24/05/25 01:05:19.67 0.net
>>860
誰がそんな嘘書いたの？
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はい、Tarskiの論文で述べられている初等幾何学と伝統的なユークリッド幾何学は厳密には同一ではありません。以下のポイントで両者の違いが明確になります。
初等幾何学
範囲: 初等幾何学は、ユークリッド幾何学の一部として定義されていますが、集合論的な手法を用いずに定式化される部分に限られます。
形式化: 第一階述論理（first-order predicate calculus）に基づいて形式化され、変数は固定された集合の要素（点）を表します。
公理体系: 初等幾何学には、点の間の関係を表す述語（例: 中間性や等距離性）が使用され、連続性公理も第一階述論理の範囲内で表現されます。
ユークリッド幾何学
範囲: ユークリッド幾何学は、ユークリッドの『原論』に基づき、広範な幾何学的概念と定理を含みます。
形式化: 伝統的なユークリッド幾何学は、第二階述論理（second-order logic）や集合論的手法を含むことがあります。例えば、連続性公理は集合を扱う第二階述の形式で表されることが多いです。
公理体系: より多くの公理や定理が含まれ、点だけでなく直線や平面といった幾何学的図形も扱われます。
主な違い
論理の階層: 初等幾何学は第一階述論理に限定されており、ユークリッド幾何学の一部の概念を含むことができません。特に、連続性公理は第一階述論理の範囲内で再定式化されています。
公理と定理の範囲: 初等幾何学は、ユークリッド幾何学の全ての定理を含むわけではなく、主に点の関係を扱う基本的な部分に焦点を当てています。
つまり、Tarskiの定義する初等幾何学は、ユークリッド幾何学の一部を抽出し、集合論的な要素を排除して第一階述論理で扱える形に再定式化したものです。このため、初等幾何学はユークリッド幾何学の厳密な部分集合と見なすことができます。