、
Aの速度 = ω･AB↑
Bの速度 = ω･BC↑
Cの速度 = ω･CD↑
Dの速度 = ω･DE↑
Eの速度 = ω･EF↑
Fの速度 = ω･FA↑
としてよい。ω>0
A（f(t), g(t), h(t)）とすると 対称性により
B (-h(t), f(t), g(t))
C (-g(t), -h(t), f(t))
D (-f(t), -g(t), -h(t))
E (h(t), -f(t), -g(t))
F (g(t), h(t), -f(t))
f '(t) = ω{-f(t) -h(t)},
g '(t) = ω{-g(t) +f(t)},
h '(t) = ω{-h(t) +g(t)},
初期条件 f(0) = g(0) = h(0) = 1,
これを解いて
f(t) = (1/3)exp(-2ωt) + (4/3)exp(-ωt/2)cos(cωt + π/3),
g(t) =-(1/3)exp(-2ωt) + (4/3)exp(-ωt/2)cos(cωt),
h(t) = (1/3)exp(-2ωt) + (4/3)exp(-ωt/2)cos(cωt - π/3),
c = (√3)/2,
∴ 原点に収束する。
203:１３２人目の素数さん
11/10/11 13:03:58.95
EMPC
ALKJ
PWJS
204:１３２人目の素数さん
11/10/11 23:14:46.11
>>202
マクローリン展開してみた。
f(t) = (1/3)exp(-2ωt) - (4/3)exp(-ωt/2)cos(cωt - 2π/3)
= exp(-ωt){f(0)φ0(ωt) - g(0)φ2(ωt) - h(0)φ1(ωt)},
g(t) =-(1/3)exp(-2ωt) + (4/3)exp(-ωt/2)cos(cωt)
= exp(-ωt){f(0)φ1(ωt) + g(0)φ0(ωt) - h(0)φ2(ωt)},
h(t) = (1/3)exp(-2ωt) - (4/3)exp(-ωt/2)cos(cωt + 2π/3)
= exp(-ωt){f(0)φ2(ωt) + g(0)φ1(ωt) + h(0)φ0(ωt)},
ここに
φ0(x) = Σ[k=0,∞) (-1)^k {1/(3k)!} x^(3k),
φ1(x) = Σ[k=0,∞) (-1)^k {1/(3k+1)!} x^(3k+1),
φ2(x) = Σ[k=0,∞) (-1)^k {1/(3k+2)!} x^(3k+2),
φ2 '= φ1, φ1 '= φ0, φ0 '= -φ2,
205:１３２人目の素数さん
11/10/11 23:42:30.72
〔類題〕
八匹の超アオムシA,B,C,D,E,F,G,Hが超立方体の８頂点にいて、AはBの方に、BはCの方に、CはDの方に、DはEの方に、EはFの方に、FはGの方に、GはHの方に、HはAの方に動こうとしています。
各時刻において、すべての超アオムシは、同じ速さで移動するものとします
（時刻が変われば、速さは変わるかもしれません）。
t=0 のとき A(1,1,1,1) B(-1,1,1,1) C(-1,-1,1,1) D(-1,-1,-1,1) E(-1,-1,-1,-1) F(1,-1,-1,-1) G(1,1,-1,-1) H(1,1,1,-1)
として超アオムシの軌跡を求む。
206:１３２人目の素数さん
11/10/12 01:25:46.99
>>205
本問では時刻tは単なるパラメータで、軌跡に影響しないので、
Aの速度 = ω･AB↑
Bの速度 = ω･BC↑
……
としてよい。ω>0
A（f(t), g(t), h(t), L(t)）とすると 対称性により B～H も決まる。
f '(t) = ω{-f(t) -L(t)},
g '(t) = ω{-g(t) +f(t)},
h '(t) = ω{-h(t) +g(t)},
L '(t) = ω{-L(t) +h(t)},
これを解いて
f(t) = exp(-ωt){f(0)ψ0(ωt) - g(0)ψ3(ωt) - h(0)ψ2(ωt) - L(0)ψ1(ωt)},
g(t) = exp(-ωt){f(0)ψ1(ωt) + g(0)ψ0(ωt) - h(0)ψ3(ωt) - L(0)ψ2(ωt)},
h(t) = exp(-ωt){f(0)ψ2(ωt) + g(0)ψ1(ωt) + h(0)ψ0(ωt) - L(0)ψ3(ωt)},
L(t) = exp(-ωt){f(0)ψ3(ωt) + g(0)ψ2(ωt) + h(0)ψ1(ωt) + L(0)ψ0(ωt)},
ここに
ψ0(x) = Σ[k=0,∞) (-1)^k {1/(4k)!} x^(4k) = cos(x/√2)cosh(x/√2),
ψ1(x) = Σ[k=0,∞) (-1)^k {1/(4k+1)!} x^(4k+1)
= {sin(x/√2)cosh(x/√2) + cos(x/√2)sinh(x/√2)}/√2,
ψ2(x) = Σ[k=0,∞) (-1)^k {1/(4k+2)!} x^(4k+2) = sin(x/√2)sinh(x/√2),
ψ3(x) = Σ[k=0,∞) (-1)^k {1/(4k+3)!} x^(4k+3)
= {sin(x/√2)cosh(x/√2) - cos(x/√2)sinh(x/√2)}/√2,
ψ3 ' = ψ2, ψ2 ' = ψ1, ψ1 ' = ψ0, ψ0 ' = -ψ3,
207:１３２人目の素数さん
11/10/12 02:36:22.94
>>206
初期条件 f(0) = g(0) = h(0) = L(0) = 1 より
f(t) = exp(-x){exp(x/√2)cos(x/√2 + 3π/8)/[2cos(3π/8)] + exp(-x/√2)cos(x/√2 + π/8)/[2cos(π/8)]},
g(t) = exp(-x){exp(x/√2)cos(x/√2 + π/8)/[2sin(π/8)] - exp(-x/√2)cos(x/√2 +3π/8)/[2sin(3π/8)]},
h(t) = exp(-x){exp(x/√2)cos(x/√2 - π/8)/[2sin(π/8)] - exp(-x/√2)cos(x/√2 -3π/8)/[2sin(3π/8)]},
L(t) = exp(-x){exp(x/√2)cos(x/√2 - 3π/8)/[2cos(3π/8)] + exp(-x/√2)cos(x/√2 - π/8)/[2cos(π/8)]},
208:１３２人目の素数さん
11/10/12 21:12:21.66
EMPC
209:１３２人目の素数さん
11/10/12 22:23:34.90
〔類題〕
12匹の超々ワムシ A～L が超々立方体の12頂点にいて、AはBの方に、BはCの方に、CはDの方に、DはEの方に、EはFの方に、FはGの方に、GはHの方に、HはIの方に、IはJの方に、JはKの方に、KはLの方に、LはAの方に、動こうとしています。
各時刻において、すべての超々ワムシは、同じ速さで移動するものとします
（時刻が変われば、速さは変わるかもしれません）。
t=0 のとき
A(1,1,1,1,1,1) B(-1,1,1,1,1,1) C(-1,-1,1,1,1,1)
D(-1,-1,-1,1,1,1) E(-1,-1,-1,-1,1,1) F-1,-1,-1,-1,-1,1)
G(-1,-1,-1,-1,-1,-1) H(1,-1,-1,-1,-1,-1) I(1,1,-1,-1,-1,-1)
J(1,1,1,-1,-1,-1) K(1,1,1,1,-1,-1) L(1,1,1,1,1,-1)
として超々ワムシの軌跡を求む。
210:１３２人目の素数さん
11/10/12 22:51:32.66
ワーム：worm