26/08/03 20:47:45.31 tdy2H9Cz.net
>>778 補足
なんか 「背理法被害者の会」の関係者が 出没しているな
>(参考)
>URLﾘﾝｸ(manabitimes.jp)
>高校数学の美しい物語
>ディガンマ関数 2023/11/29
>ψ(1)= lim n→∞ (log n － Σ k=1～n 1/k ) （ここタイポ訂正な）
>となります。これはオイラーの定数（のマイナス）
>－γ そのものです。
有限の自然数 n で
αn＝log n － Σ k=1～n 1/k が、無理数であることを証明しよう
ここで、log nは 無理数(実は超越数)であることは、使って良いとする
(証明)
背理法による
αnが有理数とする
log n＝αn＋ Σ k=1～n 1/k と書ける
明らかに Σ k=1～n 1/k は有理数だから
αn＋ Σ k=1～n 1/k もまた 有理数
すると log nも有理数になり 矛盾■
QED
さて、lim n→∞ のときは、この論法は使えない
なぜならば、lim n→∞ Σ k=1～n 1/k は無限大に発散し
lim n→∞ log n も無限大に発散する
背理法が使えないと
証明が一気に難しくなるのです