19/02/24 04:24:05.19 l9KzOXew.net
多様体はしってるけど。
しかし可換環 ≒ アフィン代数多様体 ≒ アフィンスキームで、可換環も多様体とみれるけど一般の代数多様体もある。
それからして非可換、関数解析の一般の多様体を考えるのは自然では。
アラン・コンヌ博士の非可換幾何学とは？
非可換幾何学入門：アラン・コンヌ
代数幾何学によって、幾何学的な空間と可換環論との関係はあきらかになった。
この本の目的は実解析学の範疇で可換を越えたところでの幾何学的な空間と関数解析との同じような対応を示すことである。
この理論を支えるのは本質的な三本の柱である。
１）自然に現れて、古典的な解析学の手法を適用することはできないが、非常に自然に非可換代数を対応させることができる数多くの例。
たとえば、ペンローズの宇宙の空間、葉層多様体の葉全体の空間、離散群の既約表現全体の空間など。
２）測度論、位相、微分演算、計量などの古典的な解析学の手法の、代数やヒルベルト空間を用いた再定式化。
３）物理学者が考察する空間の多くが非可換として捉えられるという意味での物理学との関係。
まず、ハイゼンベルクによって行列力学という形で発見された量子力学は、古典力学の相空間上の関数全体の可換環を非可換なものに置き換えた。
次にベリサールの固体物理学における仕事によって、そのエネルギーと運動量の空間は、非可換なものとなった。
最後に、ワインバーグ-サラムモデルによる素粒子物理学は時空間を支配する幾何学をあきらかにしたが、
その幾何学は非常に微妙なものであって、われわれがそこに非可換幾何学を考える余地を残している。
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