07/02/23 13:17:51 hsIv0Qz40
2以上の自然数nに対してak=sin(kπ/2n)+cos(kπ/2n)(k=0,1,2…)
と置くときlim(n→∞)1/nΣ(k=1～n)1/{a(k-1)ak}の値を求めなさい
π/3なら#π/3
251:大学への名無しさん
07/02/23 13:24:33 T+7d9uQEO
今までに理３に入って、途中でやめた人っていましたか？
252: ◆hQx9wUbXyE
07/02/23 13:36:11 GCx599OjO
てすと
253:大学への名無しさん
07/02/23 13:38:52 0xU9YYsd0
だれかこれといて
a1=1
a(n+1)=n*an+1
っていう漸化式
254: ◆Ka41Wmzz4I
07/02/23 14:41:53 cbKFvG330
>>253
>a1=1
>a(n+1)=n*an+1
あんまり見ない形で、定数の1を殺す事もできないので、小さいnで試すと
a_n = n! × ( 1/0! +1/1! +1/2! +…+1/(n-1)! )
と分り、帰納法で示せます。しかしこの表記をさらに和の表記を使わずに
まとめられるかどうかは分りません。この和を計算してひとつの数式で
表すことが質問の趣旨なら、残念ながらできそうにありません。
255: ◆Ka41Wmzz4I
07/02/23 14:50:31 cbKFvG330
>>254
>a_n = n! × ( 1/0! +1/1! +1/2! +…+1/(n-1)! )
はまちがいです。
正しくは
a_n = (n-1)! × ( 1/0! +1/1! +1/2! +…+1/(n-1)! )
でした。
256: ◆hQx9wUbXyE
07/02/23 15:55:17 LWZDoYJe0
tes
257:大学への名無しさん
07/02/23 16:08:35 LWZDoYJe0
>>253
254の天下り的方法っぽいけどこういう場合は両辺をn!で割るといい。
するとa(n+1)/n!=an/(n-1)! + 1/n!
bn=an/(n-1)!とおくと
b(n+1) - bn = 1/n!
よってbn=∑[k=1,n]1/(k-1)!
がでる。（ただし、0!=1とする）
両辺(n-1)!倍するとan=(n-1)!∑[k=1,n]1/(k-1)!
>>250って答えは出るけど、どうも俺のやり方は途中経過が怪しい気がする。
なんか上手いやり方があるのかな。
258:大学への名無しさん
07/02/23 16:34:26 LWZDoYJe0
自己解決した。
挟み撃ちして変数変換すればいいんだな。
259:253
07/02/23 22:03:30 0xU9YYsd0
>>255 257
正解ってか自分もその段階の答えまでしか到達できなかった。
和を計算してひとつの数式で表すのは高校数学では無理なのか・・・・
260:いうお＠K大生 ◆uJkoHLiVH6
07/02/23 23:07:05 Q0BoTN620
261:いうお＠K大生 ◆hQx9wUbXyE
07/02/23 23:10:05 Q0BoTN620
262:いうお＠K大生 ◆EhHbCq6J3.
07/02/23 23:12:02 Q0BoTN620
積分で不覚にも手間取りやがったｗｗｗｗｗ
方針は比較的思いつきやすいかな
263: ◆zWAroGw3.s
07/02/24 09:42:48 /uWHAm8+0
点(-1,1)を焦点とし直線3x+4y=0を準線とする放物線Cとy軸とで囲まれる
部分をy軸にまわりに回転して得られる立体の体積を求めなさい
答えは□×πの形になります。□=12√3/456なら#12√3/456
264: ◆vy3qMWdv6Y
07/02/24 20:11:51 ZRSGhpyoO
tes
265: ◆4LXWJucotk
07/02/24 20:19:10 ZRSGhpyoO
ミスった
266: ◆31xThSx1H2
07/02/24 20:33:29 wutEykreO
あれ？おかしいな
267: ◆4LXWJucotk
07/02/24 20:46:28 wutEykreO
駄目だ、お手上げ。
答えはこれであってるはずなんだけど。
268:いうお＠K大生 ◆zWAroGw3.s
07/02/25 16:28:26 z3Yzw+6Y0
269:大学への名無しさん
07/02/25 17:36:29 RaonlNZ/O
どうやったんだ？バームクーヘンでやるんじゃないのか？
270:いうお＠K大生 ◆EhHbCq6J3.
07/02/25 18:25:40 z3Yzw+6Y0
変数設定うまくしないとすごいことになったｗ
そもそもの値が結構すごいが
271:大学への名無しさん
07/02/25 19:11:55 RaonlNZ/O
何回やっても同じ答えになる。
196√7/243は見当違いか？
272:大学への名無しさん
07/02/25 21:09:47 E6KZHsnz0
a、b、c、dはそれぞれ整数、pは3以上の素数
a＋b＋c＋d＝0
ad－bc＋p＝0
a≧b≧c≧d
のときa、b、c、dをそれぞれpで表せ
今年の京都の問題です。
273:いうお＠K大生 ◆EhHbCq6J3.
07/02/25 22:37:13 z3Yzw+6Y0
>>271
それであってるはずだ
274:大学への名無しさん
07/02/25 22:55:55 RaonlNZ/O
携帯からだとトリが上手く行かないのかな？
まあともかくも、ありがとう。
これで落ち着いて明日を迎えられるよ。
275:いうお＠K大生 ◆EhHbCq6J3.
07/02/26 02:28:37 x+Qjqgdz0
>>272
やってみた
最初の式よりd=-(a+b+c)
次の式に代入して-a^2-ab-ac-bc+p=-(a+b)(a+c)+p=0
⇔p=(a+b)(a+c) 条件によりpは素数でb≧cなので{(a+b),(a+c)}=(p,1),(-1,-p)
(ⅰ){(a+b),(a+c)}=(p,1)のとき
最初の式よりb,cを消去してa=d+p+1よりb=-(d+1),c=-(d+p)
a≧b≧c≧dより-(p+2)/2≦d≦-p/2 pは素数なのでd=-(p+1)/2
よって(a,b,c,d)=((p+1)/2,(p-1)/2,-(p-1)/2,-(p+1)/2)
(ⅱ){(a+b),(a+c)}=(-1,-p)のとき
最初の式よりb,cを消去してa=d-p-1よりb=p-d,c=1-d
a≧b≧c≧dよりd≦1/2,d≧p+1/2となるがこのような整数dは存在しない。
以上より、(a,b,c,d)=((p+1)/2,(p-1)/2,-(p-1)/2,-(p+1)/2)
こんな感じでいいのかなぁ
条件式から文字消去→不等式で範囲の絞込みという感じで整数問題を解くときの
定石を使えばなんとかなるのかな。まあ京大らしいといえばらしいな
276: ◆ThRjp1igzE
07/02/26 10:20:41 SWKeF5uP0
1辺の長さ1の正四面体OABCがあり△ABCの内部(周を除く)に点Dを取る。
点Dから面OAB,面OBC,面OCAに下ろした垂線の足をP,Q,Rとし△PQRの重心
をGとする時線分GDの長さの取り得る値の範囲を求めなさい。
答えは□≦GD＜△の形になります。□=√3/3,△=√3/2なら#√3/3√3/2
277: ◆ThRjp1igzE
07/02/26 12:07:11 GEyysemW0
>>276
8文字以上じゃねぇか？
√は全角なので半角の２文字分だっけ？
#aaaaaaaa
#aaaaaaaaあ
√あ/いう≦ＧＤ＜√えお/か
なはず
278: ◆9IsgLlst0w
07/02/26 12:10:14 GEyysemW0
上記のであっていれば(6字)このトリだろう。
279:いうお＠K大生 ◆ThRjp1igzE
07/02/26 13:20:39 x+Qjqgdz0
280:いうお＠K大生 ◆EhHbCq6J3.
07/02/26 13:23:11 x+Qjqgdz0
>>272の問題予備校の評価は難になってるけどどう思う？
一昔前なら標準くらいだと思うけど
281:大学への名無しさん
07/02/26 20:27:14 fs2+ZN7l0
>>280
URLﾘﾝｸ(nyushi.yomiuri.co.jp)
これの問5を解くときの発想(アイデア)を教えてください。
予備校の解答見てもいまいち納得できません。
282:いうお＠K大生 ◆EhHbCq6J3.
07/02/26 21:20:22 x+Qjqgdz0
>>281
条件からとりあえず↑x_m=A^m↑x_0=↑x_0が出るがこれではうまくいきそうにない
そこで↑x_(m+1)=A^(m+1)↑x_0=A^m↑x_1,A^(m+1)↑x_0=A*A^m↑x_0=A↑x_0=↑x_1
よりもう一つの条件式A^m↑x_1=↑x_1がでるこれと最初の式を行列表示でまとめて
A^m(↑x_0 ↑x_1)=(↑x_0 ↑x_1)これからもし↑x_0と↑x_1が線形独立、
つまり平行でないなら行列(↑x_0 ↑x_1)の逆行列が存在してA^m=Eが示せそう。
とりあえず平行であると仮定して背理法を適用してみよう。まず↑x_0=k↑x_1とおいて、
（以下略）という感じだろうな
283:いうお＠K大生 ◆EhHbCq6J3.
07/02/26 21:29:46 x+Qjqgdz0
この問題整数問題より難しいかも名ｗ
今年の京大はかつてを取り戻した感があるな
284:いうお＠K大生 ◆EhHbCq6J3.
07/02/27 02:58:21 sdyZkRjf0
河合より駿台のケーリーハミルトン使う解法のほうが発想としては自然だろうな
285: ◆w5N7n66CcE
07/02/27 09:45:16 0QO0Ot2i0
縦acm横bcmの長方形の中に2辺が2cmと3cmの板を隙間なく重なり合わない
ように敷き詰めるとき(1)(2)の場合について敷き詰め方の総数を各々求
めなさい
(1)a=6,b=18(2)a=8,b=9
(1)が12通り(2)が34通りなら#1234
286: ◆w5N7n66CcE
07/02/27 15:46:36 SNMEap9C0
なかなか難しかった
287:GEN ◆w5N7n66CcE
07/02/27 22:38:07 pMFIJe1e0
算数だな
288:GEN ◆ThRjp1igzE
07/02/27 22:51:52 pMFIJe1e0
>>276
始点をO、とし任意の点Pに対するベクトルをVec(P)と定義すると
Vec(D)=αVec(A)+βVec(B)+Vec(C)
α+β+γ=1,0≦α、β、γ<1
でシコシコ計算したらα、β、γの対称式が出てきてこの関数をf(α,β,γ)と表す。特にα≦β≦γ＜１としたときGDは
f(1/3,1/3,1/3)≦GD＜f(0,0,1)
字数がおかしい
正しいトリを教えてくれ
289:GEN ◆ThRjp1igzE
07/02/27 22:52:56 pMFIJe1e0
Vec(D)=αVec(A)+βVec(B)+γVec(C)
290: ◆/Q1ceQD7vc
07/02/28 10:02:55 AIUNikFt0
半径が1の球を互いに平行なn-1枚の平面で体積が等しいn個の立体に
分割する。この時n-1枚の断面の円の面積をSn.1,Sn.2,…,Sn.n-1と
する時lim(n→∞){1/(n-1)}Σ(k=1～n-1)Sn.kの値を求めなさい
2π/3なら#2π/3
291: ◆w5N7n66CcE
07/02/28 18:18:26 A7s8/Km/0
292:大学への名無しさん
07/02/28 23:04:57 A7s8/Km/0
>>290
分からん。
三次方程式の解の評価がどうしても出来ない。
293:GEN ◆/Q1ceQD7vc
07/03/01 09:11:28 xUOMcxxK0
あ
294:4π/5
07/03/01 16:25:02 r5j4vCiN0
tes
295: ◆/Q1ceQD7vc
07/03/01 16:28:15 r5j4vCiN0
失敗、本当に申し訳ない。
これで違ってたら笑えるけど。
296:いうお＠K大生 ◆EhHbCq6J3.
07/03/01 16:56:35 s5Kn5ZDR0
>>290
できないや
どうやるんだ
297:大学への名無しさん
07/03/01 17:20:00 r5j4vCiN0
１体積と面積をｘでパラメータ表示
２体積と面積をそれぞれ横軸、縦軸にとってグラフ表示。
３１のパラメータ表示から面積を体積について積分。
４３で求めた値が２での区分求積と一致することから求める。
という感じでやった。
よく出来た問題だよ。
結局昨日から合計で５時間以上はこの問題考えてた気がする。
298:いうお＠K大生 ◆EhHbCq6J3.
07/03/01 17:27:48 s5Kn5ZDR0
方針としてはSn.kを適当なパラメーターで表してそれを挟み込んで挟み撃ち
かなと思ったが評価ができずとまった
>>297
3-4が分からない
299:大学への名無しさん
07/03/01 17:58:06 r5j4vCiN0
>>298
俺も初めはその方針でやったんだけど、どうしても上手くいかなかったんだよね。
カルダーノの公式使おうとしたりとか、色々やったけど時間の無駄だったよ。
以下は俺なりの解法。
球の断面積をs(x)=(2x - x^2)π （0≦x≦2)
v(x)=∫[x,0]s(t)dtとする。
S=s/π、V=v/πとすると
（Ｖ，Ｓ）＝（x^2 - x^3/3, 2x - x^2) とかける
∫[4/3,0]SdV=∫[2,0](2x - x^2)(2x - x^2)dx=省略=16/15
これは２でのグラフと横軸で囲まれる部分の面積に等しい。
（このグラフは横軸とV=0,4/3の二点で交わる）
ここで横軸のＶをn等分すると、各間隔は4/3nに等しいので
各分割された領域の境界点は問題文中の各sni/πに等しい、
よって区分求積法により、この面積は
lim[n→∞]{4/(3n)}∑Sni
挟み撃ちの議論を省略すると、以上よりlim[n→∞]{1/(n-1)}∑Sni=(3/4)*(16/15)=4/5
故にlim[n→∞]{1/(n-1)}∑sni=4π/5
大文字と小文字が逆転してて分かりにくいが勘弁してくれ。
300:いうお＠K大生 ◆EhHbCq6J3.
07/03/01 18:10:59 s5Kn5ZDR0
なるほど。
俺もカルダノ考えたが結局は余計複雑化してあぼーんだった
それくらいしか方法なさそうだね
でも別海かんがえてみるけどｗ
301:大学への名無しさん
07/03/02 22:34:55 ahQ0irHJ0
ありがと～
302: ◆F0a8DbmXZw
07/03/05 09:56:48 35MmjW270
原点から出発する粒子がx軸上を1回の移動で+1移動する確率がp
-1移動する確率がqの時2n回の移動で原点にいる確率をPnとする時
lim(n→∞)(1/n)logPnの値を求めよ
303: ◆F0a8DbmXZw
07/03/05 12:18:54 Z5I8fNqh0
これってp+q=1としていいんかな。
304: ◆F0a8DbmXZw
07/03/05 12:48:53 T6YvLYUJ0
これできてたら文二合格！
305:大学への名無しさん
07/03/05 20:02:37 pD2C72R10
>>302
解説きぼん
306:いうお＠K大生 ◆F0a8DbmXZw
07/03/05 23:31:19 HRxepZcy0
+1の回数をx,-1の回数をyとすれば
x+y=2n,x-y=0が成り立つ。よってPn=2nCn(p^x)(q^y)=2nCn(pq)^n
(1/n)*logPn=log(pq)+(1/n)*∑[k=1～n]log{1+(k/n}-(1/n)*∑log(k/n)
lim[n→∞](1/n)*logPn=logpq+∫[0～1]log(1+x)dx-∫[0～1]logxdx
=logpq+2log2=log4pq（∵lim[x→0]xlogx=0）
307:大学への名無しさん
07/03/05 23:58:22 n68EWQJX0
>>306
４行目まではいったんだよね
でも
∫[0～1]logxdx
ってできなくね？
308:いうお＠K大生 ◆EhHbCq6J3.
07/03/06 00:01:07 HRxepZcy0
>∫[0～1]logxdx
>ってできなくね？
lim[x→0]xlogx=0
309:大学への名無しさん
07/03/06 00:45:06 ZbMjuGFh0
[x→0]x＾x＝１
ってこと？
どーやって証明するんだろ
310:いうお＠K大生 ◆EhHbCq6J3.
07/03/06 00:48:34 CLEx7FJn0
logxを適当な函数で評価
例えば
0＜x＜1で-1/√x＜logx＜0
で挟み撃ちとか
311:大学への名無しさん
07/03/06 00:57:26 ZbMjuGFh0
なるほどー
入試の答案ではlim[x→0]xlogx=0は当然既知として使ってはダメだよね？