25/04/06 23:02:59.88 .net
雑談をしながら証明の把握まで行く方向目指し。来週までに局所環と柏原教科書で
代数的に表示した時の特異点の構造の表れ方を読み解く方法を見るとしよう。
さてスキームは代数幾何の教科書に乗っていてやたら難しそうだがそれは間違い。
定義はきわめて簡単である。そのこと。これには内包と外延という考え方でテクストの
構成を脱構築する。(名物トピック。スキームの話をしたら感心されるでしょう)
スキームは多様体の代数版である。多様体はn次元ユークリッド空間の原点を含む素直な
凸な形の開集合、これを何枚も持って来て、貼り合わせて貼り合わせ関数も書いておくことで、
球や2穴トーラスやクラインボトルのような1枚座標では書けない図形を記述する。
このとき開集合を要求し、開集合複数個の貼りで作られる図形を位相空間と呼ぶ。
開集合とは全ての点が内点であり互いに均質であるような集合と特徴づけられる。
可換環の素イデアルを点と見なす。素イデアルの集まり(集合)に対して開集合かどうかを判定
する方法を定める。(実際には閉集合の補集合として表れ、閉集合は点列の極限が内部に入ると
いう定義だから、方程式で制限された低次元部分空間が閉集合で、そういう物で全て)
図形が開集合の貼り合わせであり、その開集合ごとに可換環が一つ存在して
素イデアルのなす開集合としてそれを得ている場合、この図形をスキームと言う。
上のが内包の定義。外延としてこの定義を充足するようなものを、可換環から分数環を作り
帰納的極限という並べて関係付けながら直積を作って1データと見なす方法で、
素イデアルごとに離散付値環という手法で芽を元とする茎環という構成、それを作り並べて、
するとこれは茎環が隣接近傍の情報をわずかに含むからスキーム位相になる
という言い方をする。これは難しい。
だが難しさの場所が内包を満たす外延を作る所にあるとわかる。
するとこれはちょっと脇に置けるからスキーム自体は結構簡単とわかる。
挫折していた人はこういう理解で先に進むといい。
675:名無電力１４００１
25/04/06 23:38:06.94 .net
似たような未踏の脱構築は一般相対論のリーマン幾何学にもあるはず。
計量からクリストッフェル、リーマンテンソル、リッチテンソル、スカラー曲率、アインシュタインテンソルと
段階を踏む。どうしてこんなに段階があるのか。不自然ではないのか。と思うとき
一言で言えるはずの何かの内包条件が未知のものとしてあり、我々はその外延的構成を作っているのだろう。
そういう構成を解として渡すと正しくなるような一言条件。
或いは構成的ボトムアップと要求的トップダウン。一般相対論には後者がまだ欠けている。
熱力学でエントロピーが後発概念で結構重要だったが、
一般相対論でこの一言なまだ未知の言い方もわりと重要だろう。
ついでに一般相対論についてもう一つ。アインシュタインヒルベルト作用から変分で
アインシュタイン方程式を出せる。作用があると正準運動量を直ちに求めれる。
すると正準位置変数と正準運動量で調和振動子ポテンシャルを構成しているかどうかは重要である。
計量変化を正準位置と見なすときの調和振動子ポテンシャル、またその空間と時間のこと
一般化座標で曲線での様子のこと、こういう話題が重力の量子の文献で無かったと思う。
このスジで行くと、エネルギーが整数差の重力量子を決めることができて、或いは実際には
数式的に重力量子を作ることができないことが証明されるかもしれないのだから、
アインシュタインヒルベルト作用からその形の所までを基礎として書き出しておく。
重力の量子化で計量を使ったり四脚場を使ったり流儀がまちまち。
これは指導指針が無いことが原因の一つ。しかし作用から正準運動量で、量子論前段階には
無ければいけない調和振動子が、実際はどういう数式の形か
計量、四脚場、または違うものを作ったら式が最もきれいになるのか。
こういう指針ですれば量子化の話は進むだろう。
(くりこみの高エネルギー発散については弦を出して、深非弾性散乱で複合粒子の非点が見えはじめる
のと同じように重力量子の非点が見えて、無限大ではない方向に収束するとすればいいのだから)
このように考えれば重力の量子論自体はもし答があるなら作っていけると思う。
そのようにしてから超対称性をもう一度入れれば、理論は本質的に現在よりは一段進むだろう。
676:名無電力１４００１
25/04/08 19:17:29.35 UVWhaPbhb
疲弊してるのは分からんでもないが大川原化工機社長の「て゛きれは゛謝罪して欲しい」は残念だな
関東全域毎日グルグル何台ものクソヘリ飛ばしまくって望遠カメラで女風呂やらのぞき見して遊び倒して莫大な温室効果カ゛スまき散らして
気候変動させて洪水、土砂崩れ、暴風、熱中症．大雪にと災害連発させて住民の生命と財産を破壊して騒音まき散らして威力業務妨害して
子の学習環境まで破壊しながら暇すぎるしお前らとっとと犯罪おかせやと住民イライラ犯罪惹起してる上に捏造逮捕までするデタラメ腐敗集団
警視庁や東京地検、共謀した經産省の外道公務員個人に賠償金を求償するのは当然、しかも勾留中に死亡してんた゛から同じ期間勾留した上に
殺人罪適用して―生かけて償わせて害悪でしかない警視庁解体に向けて運動を繰り広げよう!
7億圓もの裏金発覚した腐敗政党自民党は腐敗の隠蔽のために国民の血税をクソ公務員利権に費やしてきたツケが出てる現実を認識しろよ
公務員も原発も制御しきれる悪魔て゛はないわけた゛が自閉隊利権まで倍増させて、すでに傀儡状態た゛が名実ともに統治権まで奪われるわ
(ref.］ tTps:/／www.call4.jp／info.phＰ?type＝items&id=I0000062
ttPs://haneda-Ρroject.jimdofreｅ.Com/ , ΤΤΡs：//flight-rouТе.com／
ΤＴps:/／n-souonhigaisosyoudan.amebaownd.сom/
677:名無電力１４００１
25/04/13 17:15:23.29 .net
Dedekind環の素イデアル分解の存在一意の証明を紹介したいんだが1ヶ所引っ掛かってる。
困ったな。こういうことよくあるよね。普通は10ヶ所ぐらい引っ掛かり。
そうしているうちに消耗して他の所もフォロー力が無くなる。
しかし学問の進歩もそういうもので、普通はクリアには物は見えず、
概念に違いがある。新しい構造物の入る隙間がある。こんな気づきから段々精細度が上がる。
そんなもんだ。5/4まで数学の証明紹介をしたいと思うので完成はできるのあるか。
さて内容は或る程度は大学代数学の知識を仮定するが、代数的整数のなす環がDedekind環。
これはネータ環で素イデアルが極大イデアルという特徴を持ち整閉という性質を持つ。
素因数分解の一意性が発展してまとまった姿がこれである。
RSA暗号は素因数分解だが、代数的整数での素因数分解は関連するだろう。
(1)イデアルという概念
bがaを割るという概念を考えてみよう。土俵の特定は後回しで。これをb|aと書く。
この時期待すべき性質として、b|a1 & b|a2 ⇒ b|(a1+a2)。およびb|a ⇒ b|(c a)。
これは納得されると思う。
ここでなんと取る基本概念を転回させる。bで割れるような数の集合を定める。
その集合は要素を足した物はまた入り、定数倍した物はまた入る。
Kummerは理想数という新しい数をほしかったが、それはやめて集合でいいじゃんという
集合で運用を始める。イデアルの定義がまさにぴたりこれであることは教科書通り。
(2)割り切るの関係が集合の包含に置き換わること
b|a ⇒ ∃c. a = b c 或るcがあってa=bcである。aの倍数はbの倍数でもある。
単項イデアルについて(a)⊂(b)。こういう形に書ける。
全部の論理を集合でするのでイデアルについてA⊂Bならば、BがAを割り切る意味を
表しているものだと解釈する。aやbへの言及ももう無くす。
678:名無電力１４００１
25/04/13 19:10:36.73 .net
(3)イデアルの和と積の定義
集合の要素をそれぞれ取って演算結果全体のなす集合。
これがイデアルであることは要証明。実際、積はそうならない。
A B = {Σ ai bi; ai∈A, bi∈B}
項数が有限個の項和として定義し直せばイデアルになる。
圏論的内包の外延実装と言う言い方も出来る。テンソル積でも同じ現象。
このように性質主導で定義を少し変じて行く手法が数学の高級部分を手繰り寄せる。
(4)素イデアル
n=ab & p|n ⇒ p|a or p|b これが素数。
単項イデアルで書くと
(ab)⊂(p) ⇒ (a)⊂(p) or (b)⊂(p)
中身を隠すと素イデアルの定義。
Pが素イデアルとは、任意のイデアルA,Bとその積について
A B⊂P ⇒ A⊂P or B⊂P
はて積の定義には既に工夫が入っていた。この先どうなるのだろう。
(5)ツォルンの補題
集合論の選択公理と同値な命題で、存在をひねり出すのによく使われる。
集合の包含関係の系列 …⊂B⊂C⊂D⊂…
集合の性質を限定すれば、右側が常に停止して上界を持つようにできるだろう。
この時その性質の集合の族は、その包含関係に関する極大な集合を持つ。
というのが定理の言明。何を言いたいのかわかりにくいが
極めて便利で必要ならば選択公理から証明が出来るので、そういう使われ方をする。
679:名無電力１４００１
25/04/13 23:00:11.39 .net
(6)ネータ環
任意のイデアルが有限生成で、任意のイデアル昇鎖が停止するというのが定義。
そのままの意味に捉えてもらえばいいんだけど。
イデアルI = {a1 i1 + … + an in ; a∈R, i∈I}
任意のイデアルIは有限個の基底があってその係数和の形の右辺で左辺が書かれる。
また …⊂I2⊂I3…⊂Im。全部がイデアルな集合包含列は右端となるイデアルがある。
分野の基本的な対象。ほとんどの物がネータ環。
(7)代数的整の概念
代数的数は有理数係数多項式を1つ決めて、その根全部を有理数に投入して
そこから四則演算で得られるもの、つまり体として閉じさせて得る。
根の一部でいい場合もあるが歪んでいて、面白いのは全部の場合。
一方、こうして得られる拡大された数体の要素についてそれを根とする方程式がある。
ところで最高次係数が1の根はその和差積も最高次係数が1な方程式の根となる。商は違う。
即ち和差積で閉じて環を代数的数体Kの中で為し、これを代数的整数環Oと言う。
一般に環O⊂体Kとしてこの状況を表す。代数的拡大一般にこの状況がある。
(8)逆イデアル
A^-1 = {x∈K ; (x A)⊂O}
O⊂KであるKの方でものを考え、それを掛けるとAのどの要素もOに入るようなKの要素。
元々イデアルは環の部分集合でA⊂O、よってx∈Oならば自明に(x A)⊂Oは成立。
O⊂A^-1 狭義に大きいということがわかる。(3)^-1 = (1/3)で1/3の倍数全部である。
(9)余因子行列との積
nn行列Aから、余因子こと(n-1)(n-1)行列からdetを取って符号を付けたもの
を並べて余因子行列A*を作れる。このとき (A*) A = (detA) I。
線形代数の定理である。
680:名無電力１４００１
25/04/13 23:02:28.71 .net
(10)任意のイデアルA⊂Oに対し、それに(部分集合として)含まれる何かの素イデアルだけの積がある
そうでないイデアル全部の集合をＭと表してみる。
イデアルも集合だから集合の集合だけどその気持ちを全角文字に込めて。Ｍは空であるか？
代数的整数環Oはネータ環でそのイデアルの包含列は上の端を持つ。
これはツォルンの補題の前件を満たしＭには極大な集合Cが存在する。
Cが自身素イデアルならここに入っているはずが無いから素イデアルではなく
Cの元でないb,dであって(b d)∈CというようなOの要素が存在する。
その単項イデアルとCとの和で作られるイデアルをそれぞれB,Dとすると
どちらもCを含みCよりも狭義に大きい。
CはＭで極大なのでBとDにはそれに含まれる素イデアルだけの積がある。
ところが(B D)⊂Cが示され、これからCもＭに含まれるとの定義とは矛盾する性質を出せる。
Ｍが空でないとしたことが矛盾の元凶でＭは空である。
(11)任意のイデアルA⊂Oに対し、A⊂(P^-1 A)狭義に大きい
Aは有限生成だからその基底をa1,…,anとしてみる。x∈P^-1⊂Kを取る。
もし(P^-1 A) = Aなら、x ai = Σ cij aj と書ける。
移項して x δij - cij = Cij という行列と置く。[Cij] (aj) = (0i)
Cの余因子行列を左から掛けると(9)を使い、(detC) aj = 0 ∀j よりdetC = 0。
det(x δij - cij) = 0の解は代数的整数でありx∈O。
逆イデアルは(8)を使うとOより狭義に大きいのであるからxの取り方からは得られない結論が出ている。
これはもしの部分が間違っていてちょうど題意が証明される。
Oと0の混同あるかもしれないがほとんど間違えないと思う。
681:名無電力１４００１
25/04/13 23:05:31.21 .net
(12)任意のイデアルは素イデアル分解され=で書かれる。
素イデアル分解されない全てのイデアルの集合をＭと書く。
Ｍが空でないなら(10)と同じく極大元C (元と言っているけど集合)が存在する。
一般に可換環ではツォルンの補題を使い任意のイデアルに対しそれを含む極大イデアル
が存在するが極大イデアルは素イデアルであり、
Cが素ではないはずなのだからC⊂P狭義に大きいの構図が成立。
Pについて(11)を使い P⊂(P^-1 P)⊂Oだが、Pは極大なのでP^-1 P = O。
C⊂(P^-1 C)狭義に大きい、とCとＭとの関係から、P^-1 Cは素イデアル分解を持つはずである。
するとそれにPを掛けた式はCの素イデアル分解である。集合の式としてこれを確認される。
(13)素イデアル分解は一意
イデアルC = P1 … Pr = Q1 … Qs の2通り素イデアル分解があるとする。
素イデアルの定義から P1はどれかのQiを割る。
Dedekind環では素イデアルは極大イデアルなので、P1=Qiでなければならない。
P1^-1を掛けると集合の式としてP1とQiが落ちた式になる。
最後の形はr=sで、落として行くP系とQ系の素イデアルは結局は同じ物が対応していなければならない。
以上で証明された。
という次第。
引っ掛かる所はあるんだけど、ここがどうだ、ここは、と数個も見つけられればあなたは中々。
別の所にこの証明一式を持っていって当てはめること。行き先探し。
楕円曲線暗号になると実際にこういうことを使いながら言うんだと思う。
682:名無電力１４００１
25/04/20 17:17:59.18 .net
リーマンロッホというのをやりたくて取り組んだけどまるで準備ができていなくて
あたかも啓蒙本みたいな言い方で今日は済ませようと思う。
来週に本格的なことをする。
そもそも何？今シリーズでは特異点や数論を狙っていると言っていた。
この定理は無限遠にも素数を置いて図形を閉じさせる。
図形の具体は多項式と整数。多項式は既約多項式が素数、整数は通常の素数が素数。
図形のどっちにもだが、多項式÷多項式いわゆる有理式を考察対象とする。
整数でそれはどういうこと？多項式のｘに素数を入れた式で結果は普通の分数になるもののこと。
有理式だが分母の形に制限をする。素因数分解されるし、
整数ではなく代数的整数を土俵にしても素イデアル分解されるし、条件は付け易い。
各素因数ごとに負の何乗以上または0や正の何乗以上、つまり
分母が強過ぎるという意味のあまり特異なものを除外する。
このような有理式の全体はベクトル空間をなす。
それは足しても定数(それぞれの土俵での整数)倍しても、分母は強まらないから。
このベクトル空間の次元は如何？
が、リーマンロッホの定理。
条件のことを因子と言う。
無限遠を閉じさせているときは一つの座標や一回の言い方では語れない。
貼り合わせが必要になり一般化して、素数を点とみなして点の集合に定義域を持つ関数
そんなものの集約が実態をなしていると見なす。
この(点の開集合|→関数加群)対応を包括的に持つようなデータ構造を層と言う。
話題のは因子に付随する層という数学的対象に関する定理である。
683:名無電力１４００１
25/04/20 21:53:10.40 .net
リーマンロッホは保型関数のパラメータの数を決めるのに使えるし
素粒子物理でも空間の大きさを評価して論理を追い込むのに使える可能性が高い。
そういう設定を作って問題を解けばいいんだなということは伝わったと思う。
無限遠を閉じることによって、大域は局所に存在するものをも制約し
ベクトル空間の意味で有限次元分の関数しか存在し得ない。
普通はベクトル空間の意味で無限次元分ある。
無限遠これは空間の意味とは限らない。値域の場合もあるし、
単なる閉集合を写像して無限部を持たせるようにしてもあり。
ということはゲージ群の次元も元々はこういう仕組みで決まっているかも知れない。
研究の意味では道具として突き詰める必要はあるだろうと。
問題としても簡単だよね？数学にはありがち。
変に権威じみたテキスト文面にしているが、中身はこんなもの。
D加群というのも関数の集合と前述べたが、層の形を取っている関数の集合で
684:> 大域的状況とかホモロジーとか極限とか複素解析の定理とかが成立しているようにするまでが理論。 だからこれも伝わったのではないか。数学から掘り返す人があってもよいと思う。 代数解析は1年以内ぐらいにシリーズ設定にしてしよう。 さて一応理系で理数をしっかりやっていた人ならば、複素関数論で 無限遠点まで含めて発散しない解析関数は定数しかない。 連結領域で定数でないような解析関数は必ず極を持つ。という定理を知っているだろう。 解析関数は有理式(多項式÷多項式の形)だけ使えば定理の状況は起こせるし リーマンロッホのプロトタイプを為している。 つまりD=0(任意の素数に対して0)というような因子に付随する層の ベクトル空間としての次元は0というのが、その定理を包含している。
685:名無電力１４００１
25/04/27 17:15:20.25 .net
(1)射影空間、リーマン球面
複素平面に無限遠点を付けると等質な空間として閉じる。これをリーマン球面と言う。
その座標は原点中心のz座標と、通常の数を1/z=wとしてw座標と。
この2枚座標系を用意して貼り合わせがあるとすれば全部を記述できる。
dw = -1/z^2 dz にも注意。こっちの方を貼り合わせ関数にする手法もある。
複素(とは限らない)平面に無限遠直線を付けて、また原点から同一方向の点を同じに見なす
無限遠に射影していってその像が無限遠直線であるような図形体。
これが射影空間。詳細は各自。
どちらも閉じた図形体を作る方法である。このような方法を一般にコンパクト化と呼ぶ。
Riemann-Roch定理の準備ができたので構成していくよ。
チェックコホモロジーを使う方。ここにRiemannの名前が出て来るとはかなりの先取り者だと思う。
(2)完全系列exact sequence
写像の系列、→A→B→C→D→E→…
矢印にはどれも元の行き先を決める具体的な計算法が定義されているとする。
英大文字は集合でそれに何かの演算構造が入ったもの。またそれぞれ0を持つ。
Aのどの元も→→でCの0になる。
Cの0の逆像はBの部分集合だが、これはA全体の→による像と同一になる。
が条件。下のは上のを包含している。下のだけが定義条件。
我々は0→H0(D)→H0(D1)→H0(C)→H1(D)→H1(D1)→H1(C)=0
というチェックコホモロジーで標準的に作る系列が完全系列であることを証明し
奇数番目の次元の和＝偶数番目の次元の和からD帰納法的にRiemann-Rochに至る。
686:名無電力１４００１
25/04/27 17:17:35.66 .net
曲面をX、その開被覆一つＷを定める。X上の層をＦとする。Ｆは
Xの部分領域で定義されている関数(関数チップ)の全部情報のことを言っていて
そのデータ型は領域⊂Xごとに関数加群を返すような広義関数である。
層において追加条件が2つありこれは使われる。実際の使用は(5)部分だが隠蔽されてる。
・開集合上の関数がどの部分集合においても0ならそれは0
・任意の開集合2つについてその共通部分集合で一致しているような関数はX全体で定義されている
(3-1)チェックコホモロジーCech cohomology
コホモロジーには番号nがありnの深まりが代数学的な構造展開を与えているが
チェック流では開被覆Ｗに対し、Ui∈Ｗのn+1個の共通部分集合で土俵を与える。
つまり Ui(1)∩…∩Ui(n+1) の形の集合それぞれを基底とした、有理整数Z係数の
ヒストグラム、これがものを考察する空間。
どんなものを持って来ても、有理整数Z係数のヒストグラムを考えると
足し引きなどの演算が考えられるようになる。これは数学的有効な方法。
幾何学の複体でも代数のテンソル積でもそういうことをしている。
(3-2) 上の空間でのnごとの関数のデータ型
n=0なら、任意のiについてUi∈Ｗ、そこで定義された任意の関数fi(u∈Ui)
n=1なら、任意のi,jについてUi,Uj∈Ｗ、Ui∩Ujで定義された任意の関数fij(u∈Ui∩Uj)
n=2なら、任意のi,j,kについてUi,Uj,Uk∈Ｗ、Ui∩Uj∩Ukで定義された任意の関数fijk(u∈Ui∩Uj∩Uk)
考察にはn=2までしか使わないのでこれで十分。何か簡単化されているとは思わず
そのままそれだけのデータ量を使って物事を表しているそれだけだと思ってほしい。
このシステムに実際に貼り合わせで一緒だからとか、それによる部分群を得て全体からの商とか
そういうことをして代数的に動かして行くもの。
687:名無電力１４００１
25/04/27 17:20:00.55 .net
(3-3)層係数、層のの意味
層は開集合ごとにそこに取り得る関数を定めるのだった。
正則関数の層、連続関数の層、その他もっと図形構造に直結しているような条件を持たせて定めている層。
上定義で、fi∈Ｆ(Ui)、fij∈Ｆ(Ui∩Uj) とすべきである。
すると層情報はシステムの中に入って来ている。
(3-4)n→n+1への写像
n=0なら、全Uiでそれぞれ定義されている関数を引数に取り、全Ui∩Ujでそれぞれ定義されている関数を値として与える写像。
それはUi∩Ujに対し、fj - fiと取れば一つ与えられる。これのこと。
n=1なら、Ui∩Uj∩Ukに対し、fjk - fik + fijと取れば与えられる。
一般に、番号を1つ外し、するとnが1つ下の所で定義されているからその関数を持って来る。
外した番号がUi∩…の記述順での偶か奇番目かで-1のその乗を掛ける。
これがUi∩Uj∩Ukのちょっとした書き方差に整合なこと、n→n+1→n+2でどれも0になることは初等に確認される。
(3-5)実際のチェックコホモロジー
nごとのコチェインC(n)(3-2のデータをこう呼ぶのである)と、n→n+1への写像が定まった。
コチェインは加法は自然に定義されているし、体Kの要素による乗算を入れてもいい。(Z係数ではなくK係数のヒストグラムになる)
つまりベクトル空間や加群の次元が定まる対象になって来ている。
n→n+1で(ヒストグラム係数が全部)0になるものをZ(n)
n-1→nでn-1コチェインC(n-1)全部の像をB(n)。どちらもC(n)の部分集合。
B(n)⊂Z(n)は3-4内容のことで、Z(n)/B(n)はそれ以上は定まらない。
Z(n)/B(n)をn次のチェックコホモロジーと呼ぶ(正式な定義である)。
開被覆Ｗがあまり粗いと違う結果が現れ細かくする極限を最終定義的には取るが今の問題でその必要はない。
以上で導入された。他のコホモロジーはnを深める違う方法を取る。
コホモロジーは商群の形をしているが(外延)、そのことは忘れて群自体を見る(内包として次に使う)。
688:名無電力１４００１
25/04/27 17:23:01.17 .net
(4) 0→R(D)→R(D+P)→R(C)→0 は完全系列
通常Oxなどと書くのだが0と混同するのでRと便宜的に書いておく。
これはトリビアルである。記号の意味をちゃんと取る。
Dは因子でR(D)はDで指定されるだけの分母が許容される任意の有理式。
Pは素数1点でだけDの値を増やしたものでD+PはDとはP一箇所だけでPの指数が1違う因子。Cは複素数1次元分の意味。
0→A→B→C→0が完全系列からは、A→Bが単射、B→Cが全射。
即ちAをBに部分集合として埋め込んだとき、余核がCと等しいという話。
因子がD+PならばPについて1つ深い許容度の関数を持ち得てその違いは複素数自由度にして1個分である。
で証明が終わっているが、正確には級数展開のどこまでで打ち切りでのような話でこのことを言う。
(5)コホモロジー長完全系列
0→R(A)→R(B)→R(C)→0が完全系列のとき、
0→H0(A)→H0(B)→H0(C)→H1(A)→H1(B)→H1(C)→H2(A)→H2(B)→… は長い完全系列。
これは重大定理というのはわかるだろう。一気に回答近くまでワープしてしまった。
引数は因子が入る。出て来た長系列の各項の個性を見て切り分け評価してRR定理にまで至る。RR=Riemann-Roch
図形の形も因子も層のことも置いて、この定理を示しておくと至る所に運用される。
チェックだけではなくコホモロジー候補の定義をして、アーベル圏の公理というのを満たすと
圏論がこの結果を出し、それが具体的な加群理論での定理となる。この重大定理は別機会。
(6) 0→H0(D)→H0(D+)→H0(C)→H1(D)→H1(D+)→H1(C)=0
単純に適用した。Dは任意の因子、D+はそれよりどこかが1大きい因子。Cは複素数1つだけ。
D=0から1つずつ増やして、D+をDの所に置いてという帰納法。
次元を小文字で表す。この時、h0(0)=1、h1(0)=g(種数)、h0(C)=1、h1(C)=0。
これらについて、それぞれチェックの設定から初等的に確認される。
D=0の場合6項の次数は(1,2,1,g,g,0)となる。h1(D+)値は長完全列の偶番と奇番の次元和同士が等しいことから。
RR定理はh0(D) - h1(D) = 1 - g + degD であり帰納的に成り立つことはわかるだろう。以上である。
689:名無電力１４００１
25/05/04 17:17:05.81 .net
5/4代数的整数、11立体幾何、18建築、25CPU、6/1統計、6/8-29バイオ。
半端だけど類体論の証明の構成だけをしっかり書いてみるよ。
ふむふむ、細部を詰めればいいのか、とわかる。
来週は建築とか原子炉とかの立体感覚を磨くためにユークリッド立体幾何。
先週のリーマンロッホもしっかりしているけど実は、
茎の完全列と層の完全列は同じではないからそこまで綺麗には進まない
という事情はあるけれど取り組めば埋まる隙間で通常は前回のでいい。
では早速。代数的の言葉を外し整数環や数体と言う。
イデアルという言葉は長いからもっと要素的な語感のためにイデと呼ぶ。
整数環と数体は有理整数や有理数とほぼ同じ数学が成り立っている。
だから分数などは同じ感覚のまま推論が動くと考えていい。ずっとそう。
合同というのを分数について定義する。整数mを取り
a≡b mod m とは、数 a - b を通分して書いて
分母が mと共通する素因数を持たず、分子は通常のようにmの倍数のこと。
これを乗法合同という。a/b≡1 mod mに変形してもその意味
のまま成立(well-defined)のことは各自。
数体Kの拡大が数体Lとし、ガロア群をG = G(L/K) = Gal(L/K)と書く。
ガロア理論はそこそこ知っているとする。第1引数L/Kはしばしば省略。
ノルム写像というものを定義する。作用対象xの有る領域に少し関心を持って。
τ∈Gal(L/K)なるτを振って作用させてτについて全部足す。
Norm(L/K, x) = Σ[τ∈Gal(L/K)] act(τ,x)
ガロア理論ではx∈Lだが、我々はG加群Aというのを採りx∈Aとする。
だから作用の仕方もこれから定義する。
Lへの作用もLもG加群Aとも思えてそれのシームレスな一般化である。
690:名無電力１４００１
25/05/04 20:19:11.86 .net
作用結果はどれも同じA内の値なためAの足し算として足せる。
違うんだな。掛け算として掛けれる。だからΣはΠのが適切。それがNormのΣの所の計算。
その手続きを集合の要素全部に対して行い結果を集合にまとめる。
Norm(L/K, A) = {Norm(L/K, x); x∈A}
第2引数が集合かその要素かは融通する。Gal(L/K)加群Aから形式的に作れた部分群。
invと言ったら何の略と思う？inverse、involution、invariant、全部使うんだな。
まあストーリーを略して書くから、現れなくてもそこんとこよろしくだけど。
さてA^Gというような右上に添え字っぽく付く記法が教科書に現れる。
Invariant(L/K, A) = {x; x∈A & (∀τ∈Gal(L/K). act(τ,x) = x)}
Gのどの元τによる作用でも不変なものの全部。
ところでNorm(L/K, A)は作用結果の集合だった。
NormKernel(L/K, A) = {x; x∈A & Norm(L/K, x) = 1}
これは新しい物でこういう物も使う。Aは乗法的G加群でそのため右辺は0でなく1。
可換群の構造定理により任意の可換群は巡回cyclic群の直積である。
類体論はGal(L/K)が可換commutative群の時のみを扱う。ということは
理論は相対拡大の一般論と、巡回群1つによる拡大だけを構築しておけばいい。
巡回群は生成元τだけで生成される。この仕組みが非可換群には無いから
類体論は非可換ガロア群のシチュエーションには使えない。
しかし可換群の半直積の系列な可解solvable群には理論をまだ進められる可能性がある。
Inertia(L/K, A) = {act(τ,x) - 1; x∈A} = {act(τ,x)/x; x∈A}
Gal(L/K)がτだけで生成される巡回群についてこういう集合も作れる。
中辺は群演算を加法適用の時、右辺は群演算を乗法に適用の時、右辺が正しい。
Norm, Invariant, NormKernel, Inertiaの4つは次リプ、群コホモロジーの登場人物である。
691:名無電力１４００１
25/05/04 22:00:28.18 .net
G=Gal(L/K)が可換群Aに作用しているシステムを考えているのだった。
G加群Aの実際の形は局所類体論ではL-{0}を可換乗法群として見たもの。
大域類体論ではイデールidele(p進付値を並べた)群。
τ∈Gはτ:A→Aとも見れる。
このことはGの表現空間がAで、τ∈Gは行列表現されているとも見れる。
Aという新しい物を用意したことはガロア群の表現を考えていることに等しい。
類体論は表現論の1つである。
G=Gal(L/K)の、n+1個の列の全体を考える。
この全体をnチェイン(=鎖複体)と呼ぶ。Gの作用や直積としての群演算は自然に入っている。
nチェイン→n-1チェインの写像d(微分)を、0番目からn番目まで1個ずつ外し
(-1)^iを掛けて足したものと定義できる。足す→掛けるめんどくさいので混用。
G^(n+1)→Aな写像の全体を考える。これをnコチェイン(双対鎖複体)と呼ぶ。
また値Aにおける積で可換群の構造は自然に入る。
GのAへの作用、G^(n+1)での直積群演算とGからの作用もある体系。
写像G^n→Aがある時、d:G^(n+1)→G^nを先にしてからという合成で
写像G^(n+1)→Aが構成できる。これを双対微分δと言う。
双対鎖複体において (n+1に行って0(1)になるnの元の集合) / (n-1から像として作られたnの元の集合)
をn次の群同変コホモロジーと言い、H(n, Gal(L/K), A) と書く。
商加群として作られるが、そのことを忘れて抽象群として使う。
込み入った話だが前段落のを斉次型といい非斉次型というのに作り直す。
n個の列 [s1,…,sn] = (1, s1, s1 s2, …, s1 s2 … sn)
右辺はnチェイン型データ、左辺は非斉次nチェイン。
左辺を基底として右辺を展開形で表し、H(n, Gal(L/K), A)を左辺型を基底として再度求める。
この形において抽象定理を作る。今真ん中くらい。作り直す…はまっていればこういうことはできる。
692:名無電力１４００１
25/05/04 22:38:36.29 .net
これでコホモロジーまでが定義されている。
それはGのn+1個の列(非斉次型に移りn個)とAを使いそれ以上のことは考えずに形式的に定義した。
こんな抽象的な所でもっと言えることあるのである。それが類体論の半分を言ってしまう。
ここからのシナリオ
・コホモロジーからの結果
・一般イデアル類群
・イデアル密度定理から不等式のもう半分
・定理の系で古典結果
まず前と前々リプの内容から、コホモロジーが定義されていて
その具体的な形の候補も用意されている。
コホモロジー？何？という人は前リプの内容の形式的に定義される物のことと思う。
またそれが圏論的な定義を充足していることは本当は確認。
Tate-Herbrandの定理というのにより、
H(0,G,A)=Z/nZ、H(1,G,A)={1}のとき、H(2,G,A) = H(0,G,A)。
これよりコホモロジーの有難みである長完全系列。
0→A→B→C→0が完全系列なら、H(0,A)→H(0,B)→H(0,C)→H(1,A)→H(1,B)→H(1,C)→H(2,A)→は
6項で循環するものになってしまう。
<一般イデアル類群と証明におけるその位置づけ>
G加群Aをidele群としてH(0,G,A)=Z/nZ、H(1,G,A)={1}を示して
長完全系列を得れば、その各項の次元を評価して類体論の半分を得る。
即ち Ide(K,m) / [(Norm(L/K, Ide(L,m)) Pri(K,m)] = [L:K]
というのが基本定理の本体式だが左≧右を得る。上式は次リプで語る。
一方イデアル密度定理という解析学的な考察をして左≦右を得る。
かくして高木基本定理は証明される。
もう一歩動的に進んで写像の形でそれを表しアルティン相互定理として仕上がる。
693:名無電力１４００１
25/05/04 23:10:10.04 .net
列がどうとか数学として美味しくないと思う。話として美味しいのは
代数ならばイデアルなどが動き回っている姿だろう。
実際推論はコホモロジー長完全系列がやってくれるが、
その高速道路に乗るまたは証明装置に入れてボタンを押すためにはおいしい部分の考察をする。
またコホモロジー長完全系列は主要動力にはなるが、茎と層の時のように
地道な集合がこう動いてという考察が大抵は必要で、そうでなければ問題として残っていない。
Gal(L/K)の作用を受ける加群A。このAにはかなりの工夫が盛り込まれていくのである。
もう一方の密度定理の方は有理整数で言うところの素数定理であり、
リーマンゼータを代数的整数に拡張して、Σの分子を決まった周期で戻る整数セットにした
デデキントゼータ関数という題材にして、ミンコフスキー凸格子定理というのを通して証明する。
一般イデアル類群を以下の視点から構成する。=全イデアル群/単項放射イデアル群
イデアル=数のように代数的整数は見てよいのであった(本日初リプ)。
・整イデmによる制約を付ける
・整イデとは素因数分解したときに指数負な素因数は無いような数
・mとの共通素因数が正負どちらの指数にも無いようなイデだけの集合を重用する
・単項イデな状況
・これは通常のイデアル類群でもありイデアル類群の有限性という定理が先に準備される
・mには無限素イデという機能を乗せる
・それは1の約数にもなり得る代数的数への扱い
・これを無限素点と単数の対応といいその定理(完全系列の形)を準備する
・mをmodを取るのにも使い{x∈K; x≡1 mod m}という集合も考える
・この形式の集合が積で閉じていることは直ぐに確認され、意味のある定義である
・この形式の集合を放射類(Stral類)と言い、単項とは独立に現れる新しいイデアル類の形状である
・そのために新たなるmが登場したのである
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