11/11/20 04:10:27.87
π^2 / sin^2(π z) = Σ_{m ∈ Z} 1/(z - m)^2
(πは円周率、z は複素数、Z は整数全体)
これはどうやって導くんですか？
555:１３２人目の素数さん
11/11/20 05:06:41.66
アールフォルスに書いてあるやろ
556:猫は一匹１８０円 ◆MuKUnGPXAY
11/11/20 12:09:27.03
ホイテカ・ワトソンにも書いてあるんじゃないでしょうか。
猫
557:名無しさん＠恐縮です
11/11/20 23:14:55.27
手元には高木貞治くらいしかありません
テイラー展開とかで出るんですか？
558:猫は一匹１８０円 ◆MuKUnGPXAY
11/11/20 23:21:46.24
>>557
ソレはちょっと無理っぽいと思いますが、でも私には判りません。先ずは
自分でその方法でやってみて下さい。
猫
559:１３２人目の素数さん
11/11/21 00:21:56.10
ええか、左辺と右辺の差は周期が1の整関数や
そやから|Im z|→∞のとき0になることを言えばリュービルの定理から
等式が出てくるんや
これはアールフォルス先生のやり方や
cotの部分分数展開からcosecの部分分数展開を導いて項別微分しても
ええけど、その場合にはcotの部分分数展開をこの事実を用いずに
証明せなあかんぞ
手元にある複素関数論ちゅう本には留数定理を使ったやり方が
演習問題として書いてあるけど、これはおすすめできへんな
560:猫は一匹１８０円 ◆MuKUnGPXAY
11/11/21 01:58:17.91
>>559
ああ、そうですか。でもその留数定理を用いる証明というのはどんな感
じなんですかね？
猫
561:１３２人目の素数さん
11/11/21 05:41:16.14
f(w)は1位の極a_1,a_2,・・・を除いて正則、|w|→∞のときwf(w)→0をみたす
(ただし各a_kは整数ではない) とするとき、留数定理を用いて等式
Σ[n=-∞,∞]f(n) +πΣ_k Res(f,a_k) cot πa_k=0
を示す
(原点中心一辺がRの正方形の周上でf(w)・πcot πwの積分を考えR→∞)
f(w)={sin 2π(z-w)}/(z-w)^2 (z∈C-Z) としてこれを用いればよろしい
562:１３２人目の素数さん
11/11/21 08:58:07.50
1/(sin x)^2 の部分分数分解についての簡単な証明が載っている↓
(Josef Hofbauer)
URLﾘﾝｸ(thales.doa.fmph.uniba.sk)
前半では Σ[n＝1～∞](1/n^2)＝(π^2)/6 を物凄く簡単に証明している。
この計算法の他の使い道として、後半で部分分数分解が挙げられている。
凄く簡単な計算法なので、最初のページから全部読まれることを勧める。
563:名無しさん＠恐縮です
11/11/23 01:45:52.48
>>562
ありがとうございます。
読んでみます。
564:名無しさん＠恐縮です
11/12/03 15:41:09.41
>>562
読みました。
面白かったです。
ζ(2)の計算はsinの展開が本質ですね。
教えて頂いた式は楕円曲線の論文を読むのに
必要なものでした。
どうもありがとうございました。
565:１３２人目の素数さん
11/12/05 07:06:39.67
>>562
驚愕
まさか俺すら余裕で分かるとは・・・
566:１３２人目の素数さん
11/12/07 23:26:06.79
p 次の有限体の拡大 F_p(a)/F_p において
x^p - x = a^{p-1}
は解を持たないと思うんですが、良い証明とかありますか？
567:１３２人目の素数さん
11/12/08 03:49:27.56
Hilbertの定理90を使え
568:１３２人目の素数さん
11/12/08 14:36:41.32
>>562
1=(8/π^2)Σ[k=0,∞]1/(2k+1)^2
からΣ[n=1,∞]1/n^2=π^2/6が導けるのはどうしてですか？
あと、
(2/4^n)Σ[k=0,2^(n-1)-1]1/(sin((2k+1)π/2^(n+1)))^2
を項別にn→∞していいのはどうして？
569:１３２人目の素数さん
11/12/08 15:31:24.53
>>568
収束を認めれば、偶奇でわけろ。
570:kyrie ◆Debha1lQgc
11/12/08 17:35:58.54
哲学板から来ました。あっちでは有名なコテです。
みなさんレベルが高いですね。あるいは、みなさんの間のレベルの
激しい差異が、低い僕には計りかねてるだけでしょうが。
初歩的な質問をお許しください。
リーマンの、幾何学の基礎をなす仮説についてを読んでいるのですが、
線素の始点から等距離にある点の全体が作る(n-1）次の多様体の表現において、
その表現にはそれらの多様体を区別する場所の連続関数を求めればよい、とあります。
この関数は始点から全ての方向に向かって常に増大するか又は減少するかなのですが、
ここでは増大するものと仮定する、とあります。
したがって始点において極小となるのですが、ここで質問があります。
リーマンは「故にその一次及び二次微分係数が存在すれば、一次微分は零となり
二次微分は負にならぬが、更にそれが常に整数であると仮定する」といってますが
一次微分とはgradのことですか？二次微分とはラプラシアンのことですか？
直観的には原点から単調増加する曲線が様々に伸びてる感じでしょうか。
571:１３２人目の素数さん
11/12/08 17:40:42.50
長文の時点で「わかってねーだろ」
572:１３２人目の素数さん
11/12/08 18:26:03.51
>>568
＞1=(8/π^2)Σ[k=0,∞]1/(2k+1)^2
＞からΣ[n=1,∞]1/n^2=π^2/6が導けるのはどうしてですか？
Σ[n=1,∞]1/n^2 を偶数項と奇数項に分けると見えてくる。
＞あと、(2/4^n)Σ[k=0,2^(n-1)-1]1/(sin((2k+1)π/2^(n+1)))^2
＞を項別にn→∞していいのはどうして？
この級数に限っては、そのような操作が可能である。
このことについて、>>562 では2通りの方法で証明されているのだが、
お前は一体、何を読んでいたのだ？
573:１３２人目の素数さん
11/12/08 22:53:32.15
>>566
Hilbert90と同じ事だが、
a^{p-1}トレースを計算して
0にならなければ既約多項式となる。
574:１３２人目の素数さん
11/12/10 16:20:53.22
>>573
ありがとうございます。
Tr_{F_p(a)/F_p}(a^{p-1}) が 0 であることと
ある F_p(a) の元 y が存在して a^{p-1} = y - σ(y) が存在すること
が同値ですよね。
但し Gal(F_p(a)/F_p)=<σ> です。
これは x^p - x = a^{p-1} が F_p(a) に根を持つことと同値
になるんですか？