21/09/23 02:16:51.46 0.net
>>38
x（10－x）＝ 21
は、プログラミングの記法を連想させる。
アル゠フワーリズミー（七八〇頃─八五〇頃）の『ジャブルとムカバラの書』と
あるので、1200年以上前に、もうプログラミングの原型があったようだ
43:考える名無しさん
21/09/23 02:37:09.04 0.net
ここから分かるのは、数学の本質は、優れた表記法(ノーテーション)による
メモリ(脳)負荷の低減にある、と言えるだろう。抽象化の利点もそこにあり、
そのことで時空に束縛されない汎化能を獲得する、有限なリソースを効率的に
差配、操作する、という観点がありそうだ。
44:考える名無しさん
21/10/22 23:53:41.06 0.net
哲学と同様に、あるいは、それ以上に数学も思考の厳密性を要請される学問である
と考えられる。
(a + b)(a - b) + b^2 = a^2
であれば、作図によって得られる二つの領域の面積が同じであることを
代数で明証的に示した一例となっている。直観だけに訴える図を眺めただけでは、
両項の図形に量的等価性があることは判然としないが、それを代数的な式で表現する
ことで、そこに明証性が得られる。
45:考える名無しさん
21/11/26 17:28:21.09 0.net
情報理論は、システム（ex.有機体）が外界からエネルギーを吸収し、それを一定の
パターンや構造に転換していく際にみられるエントロピー(無秩序)の減少という視点
から、組織化された複雑性を説明している。情報理論によれば、エネルギー、情報、
パターンはすべて負のエントロピーに対応する.
コンピュータ・プログラムは、いろいろな種類の記号対象を作ることができると同時に、
それらを近くのものを含めた環境の関数として、複製させたり消滅させたりすることも
できる。システムのパラメータを適当に選択することによって、このシミュレーションは
進化する自己再生産システムを鮮明に描き出すことができる。
46:考える名無しさん
21/12/07 12:14:30.85 0.net
まず、複素関数に固有の課題として、関数の「多価性」の問題が浮上してくる。
一つの変数zに対して、f (z) が二つ以上の異なる値を取る関数のことを
「多価関数」と呼ぶ。
たとえば、f (z) ＝という関数、すなわち、複素数zに対して「二乗するとzになる複素数」を
対応させる関数を考えると、０でないzに対してf (z) は常に二つの異なる値を取る。
一つの変数zに対して、ちょうど一つのf (z) が定まるという関数の「一価性」が崩れる
この現象は、実関数の場合には大きな問題を引き起こさない（例であれば「平方根としては
正の実数を取る」と決めておけばいい）が、複素関数の場合には本質的な問題として
浮上してくるのだ。
47:考える名無しさん
21/12/07 12:15:05.92 0.net
リーマンはこの問題を解消するために、「リーマン面」の概念を考案した。関数は、
複素平面内の領域ではなく、複素平面の上に幾重にも広がった面
（f (z) ＝の場合には二重に広がった面）の上に定義されるというのだ。
複素平面上の関数と見たときには多価性を持つように見えた関数が、
新たな「面」の上では一価関数になる。
リーマンは、一八五七年の論文のなかで、複素平面と「ぴったり重なり合う
もう一枚の面」、あるいは、「ある限りなく薄い物体」が、複素平面の上に
「広がっている状勢を心の中に描いてみよう」と提案している。
48:考える名無しさん
21/12/07 12:15:34.36 0.net
たとえば、複素数iに対して、「二乗するとiになる複素数」は二つ存在する
それは、
(１ + i) / √2 と (-１ - i )/ √2
などである。この場合、どちらか一方だけを選ぶいい方法はない。実関数の場合と違い、
複素関数を考える上では関数の多価性が根本的な問題になるのだ。深谷賢治
「リーマンのイデー」（『現代思想』二〇一六年三月臨時増刊号）には、複素関数の
多価性の問題からリーマン面の導入までのコンパクトで明快な説明がある。
49:考える名無しさん
21/12/07 12:16:04.10 0.net
リーマンは、空間に先立つ根源的な概念としての「多様体（Mannigfaltigkeit）」に
ついて論じた。リーマンの言う「多様体」とは、空間が距離や角度、曲がり具合などの
計量的な性質を帯びる前の「広がり」そのものとして構想された。これについて彼は、
一八五四年の教授資格申請講演において、歴史に残る発表をしている
数式がほとんど登場しないこの日の講演の記録を読むと、リーマンの関心が
複素関数論や幾何学の枠にとどまらず、大きな哲学的構想を孕むものだったと分かる。
実際、リーマンにとって科学とは、「精密な概念を通して自然を把握する試み」であり、
数学はそのために既存の概念を修整し、また、新たな概念を開発していく営みとして、
哲学と切り離せないものであった
50:考える名無しさん
21/12/07 12:16:39.91 0.net
十九世紀半ばまで、数学は「量」（独Größe、英Magnitude）についての科学だと
常識的には考えられていた。たとえば、オイラーはその著書『代数学入門』
（Vollständige Anleitung zur Algebra, 1770）の冒頭で、「数学は量の科学である」
と明言している。
そもそも「量」とは何かといえば、ぼんやりしていてとらえどころがない。長さや面積、
体積、あるいは時間などを「量」の例として挙げることはできるが、厳密な定義が
あるわけではなかった。リーマンの「多様体」の概念は、この漠然とした「量」の概念に
新しい光を当てようとするものだった。しかもそれは、哲学的な思弁の結果無理に
こしらえられた概念ではなく、関数論の研究に導かれて、数学内部の要求に応える
中から、自然に浮かび上がってきた概念なのだ。
51:考える名無しさん
21/12/07 12:17:11.93 0.net
彼はまず、複素関数についての研究の過程で「リーマン面」を構想するに至った。
そこには、関数と、その関数が定義される領域の間の関係に注目するリーマンの
独創的な視点の芽生えがあった。このとき、関数が定義される領域の性質のうち、
肝心なのは、空間の計量的な性質に依らない「繫がり具合」（現代数学の言葉では
「トポロジー」）であった
そこでリーマンは、長さや角度、体積などを定義するための構造が与えられる前の
一般的な「多様体」概念から出発し、そこに後から計量構造を添加していくことによって、
具体的な空間を構成していくという、幾何学への新しいアプローチを構想するのだ。
52:考える名無しさん
21/12/07 12:17:41.70 0.net
リーマンによれば、空間とは、経験を通して真偽を確認できる仮説的な構造を
多様体に添加していくことで少しずつ具体化していくものなのである。これは、
空間概念の理解としてまったく斬新なもので、講演を聞いたガウスは興奮を
隠せない様子だったという。
講演のなかでリーマンは語る。 「様々な規定法を許す一般概念が存在するところでだけ、
量概念というものは成立可能である。これらの規定法のうちで一つのものから
別の一つのものへ連続な移行が可能であるか不可能であるかに従って、これらの
規定法は連続、あるいは離散的な多様体をなす
53:考える名無しさん
21/12/07 12:18:26.17 0.net
連続的な多様体を生み出す概念の例の一つとして彼は、「色彩」を挙げる。
「色彩」という概念について考えるとき、私たちは無意識のうちに、心のなかに
様々な色を思い浮かべるだろう。それら色彩の全体は、ある空間的な「広がり」と共に、
連続的なグラデーションをなす。概念に対応して想起されるこうした「広がり」を、
リーマンは多様体という概念で摑もうとするのだ。この場合、黄緑や赤紫など、
個々の色合いが、色彩という一般概念の「規定法」に当たる。
そして、こうした具体的な色の全体が、色彩という一般概念に対応する多様体をなすのだ。
「概念」と、ある種の「広がり」を対応させる発想の芽は、実はすでに伝統的な論理学における
「概念の外延」という考えに現れていた。外延（英 extension、独Umfang）とは、概念に
よって規定される対象の集まりである。
54:考える名無しさん
21/12/07 12:18:50.13 0.net
たとえば、「10以下の素数」という概念の外延は、素数２、３、５、７からなる集まりであるし、
「自然数」という概念の外延は、すべての自然数からなる集まりである。
イギリスの数学者ジョージ・ブール（一八一五─一八六四）は著書『論理の数学的分析』（Mathematical Analysis of Logic, 1847）のなかで「論理を可能にするのは、
一般的な概念の存在、すなわち、クラスを想像し、その個々の要素を共通の名前で
指示することができる能力である」と記している
55:考える名無しさん
21/12/07 12:19:13.61 0.net
たとえば、「すべての人間は動物である」というとき、人間全体の集まりが、動物全体の
集まりのなかに含まれている状況を思い浮かべることができる。概念に対応する
「集まり（集合、クラス）」をこうして思い描く力が、概念を用いた論理的な推論を
可能にする前提だとブールは指摘するのだ。
リーマンの発想の背景には、このような論理学の当時の常識があった。「色彩」が
織りなす連続多様体というリーマン自身が挙げている例からも、彼の考える多様体が、
概念の外延という考えと密接に関係していたことが読み取れる
56:考える名無しさん
21/12/07 12:19:44.29 0.net
数学史家のホセ・フェレイロスはここから、リーマンの多様体のアイディアが、
あらゆる「概念」を扱い得る数学的な土台として企図されたものであって、これこそ、
後にリヒャルト・デデキントやゲオルク・カントールらによって確立されていく
「集合」概念の起源だと、著書『思考の迷宮』（Labyrinth of Thought, 1999）で
鮮やかに論じている。
ちなみに、「集合」と一般に訳される言葉は英語では「Set」、フランス語では
「Ensemble」である。ドイツ語ではデデキントが「System」、カントールが「Menge」、
あるいはリーマンの「多様体」と同じ「Mannigfaltigkeit」を用いた。
こうした事情は、日本語に訳してしまうと見えなくなるが、名称の揺れと多様さからも、
集合概念の確立までの紆余曲折と、概念間の密接な相互関係を窺い知ることができる。
リーマンの多様体は、関数論や幾何学における重要な道具であるのみならず、
現代数学を支える「集合」概念の芽として、数学全体の基礎づけにかかわるアイディア
でもあったのである。
57:考える名無しさん
21/12/07 12:28:46.11 0.net
>>46
☓ >たとえば、f (z) ＝という関数
○ >たとえば、f (z) ＝√zという関数
58:考える名無しさん
21/12/07 12:32:36.01 0.net
>>47
☓ >（f (z) ＝の場合には二重に広がった面）
○ >（f (z) ＝√zの場合には二重に広がった面）
59:考える名無しさん
21/12/07 12:54:28.68 0.net
ドゥルーズ=ガタリもリーマン多様体的なトポロジーの意匠を借りながら、
彼らの晦渋な哲学をさらに分かりにくく(=衒学的に)説明していた
非常に複雑な空間であるトポロジー。それに対応した可視化可能な空間が
直接的にはないので、イメージなり、比喩でようやく少しだけ想像できそうな空間
60:考える名無しさん
21/12/07 13:09:09.69 0.net
就寝時に見ている夢なども、いわば表象空間であり、
もし、あの世や前世みたいなものがあれば、そこも空間だし、
想像だけで考えている世界や宇宙も想像的な空間なので、
リーマン多様体だけでなく、実は、接続可能な特殊な、別の空間や時間を
考えること自体は、いろいろ出来そうだ。そこは離散的に断絶していたり、
飛躍があるのでなく、むしろ、なんらかの連続性がある、と表現できない
こともないであろうし。
つまり、位相や平面なり、次元、を変えれば、バラバラに点在しているように
みえたものが、それなりの繋がりや連続性のあるものへと置換されうる、という
ことかな。
61:考える名無しさん
22/10/26 05:24:11.99 0.net
そのうち英語で数学をやりたいんだが、できるかな
62:考える名無しさん
22/10/27 03:20:27.77 0.net
If the conditional probability of C's transmitting a dash, given that A transmits
a dash, is such as to make this a matter of pure chance (as we assumed in supposing
that A's and C's transmission of the same message was purely coincidental), then
the conditional probability of D's receiving a dash, given that A transmitted one,
is also such as to make this a matter of pure chance.
Hence, the equivocation between A and D is at a maximum despite the perfect
correlation. No information gets through.