26/08/13 00:24:06.03 DCPdrRlJ.net
X⊂R^2を可算部分集合とする。
R^2は非可算なので、p∈R^2 - Xが取れる。
点pを通り、Xと交わらない直線が存在することを示す。
点pを通る直線を一本引き、それをLとする。
直線Lを、点pを中心にθ回転した直線をL(θ)と書く。
もし、どの0 ≤ θ < 2πに対しても、L(θ)とXが交わると仮定する。
θに対して、L(θ)とXの交わりのひとつをq(θ)と書く。
Q = {q(θ): 0≤θ<2π}とすると、q(θ)の取り方から、Q⊂X。
θ≠θ'ならば、L(θ)とL(θ')の共通部分はp∉Xだけなので、Q(θ)≠Q(θ')。
よって、Qは非可算集合だが、Xは可算でQ⊂Xなので矛盾。□
3:１３２人目の素数さん
26/08/13 08:01:15.95 LeaTTZHr.net
スレタイ：～存在するか
答え：どのように配置しても、無数に存在しまくり。
ある加算無限個の点の集合（濃度ℵ0）がありある直線がそれらの１つも通らなくても（または逆に全て通っていても）、その直線に加算無限個の点から垂線が下ろせるか、または直交する直線がひけて、そのすべての直線の集合は高々加算な集合を成す。
一方、任意の直線は高々加算な点では被覆できないから、被覆されない点の集合と、それを交点として元の直線と直交する直線の集合は、いずれも非可算無限集合（濃度ℵ）を成す。
その直線のどの1本も、垂線を下ろしたり元の直線上にあった元の加算無限個の点を1つも通らない（∵ユークリッドの第五公準）。
QED
4:１３２人目の素数さん
26/08/13 09:05:57.64 JO0FS5ow.net
>>3
はあ？
5:１３２人目の素数さん
26/08/13 09:06:12.13 wlG+qZSS.net
愚問であったな
6:１３２人目の素数さん
26/08/13 15:30:10.30 hYPmuWM4.net
>>3
なるほど
7:１３２人目の素数さん
26/08/13 15:38:58.80 ZFGn8VvX.net
X⊂R^2を可算集合とする。
L⊂R^2を任意の直線とする。
Xの各点pに対して、pを通り、Lと直交する直線L'(p)を引く。
Xは可算集合で、Lは非可算集合だから、Lには、どのL'(p)とも交わらない点qがある。
qを通りLと直交する直線L''を引く。
L''はどのL'(p)とも平行だから交わらない。したがって、どのp∈Xも通らない。□
8:１３２人目の素数さん
26/08/13 17:10:43.68 k8JBR/nf.net
R^2空間内の y=x+r の形の直線は非可算無限本存在し、互いに平行。
R^2空間内の任意の1点は上記直線のうちのたかだか1本にしか乗らない（2本以上に乗ったら互いに平行であることと矛盾）。
よってR^2空間内に任意に配置した可算無限個の点が乗る直線はたかだか可算無限本。すなわちほとんどすべての直線には乗らない。
9:１３２人目の素数さん
26/08/13 18:18:29.33 NtthX5Or.net
なるほど
10:１３２人目の素数さん
26/08/13 18:25:15.77 9KYkO1wm.net
与えられた点の個数は可算
同じ点が二つ以上の直線に乗らないように非可算個の直線を作れる
というのが肝か
11:１３２人目の素数さん
26/08/13 21:59:53.22 bXkjL2v2.net
円周は非可算の点の集まり
12:１３２人目の素数さん
26/08/13 23:54:45.92 cQpU1Dg5.net
>>10
円周は非可算集合だってことよ
13:毎度のことだけど
26/08/14 04:42:36.74 ctR3jega.net
>>12
それ、命題をスレタイの
＞ℝ²に可算無限個の点をどのように配置しても、それらを一つも通らない直線は存在するか
から、別の命題：
＞ℝ²に可算無限個の点をどのように配置しても、それらの任意の一つだけしか通らない直線は存在するか
へと置き換えた時の肝だね。
14:１３２人目の素数さん
26/08/14 08:20:01.34 Ia6NA0R/.net
類似問題：有理点∈Q^2を持たないR^2内の直線は存在するか？
仮に直線 y=x+√2 が有理点 (p,q)∈Q^2 を持つと仮定すると q-p=√2 が成立するはずだが左辺は有理数、右辺は無理数だから矛盾。
15:毎度のことだけど
26/08/14 10:15:27.83 ctR3jega.net
>>14
それは
答え：存在する。
と主張する場合の一例であって、反例なきことを示していないため、証明としては不完全。
16:１３２人目の素数さん
26/08/14 10:34:49.64 Ia6NA0R/.net
君、頭だいじょうぶ？
17:容疑者X
26/08/14 10:53:29.74 ctR3jega.net
>>15
失敬！
それは
答え：存在する。
と主張する場合の一例であって、証明として完全。
18:容疑者X
26/08/14 10:57:49.38 ctR3jega.net
>>15
これは>>14を別の類似問題：
有理点∈Q^2しか持たないR^2内の直線は存在するか？
と混同してしまったコメント。
19:１３２人目の素数さん
26/08/17 05:07:30.54 BR2LIPij.net
R^3\{0}は直線族の非交和に分解出来る？
20:１３２人目の素数さん
26/08/17 07:15:26.11 BUxWQe0b.net
>>18
そんなもの無いの直ぐ判ろうによ
21:１３２人目の素数さん
26/08/17 07:18:30.21 BUxWQe0b.net
>>19
2直線が交わらないなら平行（か同一）
x軸に平行な直線でR^2¥Oを覆うとき
原点を通る直線は使われないことになるため
x軸自身はその合併に入らない
つまり覆えない
22:１３２人目の素数さん
26/08/17 07:20:11.97 BUxWQe0b.net
>>13
ではないが？
23:１３２人目の素数さん
26/08/17 07:27:21.50 BUxWQe0b.net
アでもそれにも使える
与えられた
P={p0,p1,…}
は可算集合だから
p0中心の円と
p0,pi for 1≦i
を通る直線との交点集合は可算なのでね
元の問題の場合
q∈R^2¥P
中心の円で
q,pi for 0≦i
を通る直線との交点集合が可算なのでで
24:１３２人目の素数さん
26/08/17 08:12:48.63 rWJu7Oq9.net
直線族を直線または開半直線の族に緩めれば可能
25:１３２人目の素数さん
26/08/17 08:47:28.16 BUxWQe0b.net
>>13
>＞ℝ²に可算無限個の点をどのように配置しても、それらの任意の一つだけしか通らない直線は存在するか
それらのうち2点だけしか通らない直線は存在するかな？
7点集合だと存在しない配置があるけど
8点以上とか可算無限個だとどうなん？
26:１３２人目の素数さん
26/08/17 12:40:44.04 BUxWQe0b.net
>>25
>それらのうち2点だけしか通らない直線は存在するかな？
直線上に可算個の点を配置すれば存在しないな
当たり前か
直線上に全ての点が存在する以外の可算個の点の配置で
2個だけ通る直線が存在しない配置はあるんだろか？
27:１３２人目の素数さん
26/08/17 12:42:32.61 BUxWQe0b.net
あるいは
（直線上以外の）どんな配置でも
2点しか通らない直線が存在するのかな？
28:１３２人目の素数さん
26/08/17 14:08:14.70 rWJu7Oq9.net
R^2空間上に任意に配置した可算無限個の点族Pから任意の1点を選びOとする。
Oを通る直線の族Lが存在し、その部分族としてP-{O}の元を通る直線の族L'が存在する。
Lは非可算無限、L'は可算無限だから、Lに属すほとんどすべての直線はPのうちOだけを通る。
29:１３２人目の素数さん
26/08/17 14:14:38.21 rWJu7Oq9.net
>L'は可算無限
L'はたかだか可算無限
まあ結果は変わらないけど
30:１３２人目の素数さん
26/08/17 23:50:08.64 rWJu7Oq9.net
R^2に可算無限個の点をどのように配置しても、それらを一つも通らない直線は存在する。>>8
R^2に可算無限個の点をどのように配置しても、それらのうち任意の一つだけ通る直線は存在する。>>28
R^2に可算無限個の点をどのように配置しても、それらのうち任意のn>1個だけ通る直線は存在しない。すべての点を任意の直線上に配置が反例。
31:１３２人目の素数さん
26/08/18 00:09:17.64 d4w7/ei+.net
>>30
>R^2に可算無限個の点をどのように配置しても、それらのうち任意のn>1個だけ通る直線は存在しない。すべての点を任意の直線上に配置が反例。
これはあまり面白くないよね
>>25,26はどう？
32:１３２人目の素数さん
26/08/18 00:27:20.89 yAH0VglE.net
直線上に全ての点が存在以外にも反例は無数にある。
点は可算無限個だからナンバリング可能。点nを任意の正の自然数mで割った剰余で定まる直線上へ配置。・・・可算無限個の反例が存在。
33:１３２人目の素数さん
26/08/18 06:15:49.77 d4w7/ei+.net
>>32
それ
直線はｍ本しか出てこないってこと？
たとえば
m=2
のとき
2本の直線上に可算無限個の点を配置したとしたら
そのそれぞれから1点取ればその2点を通る直線上に
他の点はないから2点のみを通る直線が存在することになるよ
34:容疑者X
26/08/18 09:59:25.65 KvAY+9Ot.net
>>3
この証明は、スレタイの命題を「ℝ²」に限定せずユークリッド幾何学の対象とする3次元空間「ℝ³」まで拡張しても、一字一句変えなくてよい証明となっていることに注意。
これはスレタイの問題設定を敢えて「ℝ²」へ絞り込んで創造したスレ主>1の「やさしさ」か、スレタイの命題に対して>5のような感想に至った>3の洞察眼の現れ、だろう。
35:１３２人目の素数さん
26/08/18 12:56:38.84 yAH0VglE.net
R^2空間内で可算無限個の点を y=1,y=0,y=-1 の3直線上のすべての有理点(∈Q^2)に配置。
配置内の二つの有理点を任意に選んだ時それらを通る直線は少なくとももう一つの有理点を通る。従ってこの配置は「可算無限個の点のうち二つの点だけを通る直線が存在する」の反例。
y=±1をy=±n(n∈N-{0})に置き換えても同じことが言えるから反例は可算無限個存在する。
36:１３２人目の素数さん
26/08/18 16:48:07.38 yAH0VglE.net
>配置内の二つの有理点を任意に選んだ時それらを通る直線は少なくとももう一つの有理点を通る。
選ばれた二つの有理点をp1,p2とする。
p1,p2を通る直線の傾きで場合分け
(a)0の場合：p1,p2は同一直線上にあるから自明にもう一つの有理点を通る。
(b)無限大の場合：有理点が選ばれなかった直線上にp1,p2とx座標が同じ有理点が存在するから自明にもう一つの有理点を通る。
(c)いずれでもない場合：p1,p2のΔx、Δyとも有理数だから傾きΔy/Δxも有理数(1)。p1,p2を通る直線と有理点を選ばれなかった直線との交点をp3とすると、p1,p3のΔyも有理数(2)。(1),(2)よりp1,p3のΔxも有理数。よってp3も有理点。よってもう一つの有理点を通る。
37:１３２人目の素数さん
26/08/18 20:59:01.43 d4w7/ei+.net
>>35
オー確かに
頭良いな
38:１３２人目の素数さん
26/08/20 08:52:28.11 bd6XxSHJ.net
>>35
同様にx軸と平行な直線をn+1本配置すればn点だけ通る直線の存在の反例となる。
よってn>1のときn点だけ通る直線の存在は偽。
39:１３２人目の素数さん
26/08/20 08:54:21.14 bd6XxSHJ.net
R^2に可算無限個の点をどのように配置しても、それらの1点も通らない直線は存在する：真 >>8
R^2に可算無限個の点をどのように配置しても、それらの1点だけ通る直線は存在する：真 >>28
R^2に可算無限個の点をどのように配置しても、それらのn(>1)点だけ通る直線は存在する：偽 >>38