26/04/12 17:16:14.27 .net
求心力を求める例をもっとやってみる。2/15の内容で、
軌道式 f(r,θ)=0の微分を求めて、dθ/dt=r^-2 (角運動量保存式)と軌道式自体を使いながら、
θとdθ/dtを消去し続けて r^-3 - d(dr/dt)/dt が求心力 F(r)になることがわかっている。
数学的な形状だけ見て、定数倍などの係数はあまり扱わない。必要な人はそれぞれで。
円錐曲線 f(r,θ) = r (1 + e cosθ) - 1 = 0をやってみる。
1 + e cosθ = r^-1
df = dr (1 + e cosθ) + r (- e sinθ dθ) = 0
dr/dθ = r e sinθ/(1 + e cosθ) = r^2 e sinθ
dr/dt = dr/dθ dθ/dt = e sinθ
d(dr/dt)/dθ = e cosθ
d/(dr/dt)/dt = e cosθ r^-2 = r^-2 (r^-1 - 1)
F(r) = r^-3 - (r^-3 - r^-2) = r^-2
軌道が円錐曲線ならそれを求心力が起こしているのなら逆二乗の形と証明されたのだが、
e=0とする退化を辿ってもらいたい。dr/dθが消えてしまい以後が辿れなくなる。
即ちこの方法では円軌道についても楕円軌道のe=0極限と見ることで力の形状を得る流れとなる。
r = e^θの例をやってみる。
dr/dt = dr/dθ dθ/dt = e^θ r^-2 = r^-1
d(dr/dt)/dt = d(r^-1)/dr dr/dt = - r^-2 dr/dt = - r^-3
F(r) = r^-3 - (- r^-3) = 2/r^3
これは等角らせんである。∵)角θ測る用のθ原点を内的に変えると係数Aに入り r = A e^θ。
シフト角分だけ回転させて縮尺を掛ける。変化物は元の物にぴたり重なろう。
回転と等倍で角度は不変。どこを回転縮尺で注視点選びにしても同じ形状で重なりらせんは等角性を持つ。
角運動量の正指定で反時計回り。r=e^-θはr=e^θと同じ結果を出す。
というのはらせんを描く時縮もうが広がろうが引かれて中心に向いて曲がっている事情は同じ。
もし斥力なら外側へカーブするので内側にカーブするなら求心力。
138:名無電力１４００１
26/04/12 17:17:03.99 .net
回転円軌道上で宇宙機同士がランデブーする際のヒルの方程式を基礎から学ぶ。
遠心力・コリオリ力・加減速力・回転面の上下振動が見られる。
上下振動は本当は少し斜めなのだと思うと周期に同期して上下しているとも見れるが解釈。
地球の赤道上空を公転する例をする。zが北極星方向、xが半径外向き、yが進行方向。
さてdA/dt = δA/δt + ω×A。左辺は静止系。δ/δtは回転座標系で見る時間微分。ωは角速度。
Aが回転座標系での外向き方向ベクトルと決め打ちすると、回転に連動して静止でのy成分を獲得して向きが回って行く。
y方向ベクトルなら-x成分を獲得。少なくとも考察微小の時間範囲では右辺第2項の置き方形式で良さそうである。
d(dA/dt)/dt = δ(dA/dt)/δt + ω×dA/dt
= δ{δA/δt + ω×A}/δt + ω×{δA/δt + ω×A}
= δ(δA/δt)/δt + δω/δt×A + ω×δA/δt + ω×δA/δt + ω×(ω×A)
二階微分まで片付けたから以後A=rの場合だけを扱う。m掛ける左辺は力。mで割ったまま考察。
… = r'' + ω'×r + 2 ω×r' + ω×(ω×r)
運動系での動作が静止系での力をも受けてどうなっているかの読む方程式。
dω/dt = δω/δt も(Aにω入れ)わかる。
回転座標系でのr=(x,y,z)と書く。宇宙機をその原点に置いてる。遠い所に原点がある静止座標系ではない。
ちなみにその場合はδrとrが同一物になる。角速度ベクトルω=(0,0,n)としよう。
ベクトル外積計算で
ω×r' = (0,0,n)×(x',y',z') = (-n y', n x', 0)
ω×(ω×r) = (0,0,n)×(-n y, n x, 0) = (-n^2 x, -n^2 y, 0)
加減速はnの変化ではなくxyzで表示されnは定数とする。ω'×rの項は0。
ところでここまでの考察では座標を回転系にしただけで重力を思っていない。重力を入れる。
遠心力 m r n^2 = G M m / r^2 の平衡式からは n = √(G M /r^3) の関係式が付く。
重力は左辺の…部に入る。しかも潮汐力だけである。主要部は前行型で系作りに今使用された。
スラスタ等制御力加速度 + 重力潮汐型加速度 = (x''- 2n y' - n^2 x, y''+ 2n x' - n^2 y, z'')
139:名無電力１４００１
26/04/12 17:18:08.61 .net
重力ベクトルの位置による変化を探る。
そのために重力ベクトル g = - G M r /|r|^3 = - n^2 r を各方向に偏微分する。
その9成分量と位置変位ベクトルとの内積で、位置による変化がわかる。
n^2とはまだ置いてはいけない。円軌道に固定せずもっと自由な動作を見る段階なので|r|が固定していない。
∂(|r|^3)/∂x = ∂{(r^2)^3/2}/∂x = 3/2 (r^2)^1/2 2x = 3x |r|
∂{g_x/(- G M)}/∂x = ∂(x/|r|^3)/∂x = |r|^-6 {|r|^3 - x ∂(|r|^3)/∂x} = |r|^-5 (r^2 - 3x^2)
∂{g_y/(- G M)}/∂x = ∂(y/|r|^3)/∂x = |r|^-6 {- y ∂(|r|^3)/∂x} = |r|^-5 (-3x y)
結果9成分行列 ∂g/∂r = - G M |r|^-5 (r^2 I - 3 [r,r]) = - G M |r|^-3 (I - 3 [rhat,rhat])
[r,r]等はベクトル同士の全成分積のつもりだがその内容はあらわに書くとその上の物。
さて微分計算は終わったのでnを使っても良く、またr/|r| = (1,0,0)。
∂g/∂r = - n^2 (I - 3[但xx成分のみ])
これは対角行列である。だから3成分ベクトルに掛ける時も簡単。
重力それ自体は回転座標系の構成に含まれていて、位置による小さな変化が潮汐力的に力の方程式に入るのである。
それは ∂g/∂r・δr = - n^2 (x - 3x, y, z)
前リプ最後の式左辺第2項に入れよう。- n^2 x 的な物が良く打ち消し合い
(ax,ay,az) = (x'' - 2n y' - 3n^2 x, y'' + 2n x', z'' + n^2 z)
これがヒルの方程式である。
もちろん夜でも成り立つ。六本木夕方ズとか芸人にいそう。
-2n y'と2n x'はコリオリ力の項。
n^2 zは単振動に見せる項。但し周期が回転周期なので単に軌道が傾いてる。
またx'' = 3n^2 x + …、と書くと半径方向に広がって行く不安定さがある。(本当？)
140:名無電力１４００１
26/04/12 17:20:10.98 .net
1リプ半でケプラー方程式を導出する。準備1で次の半で本導出。
長半径a、短半径b、中心焦点距離c、離心率eの楕円を考える。
c = a e のこと。∵)
r = l/(1 + e cosθ) においてlの定数倍時にrは定数倍される。当面l=1で略。
この方程式が楕円であることはr cosθ = xと置いてr = l - e xを2乗すれば見える。
θ=0でr=1/(1+e)、θ=πでr=1/(1-e)、θ=π/2でr=1。
楕円の方程式はx^2/a^2 + y^2/b^2 = 1である。
θは中心ではなく焦点から測る角度であるため上の結果からb=1はない。
θ=π/2でのrは短軸とは並行する別の場所にある物であり半通径と呼ばれる。
しかし 2 a = 1/(1+e) + 1/(1-e) = 2/(1-e^2) であり
対して 2 c = 1/(1-e) - 1/(1+e) = 2e/(1-e^2)。
より所期の件については証明される。
極座標では焦点を、直交座標では中心を原点に置く流儀が普通。
bについては(c,0)と(0,b)の距離がaから決める。b = √(a^2-c^2) = a√(1-e^2) = 1/√(1-e^2)。
ところでl=(1-e^2)と置いてみればスケールがl倍され、x^2 + y^2/(1-e^2) = 1 で焦点は(±e,0)の半通径は1-e^2。
系の記述を中心から測る角度αで表したいのがケプラーの発想。
しかし例えば縦方向に2倍に延ばすだけで相当点への角度が変わってしまう。
これを標準化し一意感の物にするために単位円周への角度、それを横a倍、縦b倍。
このように2段階に分けて表して行くことにする。
すると楕円周のパラメータ表示は (a cosα, b sinα)。かえってきれいに。
今一般点(a cosα, b sinα)と焦点(c,0)の距離rを求める。
r^2 = (a cosα - a e)^2 + (b sinα)^2
= a^2 {(cosα)^2 - 2 e cosα + e^2} + a^2 (1 - e^2) {1 - (cosα)^2}
= a^2 {- 2 e cosα + 1 + e^2 (cosα)^2}
= a^2 (1 - e cosα)^2
これr = a(1-e cosα)は次々ランベルトOP,OQでも出てる。
141:名無電力１４００１
26/04/12 17:21:12.38 .net
ケプラー方程式
少し丁寧に焦点(c,0)に太陽があって楕円軌道上を地球が周回している様子を思い浮かべる。
楕円のaとbはわかっていて、面積速度則(=角運動量保存則)がある。
近日点(x軸上正位置の点)から計測を開始し、今第2象限(左上方面)に来ているとしよう。
中心と焦点が楕円において違う点であることが問題になる。
これまでに掃いた面積を中心から測る角度αで書く式を求めよう。
ナイーブに短軸方向をa/b倍して円にしてわかりやすくする。
すると弧度法面積で1/2 α a^2。それより中心・現在点・焦点で作る三角形の面積を引いた物。
これがこれまでに掃いた面積。それは時間に比例してh tなどとも書ける。
中心焦点距離 = a e。三角形の高さ = a sinα。
これまでに掃いた面積 h t = 1/2 α a^2 - 1/2 a e ･ a sinα = a^2/2 (α - e sinα)
nを適当な定義としてケプラー方程式 n t = α - e sinαが得られた。
ケプラー方程式からランベルト定理が導ける。
ケプラー用の今のα(離心近点離角)角をAやB化。
三角関数の加法定理
sin(a±b) = sin(a)cos(b)±cos(a)sin(b)
cos(a±b) = cos(a)cos(b)-±sin(a)sin(b)
複号でcos同士は足しsin同士は引くことが多いとするとcos(a)が残る。
a=(B+A)/2=C、b=(B-A)/2=D を入れる。するとB=a+b、A=a-b。(Bのが未来なのでこんな書き方)
a,bを捨てて式の略記という思想でC,Dを使ってる。(以後は楕円の長半径短半径的な別の意味でab)
cosB + cosA = 2 cosC cosD
cosB - cosA = -2 sinC sinD
sinB - sinA = 2 cosC sinD
cosγ = e cosC と定義し、2倍角の公式(実際には使わない) 1 - cos(2A) = 2 sinA^2
142:名無電力１４００１
26/04/12 17:22:15.89 .net
軌道上のP→Q移動時間はPとQのケプラー角A,Bを用い n t = (B - e sinB) - (A - e sinA) と書けるが
直上のγとDを使い、n t = (γ+D - sin(γ+D)) - (γ-D - sin(γ-D)) とも書ける☆。という内容。
離心率eが1化して仮想的な抽象放物線上のケプラー運動で問題が表示されるという。
∵) 証明は3つの場面でe cosCをcosγで置換する方が向上することを発見したことから。
n t = (B - e sinB) - (A - e sinA) = (B - A) - 2 e cosC sinD = (B - A) - 2 cosγ sinD
求心力中心OからPへの距離をp、Qへはqとする。PQ間距離をsとする。
p = a (1 - e cosA)、 q = a (1 - e cosB) から
(p + q)/a = 2 - 2 e cosC cosD = 2 - 2 cosγ cosD
Pの座標は(a cosA, b sinA)、 Qの座標は(a cosB, b sinB)。また b^2 = a^2 (1 - e^2)
s^2 = (a cosB - a cosA)^2 + (b sinB - b sinA)^2
s^2/a^2 = (cosB - cosA)^2 + (1 - e^2) (sinB - sinA)^2
= 4 sinC^2 sinD^2 + (1 - e^2) 4 cosC^2 sinD^2
= 4 sinD^2 (1 - e^2 cosC^2) = 4 sinD^2 (1 - cosγ^2) = 4 sinD^2 sinγ^2
s/a = 2 sinγ sinD
直近2段落ではcosの加法定理が見えている。
(p+q+s)/(2a) = 1 - cos(γ+D)
(p+q-s)/(2a) = 1 - cos(γ-D)
これは連立方程式だからOP+OQとPQとaからγとDが求まる。
(γ+D - sin(γ+D)) - (γ-D - sin(γ-D)) = 2D - {sin(γ+D) - sin(γ-D)} = B-A - 2 cosγ sinD
この時点で15行上の形になっていて主張☆が証明された。
143:名無電力１４００１
26/04/19 17:16:09.10 .net
ベクトル外積についてトリビアを学ぼう。
・a×(a×c)は0ではない。2回目のとこ内積なら0だけど？外積は垂直同士はフルになる演算。
・外積に結合則は成り立たない。
・3つの外積は先に掛け合わせた方のベクトルの線形和。係数は残りの内積で真ん中ベクトルが正。
a×bはεijk aj bkと書ける。εは123かその偶置換で1、奇置換で-1、他では0の、
6パターンでだけ非0を出す記号。暗黙にΣj Σkが略されていて残ったi添え字が方向値。
例えばi=1なら定義からa2 b3 - a3 b2がこの値。
a×(b×c) = εijk aj (ε b c)k = εijk aj (εklm bl cm)
i=1の時、jkは23か32、jk=23ならε123=1、a2 (b1 c2 - b2 c1)
jk=32ならε132=-1、a3 (b3 c1 - b1 c3)
よって、第1成分は、a2 (b1 c2 - b2 c1) - a3 (b3 c1 - b1 c3)
= a1 b1 c1 + a2 b1 c2 + a3 b1 c3 - a1 b1 c1 - a2 b2 c1 - a3 b3 c1
= [(a･c) b - (a･b) c]1
対称性による変数回転でどの成分にも同じ。
a×(b×c) = (a･c) b - (a･b) c ☆
144:名無電力１４００１
26/04/19 17:19:05.95 .net
まず単純に置き換えて変形。
c×(a×b) = (c･b) a - (c･a) b
(a×b)×c = (c･a) b - (c･b) a
明らかに結合則は成り立ってない。主張の2と3は示された。
その具体的な例を、a=bとすると、
a×(a×c) = (a･c) a - (a･a) c
(a×a)×c = (c･a) a - (c･a) a
成分を見ないで幾何学的な意味を1つはつかもう。
☆のような一般は言いにくいが出来る人居たら頼む。
nを単位ベクトルとして、
n×(v×n) = (n･n) v - (n･v) n = v - (v,n) n
右辺第2項はvのn軸への射影。
ということは、左辺はn軸からvの先端へ垂線を表示しているベクトル。
一端それを理解して左辺をもう一度解釈すると
｢vn平面に垂直なベクトル｣とn に垂直なベクトルは、n軸からvの先端へ向かう垂線。
六面体公式
abc 3つのベクトルに対し、a×bはab平面に垂直で大きさが|a||b|sinθ
だからちょうどabで張られる平行四辺形の面積を大きさとして持っている。
cはそれと斜めの関係にあろうけれど内積を取るとそのab平面垂直への射影で
(実効高さだけがほしかったのが与えられて)結局平行六面体の体積を得る。
体積という具体な物に対応したので変数回転の公式は従属する。
成分では(εijk aj bk) ci これはさらに自明的に見えているはず。
以上が要点。4元数にこれを使い、8元数をこの体系の7重マルチとして見ようと思う。
8元数の7もこういうεに類似の。(x×x)×y = 0 と x×(x×y) = -y。
結合則の成り立たなさを幾何学的意味を外して抽象公理の当てはめ様子でつかむ。
145:名無電力１４００１
26/04/26 17:35:09.00 .net
オイラー角θφψと四元数q0-q3からコマを語る。まず基本数理を様々に。
空間静止座標系をO-XYZ、物体固定座標系をO-xyz、原点Oは一致しているとする。
(Y,θ)→(Z,φ)→(z,ψ) という軸と回転角量。
どの軸で回転させるか、どれだけ回転させるかを2+1手続きで表わしていると見る。
この処方で空間回転を表現する手法をオイラー角と呼ぶ。
θは余緯度だしφは経度、それで決めた軸でψの回転させる。
x軸の動きは(1,0,0)→(cθ,0,-sθ)→(cθcφ, cθsφ, -sθ)
y軸の動きは(0,1,0)→(0, 1, 0)→( -sφ, cφ, 0)
z軸の動きは(0,0,1)→(sθ,0, cθ)→(sθcφ, sθsφ, cθ)
元の1はcosθ化しθが増えるにつれ進む方向のsinθ成分も帯びて来る。
2番目の→は典型だからいいと思う。cとsは略記用。
次にz軸回転についてはcψとsψを掛けて軸ベクトルを混ぜる方法をする。
z^は動かずにx^とy^は成分毎にx→cψx+sψy とy→-sψx+cψy。これでz回転を取れている。
かくして多数派教科書にも載っている標準的な結果を得る。
→(cθcφcψ-sφsψ, cθsφcψ+cφsψ, -sθcψ)
→(-cθcφsψ-sφcψ, -cθsφsψ+cφcψ, sθsψ)
→(sθcφ, sθsφ, cθ)
規格直交は確認される。例えば
(c1c2c3-s2s3)(-c1c2s3-s2c3) + (c1s2c3+c2s3)(-c1s2s3+c2c3) + (-s1c3)(s1s3) = -c1c1s3c3 + s3c3 -s1s1s3c3 = 0
さて考察。(z,φ)→(y,θ)→(z,ψ)と書いてる本もある。1回目回転時はまだ一致しているからZ=z。
2回目まででz軸は同じ位置に行く。x軸も同じ位置に行く。球上の動き暫く考えて確認を。これで同じ結果。
航空やCGではz→y→x やz→x→yの流儀がある。これらでは違う結果。3回目のzをnとも書く。実(最終な)回転軸の意味。
今ここ上半ではY→Z→z(古典の)としたが、物体座標系z→y→zは結果は同値だし四元数の積と書き易い。
( cφ, sφ, 0) 混ぜる方法ではz後は左のこう。
(-sφ, cφ, 0) ここから成分毎にx→cθx-sθz とz→sθx+cθz。
( 0, 0, 1) 20行上の右行列になって操作の可換が確認される。
146:名無電力１４００１
26/04/26 17:37:13.94 .net
空間座標で回転は縦ベクトルに回転行列を左から掛ける感じだった。
固有座標で回転は代表基底としてのベクトルらを混ぜる物だった。
実は後者は右から回転行列を掛けている。それを見よう。
だから[Z][Y][1] = [1][z][y]なのである。大文字と小文字は同じ行列でもある。
ベクトルの方を混ぜるような操作は行列になるのか？
|a1 b1 c1| |cθ s' 0| |a1 cθ + b1 s a1 s' + b1 cθ c1|
|a2 b2 c2| | s cθ 0| = |a2 cθ + b2 s a2 s' + b2 cθ c2|
|a3 b3 c3| | 0 0 1| |a3 cθ + b3 s a3 s' + b3 cθ c3|
見るとaベクトルとbベクトルを混ぜているよね。
左に掛けるとベクトルの基底を変化させている(xをcx+syで置換等)。
右に掛けるとベクトルを係数付けて混ぜている。
回転操作表示行列を左から掛ける時、元のxの係数に、その左上･x+左中･y+･が掛かる状態になる。
右から掛ける時、その左上･第1列+左中･第2列+、が第1列になる結果になる。
前リプはベクトルを横にしているので転置にして本リプと合わせ。s符号まで同じ物。
常に物体固有の軸で回す方が素直である。3行下のθ'係数(前リプ下から2行目最左)でも。
角速度ベクトルωをオイラー角体系で表示すること。時間微分('で表す)が絡む内容へ進む。
計算方法は瞬間回転軸とφ'等の積和。
(ωX,ωY,ωZ) = (0,0,1)φ' + (-sφ,cφ,0)θ' + (sθcφ, sθsφ, cθ)ψ'
= (-sφθ'+ sθcφψ', cφθ'+ sθsφψ', φ'+ cθψ')
これに(x,y,z)=Ｃ (X,Y,Z)を表示していた上の結果行列を掛けて(ωx,ωy,ωz)を得る。
そこ(下の3行)は高校1年生の計算過ぎるので自分で。
ωz = (sθcφ)(-sφθ'+ sθcφψ') + (sθsφ)(cφθ'+ sθsφψ') + (cθ)(φ'+ cθψ') = cθφ'+ ψ'
ωx = ( cθcφcψ-sφsψ)(-sφθ' + sθcφψ') + (cθsφcψ+cφsψ)(cφθ' + sθsφψ') + (-sθcψ)(φ' + cθψ') = sψθ' - sθcψφ'
ωy = (-cθcφsψ-sφcψ)(-sφθ' + sθcφψ') + (-cθsφsψ+cφcψ)(cφθ' + sθsφψ') + (sθsψ)(φ' + cθψ') = cψθ' + sθsψφ'
特に
ωx^2 +ωy^2 = θ'^2 + sθ^2 φ'^2
147:名無電力１４００１
26/04/26 17:38:42.18 .net
コワレフスカヤのコマ。
最近やったレンツベクトルにしろ宇宙機ラグランジュ点にしろ組合せで新数理を見出して来た事情があった。
コワレフスカヤの模型はI1=I2 = 2 I3とし重心がずれている状況を作り同様に新性質に至る。
主慣性軸の方向にコマ座標を取って慣性モーメントをI1,I2,I3とする。x軸座標aに重心がある。重力は-Z方向に働く。
コマの運動エネルギー T = 1/2 (I1 ωx^2 + I2 ωy^2 + I3 ωz^3) = I3 (θ'^2 + sθ^2 φ'^2) + I3/2 (cθφ'+ ψ')^2
コマの位置エネルギー U = m g h = m g a (-sθcψ) = - m g a sθcψ
Lagrangean = T - U。 I3で割って m g a /I3 = kと置いておこう。
L = θ'^2 + sθ^2 φ'^2 + 1/2 (cθφ'+ ψ')^2 + k sθcψ ☆
力学変数はθφψであるが、d/dt(∂L/∂φ') = ∂L/∂φ が運動方程式であるから
Lがφを陽変数として含まないなら↑は右辺0につき保存量。
qで全変数を代表させてL(q,q')から L'= q' ∂L/∂q + q'' ∂L/∂q' = q' d/dt(∂L/∂q') + q'' ∂L/∂q' = d/dt (q' ∂L/∂q')
これよりq' ∂L/∂q' - L は保存量でエネルギーと名付けられる。
コマの解とはもう1つ方程式を求めて、力学は終わりで3方程式を数学的に解いてどうぞとすること。だからあと1つ。
では解くがまず運動方程式。保存則への志向があるから∂L/∂q'まででd/dtをしない流儀する。
ψ: {cθφ' +ψ'}' = - k sθsψ
φ: {2 sθ^2 φ' + cθ(cθφ'+ ψ')}' = 0
θ: {2 θ'}' = 2 sθcθ φ'^2 + (-sθφ')(cθφ'+ ψ') + k cθcψ = (cθφ'- ψ') sθφ' + k cθcψ
φの左辺 = 2 sθ^2 φ'' + 4 sθcθθ'φ' - sθθ'(cθφ'+ ψ') + cθ(- k sθsψ)
ψの式を使って代入してる。sθで割る。
0 = 左辺/sθ = 2 sθφ'' + 3 cθθ'φ' - θ'ψ' - k cθsψ
= 2 {sθ φ'}' + (cθφ' - ψ')θ' - k cθsψ
θの式にi(虚数単位)を掛けsθφ'のに加える。
2 {sθ φ' + i θ'}'
= - (cθφ'- ψ')θ' + k cθsψ + i {(cθφ'- ψ') sθφ' + k cθcψ}
= i (cθφ'- ψ') (sθφ' + i θ') + i k cθ e^-iψ
148:名無電力１４００１
26/04/26 17:40:57.24 .net
この形になると常微分方程式でするような工夫をしたくなる。
適切な形を見つけるまでパラメータを置いたり係数を見たり紆余曲折あろうが下のFがかなめを与える。
A = cθφ'- ψ'、 B = sθφ' + i θ'、 C = k e^-iψ を定義。
c = cosθ、s = sinθ、C' = - i ψ' C。 s' = c θ'等。
2 B' = i (A B + c C)
F = B^2 + s C と置く。
F' = i A B^2 + i c C B + (c θ' + s (- i ψ')) C
= i A B^2 + {i c (s φ' + i θ') + (c θ' - i s ψ')} C
= i A B^2 + i s (c φ' - ψ') C = i A B^2 + i s A C = i A F
これより (logF)' = F'/F = i A。
Aは実だからFの複素共役をGと置くと微分操作自体は実性で (logG)' = - i A のはず。
即ち足して (log(|F|^2))' = 0。
log(|F|^2)=一定。|F|^2=一定。これがコワレフスカヤ積分で第3の方程式。
sθ φ'+ i θ' や B^2 + s C が以前の例題達に似てる感を感じさせると思う。
可積分系と言われ、他に戸田格子の例があり、
うまく見つけなくても演繹していけるようなシステムをまた作る。
この問題らの解存在の概念をもっと粒度を細かくしている理論があるのである。
それを工学や物理に様々な箇所から側面支援するのに使える。
コマに関しては方程式が定まるまでとその解釈とをしっかり段階分離。
Kovalevskayaの解釈も解釈中身はこれからだが定性的なことは色々あるのだろう。
眠りゴマをシームレスにコワレフスカヤに移した時に条件を見たり慣性楕円体使う等。
ラグランジアンから開始したが、オイラーの剛体運動方程式。
I3 ωz' = (I1 - I2) ωx ωy + Nz。 Nは外部入力トルクこと、重力や接地点静摩擦力或いは磁界。
は解析力学的な最小作用運動方程式でもある。式を立てて同じ結果に至るはず。
149:名無電力１４００１
26/05/03 17:16:12.80 .net
先週は {x,y,z} = Ｃ{X,Y,Z} (|x>=Ｃ|X>)と動軸ベクトルxなどを静成分で表わせて、
{ωx,ωy,ωz} = Ｃ{ωX,ωY,ωZ} ともしたのだった。
{ωx,ωy,ωz} の別の求め方を学ぶ。というのは瞬間回転軸とθ'等との積和
というのが四元数と一回回転表現などに行くと意味を取れなくなるから。
より一般の方法の結果をθ'等ごとの線型表現にしたら前の求め方になっているとまとまる。
ベクトルは波括弧{}、行列は角括弧[](略時有)。今週は縦ベクトル|>と横ベクトル<|も。
小文字の動座標系と大文字の静座標系。基本的には動座標系の量を静座標系で表す話。
回転系の考察。任意の空間ベクトルをLとする。Lは回転系の上にある量である。
(Lの時間微分の静系での成分表示) = (Lの時間微分の動系での成分表示) + ω×L = () + [ω] L
は承認する。
ω=z=Z軸、L=x(動系では定数)とすると合ってはいる。()の部分は今興味ない。
外積の行列化 [ω] = {{0,-ω3,ω2},{ω3,0,-ω1},{-ω2,ω1,0}} を使ってる。
座標に関するよりセンシティブな方法を導入する。
5行上の式は d<X|[CT]|L>/dt = <x|dL/dt> + <x|[ω]|L> ☆と変わる。
説明しよう。
x座標基底で測定しているという意味を込めている。
右辺は動系が自己の動きを感知しない量で、dL/dtをxで測定することになる。
Lは(回転系の上にある量とはしているが)いささか抽象的な量で測定するまでその記述法も
定まらないような、基底を定めてから記述法が定まるような物。具体計算は3D内で
(<x|,<y|,<z|)があり、微分量である|dL/dt>と内積し座標数3つ組を与える、が右辺第1項。
左辺は、そもそもx系とX系は相当に方角がずれている。
それを回してから測定(実質は基底ベクトル並びと内積を取る形)をする。
そのために上のような式。Tは転置でもあり逆行列でもある(両者は同一)。
150:名無電力１４００１
26/05/03 17:20:14.03 .net
d<x|L>/dt = d<X|[CT]|L>/dt = <X'|[CT]|L> + <X|[CT]|L'> + <X|[CT]'|L> = 0 + <x|L'> + <x|[C][CT]'|L>
第1の等号は|x>=C|X> の転置で <x|=<X|CT。また|X>=CT|x> から最右では<X|=<x|C。
上の第1の等号の右は C^-1 |L>と座標を回して静系で見る量にしてからXと内積しようとしている。
Lを回してからX系基底と内積、Lをx系基底と内積、は同じ物。
時間性が無い範囲ではそれでいい。時間が入ると項が少し出る。Xは静止系だからX'=0。
そのLに付いて回す用の行列は<x|の変換から結合法則も適用にて供給されている。
これより前リプ下から10行目☆と比較し [ω] = [C][CT]' がω求め方の結論。
ところでオイラー角行列Cについて転置が逆行列は3度の単純回転の合成であるということから或る意味自明。
Cの表記だけにした物から転置との積を計算もミスさえなければ単位行列に結果する筈だけれど。
先週の角速度ベクトルωがこちらの方法で再現されることは未確認だが略。
以上でコマでもトルクのある物でも四元数や一回回転表現でオイラー角不使用で
式を立て解を得ることまで出来るはずである。
論理を追ってやれば出来るはず。
まずはその角度表記法によるCまでを求め、Ｃからωを求め、
使われ方は、ラグランジアン・オイラー剛体方程式・キネマティック方程式の3通り。
ωまで分かっていればどれも書けるから。
宇宙工学と原子力解析(原子核の回転とMRIなど)用途、また地球の動きで地震解析にするから、
ここでなるべく具体を準備して来る。また来週ね。特殊関数バリバリの地震学を近日中。
さてオイラー角以外の候補は、一回回転表現と四元数がある。
なんだか四元数が定番ということになっていて、大勢敷居をまたげない状況になってるのは
どうなんだ。一回回転表現が合成は不便だが私はいいと思うが。
四元数はどこか隔絶感があってすぐ意味を見失って道に迷った感になってしまい易いのよね。
151:名無電力１４００１
26/05/03 17:22:09.86 .net
ところでここでまったり八元数トピをしよう。四元数なんか初等だと強がって学びやすくするために。
八元数の積は247, 375と覚える。他は自然収納。
実数同士、実数と虚数、同じ虚数同士の積は初等的。虚数の積は
ε(123)ijk + ε(145)ijk + ε(167)ijk + ε(247)ijk + ε(256)ijk + ε(346)ijk + ε(375)ijk
外部に出るべき添字のiかkかは巡回することで等しくなり同値。
7つの虚数。対角線を除き半分三角(7×7-7)/2で21個の積パターンがある。3巡回7つの合わせである。
145,167は123の並べ続きで、247と375を覚え他は昇順で正とすると全譜出せる。
結合法則の崩壊を見る。3つ組でない虚数を3つ取ると。
(1 4) 6 = 5 6 = 2
1 (4 6) = 1 3 = -2
この計算には1 6 = 7と7の関わる2つ以外の4つのεを使ってる。
戻ろう。キネマティック方程式と言うのがある。左辺がθ'等で右辺は時間微分を持たない項
で書かれる式。右辺はωx等は含む。
角運動量は保存し角速度ωは時間保存しないからωは時間変化する。
これはθφψから今しがたまでやっていた方法で再計算されて新しい時間ステップの値になる。
式の形を聞くだけでシミュレーション向けだもわかるね。
角運動量と角速度が本質的に一致していないは力学の有名な話。
特に宇宙機の異常回転や航空機のダッチロールなど、どんどん回っていくのを追いかけれる式。
オイラー角が変化して行くのを何秒後にθφψがどうなっているかわかる。
それを予測して噴射して立て直しの試み。
オイラー角についてはωx = f(θ',…)としたのを先週したから、その三元方程式をθ'等について
陽表示に解き直して得れる。
他の角表示法流儀の場合はまたコメントする。
152:名無電力１４００１
26/05/03 17:31:13.96 .net
四元数の基本的な関係式。四元数をp'=[p0,p]と書く。
[a0,a] [b0,b] = [a0 b0 - a･b, a0 b + b0 a + a×b]
a×bの所はi×j=kで全ての組合せがあってその線形和で得れるから。
四元数の基本的な計算。球関数相当特殊関数を四元数内に定めたいと思う。
([p0,p] [0,v]) [p0,-p]
= [- p･v, p0 v + p×v] [p0, -p]
= [(-p･v) p0 - (p0v+p×v)･(-p), (-p･v) (-p) + p0 (p0v+p×v) + p×(p0v+p×v)]
= [0, (p･v)p + p0^2 v + p0(p×v) + p0(p×v) + p×(p×v)]
p×(p×v) = (p･v)p - (p･p)v = (p･v)p + (p0^2-1) v を入れ
= [0, 2 (p･v) p + (2 p0^2 - 1) v + 2 p0 (p×v)]
回転用四元数が [p0, p] = [cosα, sinα n](α=χ/2) という式を入れる。
= [0, 2 sα^2 (n･v) n + (2 cα^2 - 1) v + 2 cα sα (n×v)]
= [0, (1 - cosχ) (n･v) n + cosχ v + sinχ (n×v)]
直交ではない。(n･v)n はvのn方向への射影。重要なのはここまで。
外積の時結合法則が成り立たなかった。四元数としては成立することを見る。
四元数の結合則を記号だけで迅速に言う、a'b'= d'= [d0,d] と置こう。
(a'b') c' = [d0c0-d･c, d0c+c0d+d×c]
= [(a0b0-a･b)c0 - (a0b+b0a+a×b)･c, (a0b0-a･b)c + c0(a0b+b0a+a×b) + (a0b+b0a+a×b)×c]
= [a0b0c0-{a0b･c+b0c･a+c0a･b}-{abc}, {a0b0c+b0c0a+c0a0b}+{c0(a×b)+a0(b×c)+b0(a×c)} - (a･b)c + (a×b)×c]
上ではb0(a×c)以後が巡回対称ではないが、
そもそも巡回対称は不要でaとcについて左右対称なら演算の左右対称はあり結合則の成立である。
(地道にやっても同じ式が出るという意味)。
(a×b)×c=(a･c)b-(b･c)a、-+-と中央ベクトルを残すのだけ正。つまり-(a･b)cの付加で結合則は回復してる。
153:名無電力１４００１
26/05/10 17:16:12.61 .net
四元(数)解析って知っているだろうか。複素(数)解析のもじりである。
どうも四元数については-1の平方根が無限個あるという水準の話が多く
それ以上の構造は何？と思われている。ここでそれを述べよう。
これから話を作るようなことばかりで今日は本質的なこと。
三角関数という円を回るのに適した関数が既にあって複素解析で活躍した。
たまたま性質が一致していただけで本当に複素数の住人なのか？というのは
どうなんだろうと今も再検討されていいことである。
電気の振動だとか地震の地殻揺れとかは複素数の実存を表わしているのか否か。
ルジャンドル球面調和関数というのがある。四元数解析はまさにそのまま。
もう優秀な人ならこの一言から一つのゲージ理論クラスの理論作って来れるのでは。
球面調和関数は、学校で一番最初に触れるのは2s, 2p, 3dなどである。
これは確かに方向を峻別し虚数の間に違う役目を分配することが出来ている。
球面調和関数は最初に見える超幾何関数でもある。
それは3DのSphereSurfaceに制限されたラプラス作用素の固有関数系列。
四元数は4Dの超球面SuperSphereSurfaceに超幾何関数をはべらせて、
はべらせることが出来れば大学専門課程程度の数学にはすぐ成りそう。
超幾何関数の級数定義はΣ(k=0,∞) {(a+k)!(b+k)!x^k}/{(c+k)!k!}。
分子分母(2,1)型で、分子分母(m,n)型を一般超幾何関数という。
結局4次元で動く作用素を持って来てその固有関数を使って方向性解像度を上げる。
そこには特異点が動いて行ったり合流したり無限遠点やリー局所構造や
収束級数になりそうなのにニアミスを起こす漸近級数などが現れ、
力学のベッセル関数も、球面調和→超幾何→合流型→制限でベッセル
という形で抽象的に方向虚数に乗る。これらの現象を全部見ればできるわけ。
微分作用素は代数解析で代数幾何の特異点論もそこにつなぐ。
154:名無電力１４００１
26/05/17 17:44:13.95 .net
ニュートン力学→一般相対論→弦理論、と空間処理場の方法が進むと思う。
一般相対論を丁寧にやってみたい。するとあまり載っていない、量子的でない
古典力学型の弦理論が成立するのか、など判定が出来るようになりそう。
原子力は、相手はあまり動かない物であるし、こういうことをやって
いるうちに何とかなるだろう、と。
2つの項の和がうまく解を与える現象をここで最近よくやって来た。
そういう物はLとBという2つのx微分の微分演算子のラックス方程式
というのが式そのものを与えている。
一般相対論にはカー解以外にゲーデル、冨松佐藤などやはり特殊な解があり
系列を作っていることがある。これが可積分系なのだろうと、だが
そこまでは作れなかったのようなことが書いてある。
ニュートン力学と一般相対論でそれぞれの可積分系は対応するのだろうか。
KdV方程式を持ち上げた物は何だろうか。そもそもカー解をチェックしたことがない。
ということでこういうことをしばらくやって、一般相対論から落した物として
プリンキピアを見れるような視点を得よう。
おそらくこの方向は宇宙解も新しい物を出すと思う。
またラグランジュ点安定の逆で、共振とはまた別の不安定現象をプラズマに出すかもしれない。
それと、一般相対論で空間が曲がるけれど、どういう曲がり方をするかが導けると思う。
等価原理と大域的ニュートン性は、それを決めるだけの制約がある。
とするとその論理を明示に書き出すことはすべきこと。
ややこしいアインシュタイン方程式（隠ぺいされた変数でなくテンソル実体）は
複雑な解みたいな計算結果だ、とできれば話がまた進む。
155:名無電力１４００１
26/05/24 17:34:53.22 .net
制御工学で言うコントローラは、ビークル即ち、航空・電気鉄道・自動車また船の
振動の低減や破壊防ぎに数理的に直接証明されて有用である。橋や歩道橋(駅のコンコース
やビル間の連絡通路等)も乗り物のようなもの。
無造作に作った物は商品として質が低く、ビルの耐震や、イヤホンの音消しのような
リアルタイムで観測して、対抗制御を投入して、乗り心地を専用に提供物或いは
商品価値に仕上げる技術は現代で普通である。
外乱に有効な対抗制御を入れられる事実に、そうだなるほどと納得できる例示を
ここでしたいし、知識を持っていなかった者が学ぶと、直ぐに現物に応用して
自分の商品を向上させれるだろう。そういうまとめをしてみたい。
そこから建築機械やちょっとした人型ロボットがたわんでしなったりなど、幻滅して
しまうような機械っぽさを、たわんでしなったりがまるでないような、であって
使い易い形の動作物に換えることも出来る。
幻滅さの部分も、制御で対抗入力を入れる制御対象である。
建設機械は廃炉になるし。だからこだわって満足出来るまで作り込むことが有意味。
機械機器からエンジンに移ると、ロケットの現代化につながる内容があるだろう。
エンジン内には流体(反応性流体)が現れる。
流体にソリトンがあり、界面近くでは際立ち傾向になる。
当然、反応性流体でもソリトンを見て、有り得る形を見ておくことは必要で
そこの数理には可積分系がある。圧縮性・反応性・電磁・粉体・(フェルミ)の5流体シリーズ。
そこでのソリトン構成はとても思いつかないが、先に抽象形式を作ると自動で出る。
反応性流体をセンサと推定から管理する仕組みを作り、半世紀前のロケットから改善しよう。
ところで現時点の最適方法を仕上げ、流体性を落とせば建築のまた水力発電等の管理に。
逆に電磁気的なことを入れることで送電配電
というまた新たにするべきテーマ(流体場から電磁場へ)。
156:名無電力１４００１
26/05/24 18:11:58.68 .net
バイオもすべきなのだけれど(1月まで済で今は2-5月残)、
各分野の中級上級をつなぐことに今こだわっている。
数学の一級の研究結果もそういう手合いのことが多いから、上手く行けば何かは。
系統的な方法をつかむと新しい解セットが手に入って来る、というのは
このスレのここまで(に限らず一般の科学の文脈で)でも感じ取られていると思う。
ガウスの正17角形もそうだったね。
その系統的な方法を、可能な上限まで押さえに行きたいのである。
毎週新視点仕上がりなどとは到底行かないだろうが、現在進行形のことを
雑然書きにでもして他の同業研究者推進用にもしてみよう。
だから今日は以後は雑書き。感想や内心やあすなろパートが多くなろうの。
来週に航空カルマンフィルタをしてみようと予定している(早速あすなろ)。
理学系の人が工学系の文献の記述を読みこなせずついていけなくなることも多く、
そこのほぐしは重要と思っている。それを狙いつつするね。
教科書的にはリャプノフ・リッカチ・逆行列定理という制御工学の行列性質を使い
モデル(数理モデル)も不明な機械対象を、誤差とその共分散を想定して推定して
制御入力を決める。モデルの既知未知で様子が変わるのは統計学で知っていると思う。
分散と不偏分散があって、モデルが既知なら正規分布の分散で、未知ならt分布の不偏分散
というような話。制御の未知部の多い機械での話。
外乱や制御入力と観測と、何通りも誤差を入れ2次形式でとにかくこうコントロール
するんだとセンサ値に対する入力内容を決める式。
機械に数理モデルはわかりきらない。
カルマンという人は有名学者で航空本には必ずこの章があるような感じになっているが、
それを学習しプラント系に。読んで読み取れない本が多いが、難所解体して
どの本にもアプローチできるぜというような提供物になるといいな。
157:名無電力１４００１
26/05/24 18:57:05.87 .net
現代制御の可観測・可制御・可検出・可安定は基本性質である。
物理学の端の方で可観測・可制御・可検出・可安定はどうなっているか？
宇宙地平線の向こうや、アプローチに使うエネルギーが質量エネルギーを超えてしまう
クォーク以下の世界。ひもやブレーンではアプローチエネルギーが質量の何京倍。
見ることもアプローチも出来ないのに、存在していることは可能と
数理的なことが制御に似た感覚から言えるかもしれない。
しかし実は制御は線形代数に終始していて議論の水準が低い。物理の可観測を持ち込んで
可制御は双対操作と定義して、するとほしかった結論を得れるのかも。
物理の上限は不可観測で閉じているのかもしれない。温度上限なども。個人的には無関係派だが。
可観測の弱化である可検出は、制御から持ち出すと何だろう。
制御本ではブロック図や複素平面の軌跡など、どの本も大学の講義ノートの出版みたいで
重複していて興を惹く良トピックという点で少し弱いと思う。そこは構成を変えるべきで
抽象ではない具体的な機械構成の描写で、中における機構の現れ方を例示して学ぶ。
レギュレータで極を配置すると言う。共振周波数を変えて不安定入力だったものが安定入力
の一つでしか無いように安定体系に変えられる重要トピックなのに、
伝達関数の数理の話しかない。機械や建築でつまりこういうことだと数理の方を逆に隠す。
力学に戻りブーメランに付加機器を付けてマジックめいた動作をさせてみるという課題。
ドローンはやってる人が多いがこちらは居なくて面白いだろう。
人工衛星・人工惑星が希望軌道にあることを、制御問題と捉えて数理に当てはめる概念調整
をすることで、航行力学がもう一度揉まれよう。のんびり時間がかかるだけで制御である。
さて制御には行列の固有値から特異値、四元数、確率統計の中級理論援用、関数解析、流体
などの概念を直ぐに投入したくなる。そのまとめを押さえて定番扱い化に。
高階微分方程式を連立微分方程式に変えれる。力学のハミルトン形式が例。
するとやや難しい概念の連立微分方程式表現があるはず。文脈違うが2階微分方程式の確定特異点。