26/08/04 22:16:59.12 DvcQl1jd.net
>>803
そうそう
それで、さらに 調和級数
1/1 + 1/2+1/3+・・・
を、オイラー積の切り口で眺める
そうすると 下記
リーマンゼータ関数のオイラー積表示
Σ n=1～∞ 1/n^s = Πp 1/(1-1/p^s)
↓↑
1/1^s + 1/2^s+1/3ﾍs+・・・= (1/(1-1/2^s)(1/(1-1/3^s)(1/(1-1/5^s)・・・
で s=1を代入したもの
右辺を見ると 明らかに分母分子に 無限の素数が乱舞する
一方、有理数とは 既約分数として 分母分子が 有限の素数を使って表される数なので
厳密な数学的表現ではないが 調和級数は 非有理数的存在だ
発散する 非有理数的存在の調和級数と 発散する超越数 ln(k) k→∞ の差が
奇跡的に 有限のγ オイラー・マスケローニ定数なる
γは、素直に考えて 無理数である可能性は 極めて高いだろう
但し、その証明は困難で Eulerの1734年からそろそろ300年になる
(参考)
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Euler's constant (sometimes called the Euler–Mascheroni constant)
History
The constant first appeared in a 1734 paper by the Swiss mathematician Leonhard Euler
(google訳追加)
デイヴィッド・ヒルベルトは、 γの無理性を「近づきがたい」未解決の問題として言及し、伝えられるところによると、イギリスの数学者ゴッドフリー・ハーディは、これを証明できる人にオックスフォード大学のサヴィリアン講座を譲ると申し出た。 [ 2 ]
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
調和級数
1/1 + 1/2+1/3+・・・
発散率
調和級数の発散は非常に遅く、たとえば最初の 1043 個の項の和は 100 よりも小さい[7]。これは部分和が対数的増加であることによる。特に
馬=1～k 1/n= ln(k) +γ+ εk
が成り立つ。ここで γ はオイラー・マスケローニ定数で
εk は k → ∞ の極限で 0 に近づく。
この結果はレオンハルト・オイラーによる。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
リーマンゼータ関数のオイラー積表示
Σ n=1～∞ 1/n^s = Πp 1/(1-1/p^s)
↓↑
1/1^s + 1/2^s+1/3ﾍs+・・・= (1/(1-1/2^s)(1/(1-1/3^s)(1/(1-1/5^s)・・・
これはRe(s) > 1 のとき収束する
形式的に s=1 を代入すると
左辺は調和級数であり、正の無限大に発散するので右辺も同様に発散すると考えられる。このことから素数の個数は有限ではないことが導かれる。なぜならもし素数が有限個なら右辺はある有限の値に収束するからである
URLﾘﾝｸ(manabitimes.jp)
高校数学の美しい物語
ゼータ関数のオイラー積 2023/09/04
目次
証明のスケッチ
応用