11/10/11 23:42:30.72
〔類題〕
八匹の超アオムシA,B,C,D,E,F,G,Hが超立方体の８頂点にいて、AはBの方に、BはCの方に、CはDの方に、DはEの方に、EはFの方に、FはGの方に、GはHの方に、HはAの方に動こうとしています。
各時刻において、すべての超アオムシは、同じ速さで移動するものとします
（時刻が変われば、速さは変わるかもしれません）。
t=0 のとき A(1,1,1,1) B(-1,1,1,1) C(-1,-1,1,1) D(-1,-1,-1,1) E(-1,-1,-1,-1) F(1,-1,-1,-1) G(1,1,-1,-1) H(1,1,1,-1)
として超アオムシの軌跡を求む。
206:１３２人目の素数さん
11/10/12 01:25:46.99
>>205
本問では時刻tは単なるパラメータで、軌跡に影響しないので、
Aの速度 = ω･AB↑
Bの速度 = ω･BC↑
……
としてよい。ω>0
A（f(t), g(t), h(t), L(t)）とすると 対称性により B～H も決まる。
f '(t) = ω{-f(t) -L(t)},
g '(t) = ω{-g(t) +f(t)},
h '(t) = ω{-h(t) +g(t)},
L '(t) = ω{-L(t) +h(t)},
これを解いて
f(t) = exp(-ωt){f(0)ψ0(ωt) - g(0)ψ3(ωt) - h(0)ψ2(ωt) - L(0)ψ1(ωt)},
g(t) = exp(-ωt){f(0)ψ1(ωt) + g(0)ψ0(ωt) - h(0)ψ3(ωt) - L(0)ψ2(ωt)},
h(t) = exp(-ωt){f(0)ψ2(ωt) + g(0)ψ1(ωt) + h(0)ψ0(ωt) - L(0)ψ3(ωt)},
L(t) = exp(-ωt){f(0)ψ3(ωt) + g(0)ψ2(ωt) + h(0)ψ1(ωt) + L(0)ψ0(ωt)},
ここに
ψ0(x) = Σ[k=0,∞) (-1)^k {1/(4k)!} x^(4k) = cos(x/√2)cosh(x/√2),
ψ1(x) = Σ[k=0,∞) (-1)^k {1/(4k+1)!} x^(4k+1)
= {sin(x/√2)cosh(x/√2) + cos(x/√2)sinh(x/√2)}/√2,
ψ2(x) = Σ[k=0,∞) (-1)^k {1/(4k+2)!} x^(4k+2) = sin(x/√2)sinh(x/√2),
ψ3(x) = Σ[k=0,∞) (-1)^k {1/(4k+3)!} x^(4k+3)
= {sin(x/√2)cosh(x/√2) - cos(x/√2)sinh(x/√2)}/√2,
ψ3 ' = ψ2, ψ2 ' = ψ1, ψ1 ' = ψ0, ψ0 ' = -ψ3,
207:１３２人目の素数さん
11/10/12 02:36:22.94
>>206
初期条件 f(0) = g(0) = h(0) = L(0) = 1 より
f(t) = exp(-x){exp(x/√2)cos(x/√2 + 3π/8)/[2cos(3π/8)] + exp(-x/√2)cos(x/√2 + π/8)/[2cos(π/8)]},
g(t) = exp(-x){exp(x/√2)cos(x/√2 + π/8)/[2sin(π/8)] - exp(-x/√2)cos(x/√2 +3π/8)/[2sin(3π/8)]},
h(t) = exp(-x){exp(x/√2)cos(x/√2 - π/8)/[2sin(π/8)] - exp(-x/√2)cos(x/√2 -3π/8)/[2sin(3π/8)]},
L(t) = exp(-x){exp(x/√2)cos(x/√2 - 3π/8)/[2cos(3π/8)] + exp(-x/√2)cos(x/√2 - π/8)/[2cos(π/8)]},
208:１３２人目の素数さん
11/10/12 21:12:21.66
EMPC