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正三角形の一辺を1とする。
次のように定義する。
・三角形の内部→周及び頂点を含まない→Uと名付ける
・周→頂点を含まないものとする。→Vと名付ける
・頂点→O、A、Bと名付ける∈Wとする。
・U+V+W=Sとする。
・2点P、QはSに含まれるものとする。
P、Qの少なくとも一方∈Uの時
線分PQを延長すると周または頂点と交わるので初めからP、Q∈V+Wとしてよい。
P∈OA、Q∈ABとする
Pを固定する。
PA=PCとなる点C∈ABが取れるのでQ=Bの時に最大距離になる。
従って初めから一点は頂点に固定してよい。
頂点および周を動く点Pと頂点Oとの距離を考える。
P∈OAの時、明らかにP=Aの時最大となる。
P∈OBの時も同様にP=B。
P∈ABの時、P=A、Bの時最大となる。
よって最大値は2点がともに頂点の時である。
点Oを中心にした半径1の円を考えるとA、Bは円周上にあり、OA、OBは円の内部にある。線分ABは円Oの弦なので円Oの内部にある。従って△OAB上の最大距離は1である。