23/07/14 08:08:42.12 fxUtT6Gd.net
>>71
＞2直角（180度）以外でも論理矛盾が無い幾何学理論が構築できる
東洋館出版社 理論・演習 数学新辞典 ２３５～２３６ページ引用
公理Ⅲ 直線外の１点を通ってこの直線に平行な直線はただ一つある。
ある公理系を基本として数学を組み立てるとき、この公理系の公理の間には
たがいに矛盾がないことが必要である。これを公理系の無矛盾性という。
またこの公理系の内容に重複がないということが望ましい。これを公理系の
独立性という。
たとえば、・・・公理Ⅲのみ変えて”直線外の一点を通って、この直線に平行
な直線は無数にある”という公理を採用すると１つの幾何学が組み立てられそ
の間になんら矛盾が起らないことが分かっている。これは公理Ⅲが他の諸公
理と矛盾のないことを示すものである。
この記述を解釈すれば、公理Ⅲが他の公理と矛盾しないのは、公理Ⅲが独立
であるからだということになろうが、三角形の内角の和が１８０度であるこ
とは公理ではなく、証明可能な定理なので当てはまらないと考えられるのだが。