10/09/03 10:55:20
数Aの多項定理についてなのですが
｢指定された項の係数は同じものを含む順列の数として考えろ｣
(a+b+c)^n=(a+b+c)*(a+b+c)*･･･*(a+b+c)
それぞれabcのいずれかをとりそれらを掛け合わせて和を作ると展開式になる
とチャートに載っており、理由がよくわかりません
なぜそれで係数が出るのでしょうか？
597:１３２人目の素数さん
10/09/03 11:04:36
>>596
かけ算の順序を交換せずに展開するとこうなる。
(a+b+c)^3
= (a+b+c)(a+b+c)(a+b+c)
= a(a+b+c)(a+b+c) + b(a+b+c)(a+b+c) + c(a+b+c)(a+b+c)
= aa(a+b+c) + ab(a+b+c) + ac(a+b+c)
+ ba(a+b+c) + bb(a+b+c) + bc(a+b+c)
+ ca(a+b+c) + cb(a+b+c) + cc(a+b+c)
= aaa + aab + aac + aba + abb + abc + aca + acb + acc
+ baa + bab + bac + bba + bbb + bbc + bca + bcb + bcc
+ caa + cab + cac + cba + cbb + cbc + cca + ccb + ccc
これをまとめると
a^2 b の項： aab + aba + baa = 3 a^2 b
abc の項： abc + acb + bac + bca + cab + cba = 6 abc
等
598:１３２人目の素数さん
10/09/03 11:45:59
>>596
>>597さんのように展開したものを同類項でまとめずに掛け合わせる順番も変えずに書き出すときのことを考えると、
例えばa^2bの同類項は、
１つ目の(a+b+c) ２つ目の(a+b+c) ３つ目の(a+b+c)
a a b
a b a
b a a
の3個あることになるが、これはaabを並べる並べ方と同じことをやっているってこと。
599:596
10/09/03 12:12:24
>>597>>598
ご丁寧にどうもありがとうございます
以前から理由が気になっていたので大変助かりました！
600:１３２人目の素数さん
10/09/03 12:15:58
二項定理、多項定理って名前つけたのが間違いな気がしないでもない。
たいそうなものっぽく感じられちゃって、数学苦手な人はそこで思考停止してしまっているような。
601:１３２人目の素数さん
10/09/03 12:28:55
omaedake
602:１３２人目の素数さん
10/09/03 12:30:48
こりゃ失礼した
603:１３２人目の素数さん
10/09/03 13:38:43
「○○○であることは、△△△であることの
必要十分条件であることを証明せよ」
という問題では、
（１）「○○○ならば、△△△である」ことと、
（２）「△△△ならば、○○○である」こと
を証明の中で示す必要がありますが、問題文と同じような内容を
２度も記述するのは疲れるので、（１）や（２）を簡潔に
区別する表現があれば教えて下さい。
以前、「→を証明する」とか、「←を証明する」みたいに、矢印の
方向で（１）と（２）を区別している証明を見かけましたが、あ
まりにも俗っぽいので、正式な言い回しがあれば知りたいです。
604:１３２人目の素数さん
10/09/03 14:00:40
>>603
「『○○○』をA、『△△△』をBとする」と宣言して
「『AならばB』を証明する」「『BならばA』を証明する」等と書いたら？
605:１３２人目の素数さん
10/09/03 14:05:08
>>603 最初に、問題文中に使われていないアルファベットで名前をつけちゃう。
「p:○○○であること q:△△△であること、とする。
(1)pならばqであることの証明： (または p⇒qの証明)
…
(2)qならばpであることの証明：
…」
てな感じ。センターでの論理に関する出題でもこういう記号法は使われてる。
606:１３２人目の素数さん
10/09/03 14:34:26
>>604, >>605
ありがとうございました。参考にします。
607:１３２人目の素数さん
10/09/03 14:48:08
必要条件であることの証明
十分条件であることの証明
でいいじゃないか
608:１３２人目の素数さん
10/09/03 15:09:34
カッコして(必要性)とかてかいときゃいいだろ
609:１３２人目の素数さん
10/09/03 16:02:06
>>607
非常にスッキリしていますね。
でも、その書き方で、どっちからどっちを証明するのか、
伝わるのでしょうか。たとえば、「必要条件の証明」
と書いたとき、>>603の(1)と(2)のどちらの証明を指すのでしょうか？
>>608
（必要性）と書いた場合に、>>603の(1)と(2)のどちらの証明を
指すのでしょうか？
610:１３２人目の素数さん
10/09/03 16:08:36
>>609
(1)は(2)の必要十分条件
(必要)：(1)→(2)
（十分）：(2)→(1)
普通はこうだな
611:１３２人目の素数さん
10/09/03 16:17:26
次の行列の階数を求めよ
([1, -1, 1],
[2, -3, 1],
[-1, 4, 2])
どう行基本変形しても [0, 0, 0] になる行が無くて rank(3) だと思うんですが
答えには rank(2) と書いてあります
なんでですか
612:１３２人目の素数さん
10/09/03 16:21:18
>>610
(1)ならば(2) ⇔ (1)は(2)の十分条件
(2)ならば(1) ⇔ (1)は(2)の必要条件
では？
613:１３２人目の素数さん
10/09/03 16:23:23
>>611
URLﾘﾝｸ(www.wolframalpha.com)
614:１３２人目の素数さん
10/09/03 16:45:57
>>613
な、なんだこれは
僕は初級者でガウスの消去法というやつしかわからないんですが
それだけで階数を求められますか（＠＠；
615:１３２人目の素数さん
10/09/03 16:51:59
>>611
(2行)-2*(1行) = [0,-1,-1]
(3行)+(1行) = [0,3,3]
で行けるんじゃないの？
616:１３２人目の素数さん
10/09/03 16:55:44
>>615
ああ行けましたね……どうもすいませんでした