19/01/28 01:49:46.24 VUVuykMp.net
昔集合論の開祖といわれるカントールという数学者がいた。
かれは無限個の要素を持つ集合（無限集合）には階級が存在することを
はっきりと認識した。Aという無限集合とBという無限集合、どちらも
要素の数が無限（有限ではない）というだけではなくて、
集合の要素の間に1対1の対応関係が存在すれば両者は対等な無限集合
だと見なす（数学用語では濃度が等しい集合という）。
（1対1の対応がない濃度が等しくない集合同士の場合、
必ず対応関係で片方には余りが出てしまう。それによって
濃度の大小を定義できるとする。）有限集合の場合には、
集合の濃度とは集合が含む要素の個数と等しい自然数であるとする。
それではどんな無限集合も濃度が等しいのだろうか。
カントールは、集合Sに対してSのべき集合P(S)を考える。
べき集合P(S)とはSの部分集合の全部を要素として集めた集合である。
そのとき、SとP(S)の濃度は必ず異なり、P(S)の方が大きいことが
示せるのだ。
そうして一番濃度が小さい無限集合は、自然数全体の集合N（と
濃度の等しい集合）であることも示せる。
すると、P(N)の濃度はNよりも大きいのだ。そうしてカントールは
P(N)が実数のある区間あるいは実数全体Rと濃度が等しい集合になる
ことを示した。つまりNよりもRの方が濃度が大きい。
そうしてP(R)はRよりもさらに濃度が大きく、そのべき集合はさらにと
いくらでも濃度の異なる無限集合の列が存在することになる。
そうしてカントールはNの次に濃度が高い無限集合はRと同じ濃度を
持つと考えた。これを「連続体仮説」という。つまりNとRの中間の
濃度を持つ無限集合は存在しないという仮説である。そうしてそれを
証明しようとして一生掛けたが、ついに証明には成功しなかった。
そうしてだれもNとRの中間の濃度を持つ集合（反例）を具体的に構成
できていないので連続体仮説は正しいに違いないとみな思っていた。
すくなくとも仮説が正しいかあるいは正しくない証明は可能だと数学者
のほとんどは思っていた。しかしそれが不可能であることがついに
示されたのであります。それは20世紀の半ば頃のこと。
連続体仮説は､普通の数学の中では肯定も否定もできない命題なのだ
ということが証明されてしまったのです