07/02/17 23:16:58 vuttRF0P0
1984年 理系大問４
(1)f(x)は微分可能な関数で、全ての実数xに対して、
｜f’ (x)｜≦rが成り立つ。ただし、rは定数で、0＜r＜1である。
定数x0を初項とし、
xn=f(xn-1) (n=1,2,3・・・）※右辺カッコ内はxのn-1項
によって数列{xn}を定める。また方程式
x=f(x)の解をαとする。
(1)任意の自然数nに対し、不等式
｜xn－α｜≦r｜xn-1－α｜ ※右辺絶対値内は、xのn-1項 引くα
が成り立つことを示せ。
(2)数列{xn}はαに収束することを示せ。
(3)x0=1、xn=1/3(xn-1 ＋√(xn-1)^2+2） (n=1,2,3・・・）※ルート内はxのn-1項の二乗 足す２
によって定められる数列{xn}が収束することを示し、その極限値を求めよ。
答え（３）√６／３