10/06/08 03:50:49
＞ 何万回目かの再発見なんだけど．
よく数えたな。
671:１３２人目の素数さん
10/06/08 05:04:16
使い道ってあるの？
672:１３２人目の素数さん
10/06/08 06:53:13
チョコレートを湯煎して型に流し込んだだけで自作チョコレートとか言っちゃう女子って恥ずかしいよね
673:１３２人目の素数さん
10/06/08 12:28:35
別に。
どちらにせよ料理というものは、
材料に熱を加えることと、形を変える以外のことはほとんどしない。
674:１３２人目の素数さん
10/06/08 13:17:39
ここからトポロジースレ始まるよー！
675:１３２人目の素数さん
10/06/08 13:46:41
シュワルツ不等式の一般化か
676:668
10/06/09 01:10:38
もはや証明を書いていいような雰囲気じゃないなｗ
677:１３２人目の素数さん
10/06/09 02:02:02
気にするな
678:１３２人目の素数さん
10/06/10 06:30:19
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:15番)
679:668
10/06/12 14:50:45
>>678
見抜かれてるｗｗｗ ここはレベル高いっすね^^;
680:１３２人目の素数さん
10/06/12 23:00:23
>>679
君のレベルが低すぎるのだ！
精進したまえ！
681:１３２人目の素数さん
10/06/14 00:31:48
>>668
cosα = <b,c> /(|b||c|),
cosβ = <c,a> /(|c||a|),
cosγ = <a,b> /(|a||b|),
0 ≦ α,β,γ ≦ π,
とおくと、
0 ≦ α+β+γ ≦ 2π,
α ≦ β+γ,
β ≦ α+γ,
γ ≦ α+β,
問題は
(cosα)^2 + (cosβ)^2 + (cosγ)^2 ≦ 1 + 2(cosα)(cosβ)(cosγ),
に帰着する。
ところで、次の恒等式が成立つ。 >>580
1 - (cosα)^2 - (cosβ)^2 - (cosγ)^2 + 2(cosα)(cosβ)(cosγ)
= 4sin((α+β+γ)/2)sin((-α+β+γ)/2)sin((α-β+γ)/2))sin((α+β-γ)/2) ≧ 0,
等号成立は
α+β+γ = 2π, -α+β+γ =0, α-β+γ =0, α+β-γ =0, のいずれか。
∴ a,b,c が共面（一次従属）のとき。
682:１３２人目の素数さん
10/06/14 22:30:29
>>672
テンパリングの腕が確かなら嫁にしたい
683:668
10/06/15 00:15:59
>>681
そんなやりかたがあるんですね！ 気づきませんでした． 皆さんのヌクモリティあふれる書き込みで
目から汗を流して不貞寝してましたが、私が用意した証明を次に書いてみようとおもいます．
684:668
10/06/15 00:16:45
以下では行列を「列ベクトルを成分とする行ベクトル」として表記します．列ベクトルは()で、行ベクトルは[] で表します．
というわけで、11成分が p, 12成分が q, 21成分が r, 22成分が s の行列は [(p, r), (q, s)] と表すことにします．では証明に入ります．a, b, c を n 次元実数ベクトルとし、<x, y> を標準内積、|x| := \sqrt(<x, x>) とし、行列 A を次のように定義する：
A := [(<a,a>, <a,b>, <a,c>), (<b,a>, <b,b>, <b,c>), (<c,a>, <c,b>, <c,c>)].
このとき
det(A) =det([(Σ a_i*a_i, Σ a_i*b_i, Σ a_i*c_i),
(Σ b_j*a_j, Σ b_j*b_j, Σ b_j*c_j),
(Σ c_k*a_k, Σ c_k*b_k, Σ c_k*c_k)])
= Σ_{i,j,k} a_i * b_j * c_k
det([(a_i, b_i, c_i), (a_j, b_j, c_j), (a_k, b_k, c_k)]).
i,j,k が重複している項は det因子が消えるので、#{i,j,k}=3 となる項だけが残る．
detを列ベクトル 3 個を引き数とする関数とみなすと、列の置換σによって sgn(σ)だけ
変化するので
= Σ_{1≦i<j<k≦n} det(Pi, Pj, Pk) Σ_{σ∈S(i,j,k)} sgn(σ) a_σ(i) * b_σ(j) * c_σ(k),(※)
ただし Pi := (a_i, b_i, c_i), etc.
(※) = Σ_{1≦i<j<k≦n} {det(Pi, Pj, Pk)}^2 ≧ 0.
次に等号成立条件を考える．n×3行列Bを次のように定義する：
B := [(a_1, ... ,a_n), (b_1, ... ,b_n), (c_1, ... ,c_n)].
すると A = B^T ・ B. そして rank(A) = rank(B). よって det(A) = 0 ⇔ rank(A) < 3 ⇔ rank(B) < 3
⇔ (a_1, ... ,a_n), (b_1, ... ,b_n), (c_1, ... ,c_n) が一次従属.
よって等号成立は a, b, c が一次従属のとき．
685:１３２人目の素数さん
10/06/15 09:52:34
>>684
Gram行列の正定値性を知っていれば証明シンプルになるね
686:１３２人目の素数さん
10/06/21 19:27:22
外積代数なんかで考えると確かに正定値性から行列式が正、ってのが出る空気はわかるんだけど
実際証明どうするのか想像つかないな…
687:１３２人目の素数さん
10/08/04 07:39:42
+ +
∧＿∧ +
（0ﾟ・∀・）
（0ﾟ∪ ∪ +
と＿_）__） +
688:１３２人目の素数さん
10/08/06 10:03:18
x>0, y>0, x+y=1 のとき、(x^x)(y^y) + (x^y)(y^x) ≦ 1 を示せ。
689:１３２人目の素数さん
10/08/06 17:27:04
t＞0 において，ある正の定数 C が存在して，次の不等式が成り立つ事を示せ．
|∫[0，∞] exp( i t x^2-x^4 ) dx | ≦ C/√t
ただし i は虚数単位
690:１３２人目の素数さん
10/08/06 23:05:10
>>688
u,v,x,y >0, x+y=1 のとき Jensenにより
(u^x)(v^y) ≦ u･x + v･y,
(v^x)(u^y) ≦ v･x + u･y,
辺々たす。
(u^x)(v^y) + (v^x)(u^y) ≦ (u+v)(x+y) = u+v,
URLﾘﾝｸ(messages.yahoo.co.jp)
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