26/08/17 05:07:30.54 BR2LIPij.net
R^3\{0}は直線族の非交和に分解出来る？
20:１３２人目の素数さん
26/08/17 07:15:26.11 BUxWQe0b.net
>>18
そんなもの無いの直ぐ判ろうによ
21:１３２人目の素数さん
26/08/17 07:18:30.21 BUxWQe0b.net
>>19
2直線が交わらないなら平行（か同一）
x軸に平行な直線でR^2¥Oを覆うとき
原点を通る直線は使われないことになるため
x軸自身はその合併に入らない
つまり覆えない
22:１３２人目の素数さん
26/08/17 07:20:11.97 BUxWQe0b.net
>>13
ではないが？
23:１３２人目の素数さん
26/08/17 07:27:21.50 BUxWQe0b.net
アでもそれにも使える
与えられた
P={p0,p1,…}
は可算集合だから
p0中心の円と
p0,pi for 1≦i
を通る直線との交点集合は可算なのでね
元の問題の場合
q∈R^2¥P
中心の円で
q,pi for 0≦i
を通る直線との交点集合が可算なのでで
24:１３２人目の素数さん
26/08/17 08:12:48.63 rWJu7Oq9.net
直線族を直線または開半直線の族に緩めれば可能
25:１３２人目の素数さん
26/08/17 08:47:28.16 BUxWQe0b.net
>>13
>＞ℝ²に可算無限個の点をどのように配置しても、それらの任意の一つだけしか通らない直線は存在するか
それらのうち2点だけしか通らない直線は存在するかな？
7点集合だと存在しない配置があるけど
8点以上とか可算無限個だとどうなん？
26:１３２人目の素数さん
26/08/17 12:40:44.04 BUxWQe0b.net
>>25
>それらのうち2点だけしか通らない直線は存在するかな？
直線上に可算個の点を配置すれば存在しないな
当たり前か
直線上に全ての点が存在する以外の可算個の点の配置で
2個だけ通る直線が存在しない配置はあるんだろか？
27:１３２人目の素数さん
26/08/17 12:42:32.61 BUxWQe0b.net
あるいは
（直線上以外の）どんな配置でも
2点しか通らない直線が存在するのかな？
28:１３２人目の素数さん
26/08/17 14:08:14.70 rWJu7Oq9.net
R^2空間上に任意に配置した可算無限個の点族Pから任意の1点を選びOとする。
Oを通る直線の族Lが存在し、その部分族としてP-{O}の元を通る直線の族L'が存在する。
Lは非可算無限、L'は可算無限だから、Lに属すほとんどすべての直線はPのうちOだけを通る。
29:１３２人目の素数さん
26/08/17 14:14:38.21 rWJu7Oq9.net
>L'は可算無限
L'はたかだか可算無限
まあ結果は変わらないけど
30:１３２人目の素数さん
26/08/17 23:50:08.64 rWJu7Oq9.net
R^2に可算無限個の点をどのように配置しても、それらを一つも通らない直線は存在する。>>8
R^2に可算無限個の点をどのように配置しても、それらのうち任意の一つだけ通る直線は存在する。>>28
R^2に可算無限個の点をどのように配置しても、それらのうち任意のn>1個だけ通る直線は存在しない。すべての点を任意の直線上に配置が反例。
31:１３２人目の素数さん
26/08/18 00:09:17.64 d4w7/ei+.net
>>30
>R^2に可算無限個の点をどのように配置しても、それらのうち任意のn>1個だけ通る直線は存在しない。すべての点を任意の直線上に配置が反例。
これはあまり面白くないよね
>>25,26はどう？
32:１３２人目の素数さん
26/08/18 00:27:20.89 yAH0VglE.net
直線上に全ての点が存在以外にも反例は無数にある。
点は可算無限個だからナンバリング可能。点nを任意の正の自然数mで割った剰余で定まる直線上へ配置。・・・可算無限個の反例が存在。
33:１３２人目の素数さん
26/08/18 06:15:49.77 d4w7/ei+.net
>>32
それ
直線はｍ本しか出てこないってこと？
たとえば
m=2
のとき
2本の直線上に可算無限個の点を配置したとしたら
そのそれぞれから1点取ればその2点を通る直線上に
他の点はないから2点のみを通る直線が存在することになるよ
34:容疑者X
26/08/18 09:59:25.65 KvAY+9Ot.net
>>3
この証明は、スレタイの命題を「ℝ²」に限定せずユークリッド幾何学の対象とする3次元空間「ℝ³」まで拡張しても、一字一句変えなくてよい証明となっていることに注意。
これはスレタイの問題設定を敢えて「ℝ²」へ絞り込んで創造したスレ主>1の「やさしさ」か、スレタイの命題に対して>5のような感想に至った>3の洞察眼の現れ、だろう。
35:１３２人目の素数さん
26/08/18 12:56:38.84 yAH0VglE.net
R^2空間内で可算無限個の点を y=1,y=0,y=-1 の3直線上のすべての有理点(∈Q^2)に配置。
配置内の二つの有理点を任意に選んだ時それらを通る直線は少なくとももう一つの有理点を通る。従ってこの配置は「可算無限個の点のうち二つの点だけを通る直線が存在する」の反例。
y=±1をy=±n(n∈N-{0})に置き換えても同じことが言えるから反例は可算無限個存在する。
36:１３２人目の素数さん
26/08/18 16:48:07.38 yAH0VglE.net
>配置内の二つの有理点を任意に選んだ時それらを通る直線は少なくとももう一つの有理点を通る。
選ばれた二つの有理点をp1,p2とする。
p1,p2を通る直線の傾きで場合分け
(a)0の場合：p1,p2は同一直線上にあるから自明にもう一つの有理点を通る。
(b)無限大の場合：有理点が選ばれなかった直線上にp1,p2とx座標が同じ有理点が存在するから自明にもう一つの有理点を通る。
(c)いずれでもない場合：p1,p2のΔx、Δyとも有理数だから傾きΔy/Δxも有理数(1)。p1,p2を通る直線と有理点を選ばれなかった直線との交点をp3とすると、p1,p3のΔyも有理数(2)。(1),(2)よりp1,p3のΔxも有理数。よってp3も有理点。よってもう一つの有理点を通る。
37:１３２人目の素数さん
26/08/18 20:59:01.43 d4w7/ei+.net
>>35
オー確かに
頭良いな
38:１３２人目の素数さん
26/08/20 08:52:28.11 bd6XxSHJ.net
>>35
同様にx軸と平行な直線をn+1本配置すればn点だけ通る直線の存在の反例となる。
よってn>1のときn点だけ通る直線の存在は偽。
39:１３２人目の素数さん
26/08/20 08:54:21.14 bd6XxSHJ.net
R^2に可算無限個の点をどのように配置しても、それらの1点も通らない直線は存在する：真 >>8
R^2に可算無限個の点をどのように配置しても、それらの1点だけ通る直線は存在する：真 >>28
R^2に可算無限個の点をどのように配置しても、それらのn(>1)点だけ通る直線は存在する：偽 >>38