01/05/11 04:10
>>298
>次の無限数列には素数の項が存在しないことを示せ。
> 10001, 100010001, 1000100010001, ...
(１) １が偶数回現れるとき
この場合は 10001 の倍数で、10001 も 73 で割り切れる。
(２) １が奇数回現れるとき
題意の数は m を 1 以上の整数として
10^(2m*4) + … + 10^(2*4)+ 10^4 + 1
で表せる。これが 10^(2m) +…+ 10^2 + 10 + 1 で割り切れる
(例えば 10001000100010001 は 11111 で割り切れる）
ことを示すため、（３）の補題を用いる。
(３) x の多項式
x^(2m*4) + … + x^(2*4) +x^4 + 1
が x^(2m) + … + x^2 + x + 1 で割り切れることを示そう。
それぞれに(x-1)をかける事により
A(x) =（x^(2m*4) + … + x^(2*4) + x^4+1）(x-1)
が B(x)=x^(2m+1) - １ で割り切れる事を示せばよい。
まず m が偶数2nであるときには
A(x) を展開して得た項を使って
x^(4n*4+1)－x^(4n*3) 、… 、x^(4n+1)－１
を得ることができ、これらは B(x)=x^(4n+1)－１で割り切れる。
残る項も -x^(4n*4) + x^(4n-3) 、…、-x^(4n*3+4) + x
のように組み合わせることができ、
それぞれが x^(4n*3+3)-1で割り切れ、
従って B(x) で割り切れる。
同様にmが奇数2n-1である場合も、A(x)を以下２行のように組み合わせ、
-----------------------------------------
-ｘ^(4n*4-8)+ｘ^(4n*3-7) 、… 、-ｘ^(4n)+x
x^(4n*4-7)-x^(4n-4) 、… 、x^(4n*3-3)-1
-----------------------------------------
B(x)=ｘ^(4n-1)－１で割り切れることが示せる。
(４) (３)の最初２行にある両多項式で x＝10
とおいたのが、(2)の場合である。