26/05/27 03:56:41.21 sQipF9fr.net
正体不明
2:１３２人目の素数さん
26/05/27 04:23:20.92 9LT7STx0.net
いみふめい
3:１３２人目の素数さん
26/05/27 04:23:37.87 9LT7STx0.net
ちみもうりょう
4:１３２人目の素数さん
26/05/27 04:24:01.61 9LT7STx0.net
あやかし
5:１３２人目の素数さん
26/05/27 06:37:42.37 4OXZv8Wc.net
俺もわからず終わった
ヨビノリは動画の更新をしなくなった
永遠にわからなくなった
6:１３２人目の素数さん
26/05/27 13:24:15.05 BCc9/k86.net
双対空間、部分空間、商空間、Tensor積空間、対称Tensor空間、交代Tensor空間、Tensor代数、Grassmann代数、微分形式、関手的操作、Canonicalな同型、普遍写像性質、
線型空間V, Wに対して、線型写像: V→Wの全体をHom(V, W)、これは線型空間となる。
準同型写像、ℂ代数
7:１３２人目の素数さん
26/05/27 13:25:45.55 BCc9/k86.net
以後Vを有限次元線型空間とする。
Hom(V, ℂ)=V*をVの双対空間と言う。
V=ℂⁿの時、∀v∈V: v=(c₁, c₂, …, cₙ)とおける。xᵢ: v→cᵢはvの第i成分を取り出す写像であり、双対空間V*の元。
線型結合φ=a₁c₁+a₂c₂+…+aₙcₙもV*の元。
{x₁, x₂, …, xₙ}はV*の基底。V*はx₁, x₂, …, xₙの一次式で表される関数全体の集合
8:１３２人目の素数さん
26/05/27 13:37:15.41 BCc9/k86.net
Vをn次元線型空間とし、Vの1つの基底を{v₁, v₂, …, vₙ}とする。φᵢ(vⱼ)=δᵢⱼを満たす線型写像φᵢは一意に定まる。
9:１３２人目の素数さん
26/05/27 13:37:31.63 BCc9/k86.net
φᵢ(c₁v₁+c₂v₂+…+cᵢvᵢ+…+cₙvₙ)
線型性よら
=c₁φᵢ(v₁)+c₂φᵢ(v₂)+…+cᵢφᵢ(vᵢ)+…+cₙφᵢ(vₙ)
φの定義より(iは変数ではなく定数)
=c₁δ₁ᵢ+c₂δ₂ᵢ+…+cᵢδᵢᵢ+…+cₙδₙᵢ
δᵢⱼ=1 (i=j)、0 (i≠j)より
=cᵢ
10:１３２人目の素数さん
26/05/27 23:32:11.18 BCc9/k86.net
{φ₁, φ₂, …, φₙ}はV*の基底をなし、dimV=dimV*
証明
線型独立であることと空間を張ることを示す。
線型関係c₁φ₁+…+cₙφₙ=0を考える
11:１３２人目の素数さん
26/05/27 23:32:26.04 BCc9/k86.net
(c₁φ₁+…+cₙφₙ)vᵢ=0vᵢ=0
c₁φ₁(vᵢ)+…+cᵢφᵢ(vᵢ)+…+cₙφₙ(vᵢ)=0
c₁δ₁ᵢ+…+cᵢδᵢᵢ+…+cₙδₙᵢ=0
cᵢ=0、1≤i≤n
よって自明な線型関係しか存在しないので線型独立である
12:１３２人目の素数さん
26/05/27 23:32:56.25 BCc9/k86.net
∀V*の基底 {φ₁, …, φₙ}はVの基底 {v₁, …, vₙ} の双対基底
v∈線型空間V、φ∈双対空間V*、ψ∈二重双対空間V**=(V*)*,とする
φ→φ(v)∈ℂ (v∈Vを固定して対応させる)
これはℂに値を取る線型写像なのでV**の元である。この写像をi(v)∈V**とする。i: v→φ(v)、i: V→V**
i(v): φ→φ(v)、(i(v))(φ)=φ(v)∈V, ∀ψ∈V*: v=c₁v₁+…+cₙvₙとおける
ψ(v)=ψ(c₁v₁+…+cₙvₙ)=c₁ψ(v₁)+…+cₙψ(vₙ)
=φ₁(v)ψ(v₁)+…+φₙ(v)ψ(vₙ)
=(ψ(v₁)φ₁+ψ(vₙ)φₙ)v
vは任意なのでψ=ψ(v₁)φ₁+…+ψ(vₙ)φₙ
∈<φ₁, φ₂, …, φₙ>
よってψはφ₁, …, φₙによって張られる空間である。
線型独立であり余らない。必要性
張られるので足りている。十分性
証明終
13:１３２人目の素数さん
26/05/27 23:33:16.61 BCc9/k86.net
V*の基底 {φ₁, …, φₙ}はVの基底 {v₁, …, vₙ} の双対基底
v∈線型空間V、φ∈双対空間V*、ψ∈二重双対空間V**=(V*)*,とする
φ→φ(v)∈ℂ (v∈Vを固定して対応させる)
これはℂに値を取る線型写像なのでV**の元である。この写像をi(v)∈V**とする。i: v→φ(v)、i: V→V**
i(v): φ→φ(v)、(i(v))(φ)=φ(v)
14:１３２人目の素数さん
26/05/28 16:46:23.20 MZzR7xAz.net
>>1
ジェネレータの直積で生成されるものだよ
15:１３２人目の素数さん
26/05/28 21:33:42.81 N/4Ce/uJ.net
たったそれだけのことがめちゃくちゃ有用
16:１３２人目の素数さん
26/05/28 21:57:19.48 jrlKAAzM.net
関係式で潰して商代数を作れる