10/09/15 00:31:23
C = {1, 2, {3, 4}}のとき
3∈Cですか？
216:１３２人目の素数さん
10/09/15 00:32:36
>>206 そういう答案書いている状況だと、まず類題の模範解の構成を綿密に追うのが
優先。率直なところ、自力でこの水準の問題の答案を書ける状況にまだ達してないと思う。
繰り返すが、模範解をもっと細部にわたって検討して真似すべき。
> Ｂの解は、x>1 x<-2となる。
Bは1≦xまたはx≦-2となる (まず、等号が必要。
さらに、Bは問題により「解の集合」。「Bの解」という表現は変。)
ちゃんと書けば「集合」として示されている以上、B=｛x|x≦-2または1≦x}と書いたほうがいいし、
下で実際にAはこう書いているけれど、そこまでは目くじらを立てられないとは思う。
> Ａの解は、x=2a,aとなる。
Aの解…× (上と同様。また、Aは不等式で表現されるべき集合だから2重に間違い)
f(x)=ax^2-3a^2x+2a^3=0 という2次方程式の解…○
(x=a、2aという答えが出てくるのは「2次方程式」。f(x)と置くのは下で利用するため)。
> また、下に凸でないと空集合にならないのでa＞0
これも、「下に凸」になりうるのは「2次関数のグラフ」。なので、突っ込まれない表現は
「y=f(x)のグラフが下に凸にならないと、AかつBが空集合になりえないので」
しかし、これは下で見るように間違い。a<0でも成立しうる。
217:１３２人目の素数さん
10/09/15 00:33:45
>>206 続き。
ここまでは表記上のミスだけど、ここからのミスは決定的。先に正しい考えを書くと
(i)a>0のとき 0<a<2aが成立し、A={x|a≦x≦2a}となる。
これとBの積集合が空集合になるのは0<a<1/2のとき
(ii)a<0のとき、2a<a<0が成立し、A={x|2a≦x≦a}となる。
これとBの積集合が空集合になるのは-1<a<0のとき
なお、解Aを与えるのが「2次不等式」と問題に書いてあればa≠0を前提としていい。
以上より、-1<a<0 または 0<a<1/2
答案では、a>0を仮定していながら2a<x<aというあり得ない大小関係を考えている上、
「a<x<2aの場合」「2a<x<aの場合」と言う排反な場合分けをしていながら、その共通範囲を
考えるというミスも犯している(排反な場合分けが同時に成り立つわきゃないのだ。
「どっちかが成り立てばいい」という視点で排反に分けるんじゃないのか)
(2)は補集合を考えて「(Aの補集合)かつ(Bの補集合)が空集合」と考えて詰めていけばいい。
218:１３２人目の素数さん
10/09/15 00:43:12
>>215
NO
219:１３２人目の素数さん
10/09/15 01:07:05
>>206
(1)
A∩B = φ となるaを求めると解釈すると
集合A ax^2-3a^2x+2a^3≦0
a > 0 のとき
x^2-3ax+2a^2 ≦ 0
(3a-√(9a^2-8a^2))/2 ≦ x ≦ (3a+√(9a^2-8a^2))/2
a ≦ x ≦ 2a
a < 0 のとき
x^2-3ax+2a^2 ≧ 0
x ≦2a , a ≦ x
集合B x^2+x-2≧0
x ≦ -1, 2 ≦ x
a<0のときはA∩Bは空集合にならないので不適
a>0のとき 2a < 2 であればよいから 0 < a < 1
(2)
Aが実数全体の集合 または Bが実数全体の集合 ・・・ではなくて
A∪B = R ってことだと解釈すると
Bがx ≦ -1, 2 ≦ xの範囲のxをカバーしてるから
Aが -1 < x < 2 をカバー出来ればいい
a>0のとき 0 < a ≦ x ≦2a であるから-1<x≦0をカバーできず不適
a<0のとき Aはx ≦2a , a ≦ xの範囲をカバーするから
a≦-1 であればよい
220:１３２人目の素数さん
10/09/15 01:08:27
ちなみに>>217はa<0のときの
不等号の向きを見落としてると思う
221:１３２人目の素数さん
10/09/15 01:10:54
>>217 (ii)は酷い間違い。取り下げます。最終的な解も負の側は要らない。
ただ、「答案では」の所の指摘はそのまま言えてる。
222:１３２人目の素数さん
10/09/15 01:20:43
>>219 もそうだけど解くならちゃんと解けよ。Bが違う。
223:１３２人目の素数さん
10/09/15 01:21:32
てｓｔ
224:１３２人目の素数さん
10/09/15 01:25:45
ホントだ
Bは
x ≦ -2, 1 ≦ x だ大きな間違いごめん
225:１３２人目の素数さん
10/09/15 02:53:43
二次方程式x＾2-2nx+mn+m-n-6=0が実数解をもつような自然数の組(m,n)をすべて求めよ。ただしm>nである。
お願いします。
226:199
10/09/15 03:41:48
>>196をお願いします
227:１３２人目の素数さん
10/09/15 03:45:20
1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2=(1/a + 1/b + 1/c)^2 …① が成り立つとき
P = a(1/b + 1/c) + b(1/a + 1/c) + c(1/a + 1/c) を簡単にせよ
という求値問題なんですが、
①を展開して、a + b + c = 0 …② を出して、
Pの a(1/b + 1/c) などを a(1/b + 1/c) =a(b+c)/bc このように展開して
②の式を変形させて、それぞれ展開した式に当てはめていくと
P=(a^2/bc + b^2/ca + c^2/ab)=（省略）=-3
となることはわかりました。
しかし、別解で、
P=(b + c)/a + (c + a)/b + (a + b)/c = -a/a + -b/b + -c/c = -3
という方法で値を求めることもできると書いてありました。
コレはなんと簡潔な式なんだろう！と思ってこの式をどうやって導き出せるか考えてみたのですが、
数学の経験も浅く、非常に頭が固いもので、この別解の解法がどうしても理解出来ないのです・・・。
どなたかこの別解の式を導き出せる強者はいないでしょうか？
228:１３２人目の素数さん
10/09/15 03:59:10
>>196
x^2+(3+2i)x+2+ki=0 k∈R
x^2 + 3x + 2 + i*(2x+k) = 0
xの二次方程式の解はD<0のときは互いが共役複素数になるから
xが実数解を持つ⇒虚数を含む解を持たない であるので xは実数
x^2 + 3x + 2 = 0 かつ 2x+k = 0
(x+1)(x+2)=0 かつ 2x+k=0
x=-1またはx=-2 かつ 2x+k=0
すなわち k = 2 で x=-1 または k=4 で x=-2
229:１３２人目の素数さん
10/09/15 04:14:54
>>227
a + b + c = 0
これさえ分かればあとは分母同じやつでまとめるだけじゃね
ってかP = a(1/b + 1/c) + b(1/a + 1/c) + c(1/a + 1/c)？
最後の1/cは1/bじゃね？だとすると
P = a(1/b + 1/c) + b(1/a + 1/c) + c(1/a + 1/b)
= a/b + a/c + b/a + b/c + c/a + c/b
= (b+c)/a + (c+a)/b + (a+b)/c
230:１３２人目の素数さん
10/09/15 04:30:31
>>225
判別式=n^2-(mn+m-n-6)=6-(n+1)(m-n)≧0
>>227
こういうのもあるけど。
P = a(1/b + 1/c) + b(1/c + 1/a) + c(1/a + 1/b)
= {a(1/a+1/b+1/c)-1} + {b(1/a+1/b+1/c)-1} + {c(1/a+1/b+1/c)-1}
= (a+b+c)(1/a+1/b+1/c)-3 = -3 （∵a+b+c=0）
>>228
＞x^2 + 3x + 2 + i*(2x+k) = 0
＞xの二次方程式の解はD<0のときは互いが共役複素数になるから
何をいってる？
>>196
a,bが実数でa+bi=0 ⇔ a=b=0 を使うだけ。
231:１３２人目の素数さん
10/09/15 04:40:42
a+bi=0 ⇔ a=b=0 はa,bが実数に限るでしょ
だからx=a+biの形になる可能性は考えないと
232:１３２人目の素数さん
10/09/15 04:57:08
>>231
問題にxは実数解とかいてあるし、
＞xの二次方程式の解はD<0のときは互いが共役複素数になるから
これが意味を持つのは実係数2次方程式のときだけ。
233:１３２人目の素数さん
10/09/15 05:03:35
>>232
共役複素数の点は間違いでした 撤回しますです
仰る通り実係数の場合のみでした
234:１３２人目の素数さん
10/09/15 05:45:08
>>206です。ありがとうございました。
235:１３２人目の素数さん
10/09/15 06:06:50
>>232
ほんと？