26/05/27 04:23:20.92 9LT7STx0.net
いみふめい
3:１３２人目の素数さん
26/05/27 04:23:37.87 9LT7STx0.net
ちみもうりょう
4:１３２人目の素数さん
26/05/27 04:24:01.61 9LT7STx0.net
あやかし
5:１３２人目の素数さん
26/05/27 06:37:42.37 4OXZv8Wc.net
俺もわからず終わった
ヨビノリは動画の更新をしなくなった
永遠にわからなくなった
6:１３２人目の素数さん
26/05/27 13:24:15.05 BCc9/k86.net
双対空間、部分空間、商空間、Tensor積空間、対称Tensor空間、交代Tensor空間、Tensor代数、Grassmann代数、微分形式、関手的操作、Canonicalな同型、普遍写像性質、
線型空間V, Wに対して、線型写像: V→Wの全体をHom(V, W)、これは線型空間となる。
準同型写像、ℂ代数
7:１３２人目の素数さん
26/05/27 13:25:45.55 BCc9/k86.net
以後Vを有限次元線型空間とする。
Hom(V, ℂ)=V*をVの双対空間と言う。
V=ℂⁿの時、∀v∈V: v=(c₁, c₂, …, cₙ)とおける。xᵢ: v→cᵢはvの第i成分を取り出す写像であり、双対空間V*の元。
線型結合φ=a₁c₁+a₂c₂+…+aₙcₙもV*の元。
{x₁, x₂, …, xₙ}はV*の基底。V*はx₁, x₂, …, xₙの一次式で表される関数全体の集合
8:１３２人目の素数さん
26/05/27 13:37:15.41 BCc9/k86.net
Vをn次元線型空間とし、Vの1つの基底を{v₁, v₂, …, vₙ}とする。φᵢ(vⱼ)=δᵢⱼを満たす線型写像φᵢは一意に定まる。
9:１３２人目の素数さん
26/05/27 13:37:31.63 BCc9/k86.net
φᵢ(c₁v₁+c₂v₂+…+cᵢvᵢ+…+cₙvₙ)
線型性よら
=c₁φᵢ(v₁)+c₂φᵢ(v₂)+…+cᵢφᵢ(vᵢ)+…+cₙφᵢ(vₙ)
φの定義より(iは変数ではなく定数)
=c₁δ₁ᵢ+c₂δ₂ᵢ+…+cᵢδᵢᵢ+…+cₙδₙᵢ
δᵢⱼ=1 (i=j)、0 (i≠j)より
=cᵢ
10:１３２人目の素数さん
26/05/27 23:32:11.18 BCc9/k86.net
{φ₁, φ₂, …, φₙ}はV*の基底をなし、dimV=dimV*
証明
線型独立であることと空間を張ることを示す。
線型関係c₁φ₁+…+cₙφₙ=0を考える
11:１３２人目の素数さん
26/05/27 23:32:26.04 BCc9/k86.net
(c₁φ₁+…+cₙφₙ)vᵢ=0vᵢ=0
c₁φ₁(vᵢ)+…+cᵢφᵢ(vᵢ)+…+cₙφₙ(vᵢ)=0
c₁δ₁ᵢ+…+cᵢδᵢᵢ+…+cₙδₙᵢ=0
cᵢ=0、1≤i≤n
よって自明な線型関係しか存在しないので線型独立である
12:１３２人目の素数さん
26/05/27 23:32:56.25 BCc9/k86.net
∀V*の基底 {φ₁, …, φₙ}はVの基底 {v₁, …, vₙ} の双対基底
v∈線型空間V、φ∈双対空間V*、ψ∈二重双対空間V**=(V*)*,とする
φ→φ(v)∈ℂ (v∈Vを固定して対応させる)
これはℂに値を取る線型写像なのでV**の元である。この写像をi(v)∈V**とする。i: v→φ(v)、i: V→V**
i(v): φ→φ(v)、(i(v))(φ)=φ(v)∈V, ∀ψ∈V*: v=c₁v₁+…+cₙvₙとおける
ψ(v)=ψ(c₁v₁+…+cₙvₙ)=c₁ψ(v₁)+…+cₙψ(vₙ)
=φ₁(v)ψ(v₁)+…+φₙ(v)ψ(vₙ)
=(ψ(v₁)φ₁+ψ(vₙ)φₙ)v
vは任意なのでψ=ψ(v₁)φ₁+…+ψ(vₙ)φₙ
∈<φ₁, φ₂, …, φₙ>
よってψはφ₁, …, φₙによって張られる空間である。
線型独立であり余らない。必要性
張られるので足りている。十分性
証明終
13:１３２人目の素数さん
26/05/27 23:33:16.61 BCc9/k86.net
V*の基底 {φ₁, …, φₙ}はVの基底 {v₁, …, vₙ} の双対基底
v∈線型空間V、φ∈双対空間V*、ψ∈二重双対空間V**=(V*)*,とする
φ→φ(v)∈ℂ (v∈Vを固定して対応させる)
これはℂに値を取る線型写像なのでV**の元である。この写像をi(v)∈V**とする。i: v→φ(v)、i: V→V**
i(v): φ→φ(v)、(i(v))(φ)=φ(v)
14:１３２人目の素数さん
26/05/28 16:46:23.20 MZzR7xAz.net
>>1
ジェネレータの直積で生成されるものだよ
15:１３２人目の素数さん
26/05/28 21:33:42.81 N/4Ce/uJ.net
たったそれだけのことがめちゃくちゃ有用
16:１３２人目の素数さん
26/05/28 21:57:19.48 jrlKAAzM.net
関係式で潰して商代数を作れる
17:１３２人目の素数さん
26/08/27 14:07:33.86 WY5lbQy3.net
テンソルは頭おかしい
わけわからん
思いついたやつ頭おかしい
18:１３２人目の素数さん
26/08/27 15:08:58.49 AsqiwL6I.net
わからんやつ頭弱い
19:１３２人目の素数さん
26/08/27 15:44:30.33 /0tdlGdt.net
生成元と関係式の枠組みで捉えると簡単だよ
集合としては単に直和
唯一違うのは定数倍。直和だと全ての成分に定数がかかる。テンソル積では成分の1つに定数がかかる。
20:１３２人目の素数さん
26/08/27 15:45:13.50 /0tdlGdt.net
あとは使ってれば慣れる
21:１３２人目の素数さん
26/08/27 15:45:38.95 WTo7K0/d.net
あとは使いながら慣れる
22:１３２人目の素数さん
26/08/27 16:08:49.21 gQ2a/SYS.net
添字を上げ下げするとわけわからなくなるｗ
23:１３２人目の素数さん
26/08/27 17:07:16.26 gQ2a/SYS.net
軸性テンソル
24:１３２人目の素数さん
26/08/29 09:23:48.87 5KjULP9E.net
何でも結構
25:１３２人目の素数さん
26/08/30 13:45:51.81 ezuEMoAa.net
ローレンツテンソル
26:１３２人目の素数さん
26/09/03 20:48:26.48 FglWkktB.net
ホイヨ
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Tensor
(google訳)
この記事は、スカラーとベクトルの概念を一般化した代数的オブジェクトについて説明しています。連続的に変化するテンソルの族については、「ベクトル場」および「テンソル場」を参照してください。その他の用法については、「テンソル（曖昧さ回避）」を参照してください。
（URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)(disambiguation)
数学
テンソル（本質的な定義）
テンソル場
テンソル積
テンソル（廃語）：ウィリアム・ローワン・ハミルトンの著作で四元数代数に用いられたノルム。古典的ハミルトン四元数§ テンソルを参照。
対称テンソルとは、ベクトル引数の置換に対して不変なテンソルのことである。）
数学において、テンソルは、ベクトル空間に関連付けられた代数オブジェクトの集合間の多重線形関係を記述する代数オブジェクトです。テンソルは、ベクトル、スカラー、さらには他のテンソルなど、さまざまなオブジェクト間を写像することができます。テンソルには、スカラーとベクトル（最も単純なテンソル）、双対ベクトル、ベクトル空間間の多重線形写像、さらにはドット積などの演算など、多くの種類があります。テンソルは基底とは独立して定義されますが、特定の座標系に関連付けられた基底における成分によって参照されることがよくあります。これらの成分は配列を形成し、これは高次元行列と考えることができます。
意味
一見異なって見えるが、テンソルを定義する様々なアプローチは、異なる言語と異なる抽象度を用いて、同じ幾何学的概念を記述している。
多次元配列として
テンソルは、（場合によっては多次元の）配列として表現できます。n次元空間のベクトルが、与えられた基底に関してn個の成分を持つ1次元配列で表されるのと同様に、基底に関する任意のテンソルは多次元配列で表されます。例えば、線形演算子は、基底においてn × nの2次元正方配列として表されます。多次元配列内の数値は、テンソルの成分または要素と呼ばれます。これらは、テンソルの記号名の後に、配列内の位置を示す添え字と上付き文字で表されます。例えば、 2階テンソルTの成分は、iとjが1からnまでの添え字であるT ij 、またはTと表すことができます。 ijインデックスが上付き文字として表示されるか下付き文字として表示されるかは、以下で説明するテンソルの変換特性によって決まります。
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Comparison of the first five orders of tensors
つづく
27:１３２人目の素数さん
26/09/03 20:49:04.04 FglWkktB.net
つづき
歴史
後のテンソル解析の概念は、カール・フリードリヒ・ガウスの微分幾何学の研究から生まれ、その定式化は19世紀半ばに発展した代数形式と不変量の理論に大きく影響を受けた。 [ 14 ] 「テンソル」という言葉自体は、現在テンソルと呼ばれるものとは異なるものを記述するために、1846年にウィリアム・ローワン・ハミルトンによって導入された。 [ 15 ] [注3 ] ジョサイア・ウィラード・ギブスは、現代的な意味でのテンソルでもある二進代数と多進代数を導入した。[ 16 ]現代的な用法は、1898年にヴォルデマール・フォークトによって導入された。 [ 17 ]
テンソル計算は、1890 年頃にグレゴリオ・リッチ＝クルバストロによって絶対微分計算というタイトルで開発され、1892 年に初めて発表されました。[ 18 ]リッチ＝クルバストロとトゥリオ・レヴィ＝チヴィタによる1900 年の古典的テキストMéthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications (絶対微分計算の方法とその応用) の出版により、多くの数学者が利用できるようになりました。 [ 19 ]リッチの記法では、共変成分と反変成分を持つ「システム」を指しており、これは現代的な意味ではテンソル場として知られています。[ 16 ]
20世紀には、この分野はテンソル解析として知られるようになった。 1908年にヘルマン・ミンコフスキーが特殊相対性理論に応用し、時空の概念を発展させたことから、より広く受け入れられるようになった。[ 20 ] アルベルト・アインシュタインは、幾何学者マルセル・グロスマンから、大変苦労してテンソル解析について学んだ。[ 21 ] レヴィ＝チヴィタは、アインシュタインがテンソル解析の使用において犯した誤りを正すために、アインシュタインとの書簡のやり取りを開始した。この書簡のやり取りは1915年から1917年まで続き、相互の尊敬によって特徴づけられた。
アインシュタインの一般相対性理論は、テンソルの言葉で定式化された。
テンソルとテンソル場は、連続体力学などの他の分野でも有用であることがわかった。微分幾何学におけるテンソルのよく知られた例としては、計量テンソルやリーマン曲率テンソルなどの二次形式がある。19世紀半ばのヘルマン・グラスマンの外積代数は、それ自体がテンソル理論であり、非常に幾何学的であるが、微分形式の理論とともに、テンソル計算と自然に統一されるようになるまでにはしばらく時間がかかった。エリー・カルタンの研究により、微分形式は数学で使用される基本的なテンソルの種類の1つとなり、ハスラー・ホイットニーはテンソル積を普及させた。[ 16 ]
1920年代頃から、テンソルが代数トポロジーにおいて基本的な役割を果たしていることが認識されるようになった（例えば、キュンネスの定理など）。[ 23 ]同様に、抽象代数の多くの分野、特にホモロジー代数と表現論において、テンソルの型が用いられている。多重線形代数は、体から得られるスカラーよりも一般的に展開できる。例えば、スカラーは環から得られる。しかし、その場合、理論は幾何学的ではなく、計算はより技術的でアルゴリズム的ではない。[ 24 ]テンソルは、1960年代からモノイド圏の概念によって圏論 の中で一般化されている。 [ 25 ]
(引用終り)
以上
28:１３２人目の素数さん
26/09/03 23:12:56.52 FglWkktB.net
>>26 補足
個人的な話だが
私は、テンソルは アインシュタインの一般相対性理論のテンソルから入った
その後、Cauchy stress tensorに出会う
ベクトル、行列、行列式は 中学・高校時代から知っていた
大学学部の線形代数では、テンソルは出てこなかった
なので、ベクトル、行列、行列式 と テンソルとの統一した見方が いまいち構築できなかった
その後、数学史的に見ると、それぞればらばらに考えられて、ベクトル、行列、行列式で一旦一纏まりで扱うようになったことが分った
数学史的には
1）行列式が結構古く 連立方程式の解法として考えられた
2）用語Matrixは、1850年にSylvesterが考えた
3）ベクトルは、1878年 クリフォードが 「初めてベクトルの概念の現代的な形式化に類似した意味を与え、その後、より明確化され、充実される」と
4）テンソルは、>>27"現代的な用法は、1898年にヴォルデマール・フォークトによって導入された"とある
そういうわけで、線型代数学 Linear algebra が、Peanoの1888年ころから 20世紀前半にまとまってきて いまに至る
テンソルは、重要で関係が深いが 歴史的経緯で 線型代数学の外の扱いということ
(参考)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
一般相対性理論
リーマンテンソル、アインシュタイン・テンソル
時空の曲率は、レヴィ・チヴィタ接続 ∇ が定義するリーマン曲率テンソル (Riemann tensor) R ρ σμν で表現される
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Cauchy stress tensor
URLﾘﾝｸ(fr.wikipedia.org)
Tenseur des contraintes
応力テンソル
応力テンソルは、連続体力学において応力状態、すなわち媒体の変形部分間に作用する内部力を特徴づけるために用いられる2階テンソルである。この用語は、1822年頃にコーシーによって導入された。
つづく
29:１３２人目の素数さん
26/09/03 23:13:40.15 FglWkktB.net
つづき
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Determinant
History
Historically, determinants were used long before matrices: A determinant was originally defined as a property of a system of linear equations. The determinant "determines" whether the system has a unique solution (which occurs precisely if the determinant is non-zero). In Europe, solutions of linear systems of two equations were expressed by Cardano in 1545 by a determinant-like entity.[21]
Determinants proper originated separately from the work of Seki Takakazu in 1683 in Japan and parallelly of Leibniz in 1693.[22][23][24][25]
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)(mathematics)
Matrix (mathematics)
History
This use of the term matrix in mathematics (an English word for "womb" in the 19th century, from Latin, as well as a jargon word in printing, in biology and in geology[194]) was coined by James Joseph Sylvester in 1850,[195] who understood a matrix as an object giving rise to several determinants today called minors, that is to say, determinants of smaller matrices that derive from the original one by removing columns and rows.
URLﾘﾝｸ(fr.wikipedia.org)
Vecteur
Histoire
Formalisations
(google訳)
ウィリアム・ローワン・ハミルトンは、複素数がユークリッド平面を表していることに気づいた。彼は人生の10年間を費やして[ 32 ] 3次元の等価物を探し求め、ついに1843年に4次元の四元数体を発見した。彼は「ベクトル」と「スカラー」という言葉に2つの新しい定義を提案した。彼にとって、ベクトルとは四元数の3次元部分集合の要素である。
1878年、ウィリアム・キングドン・クリフォードは著書『力学の基礎』 の中で、四元数の概念を再検討し、簡略化した。彼は特に、 2つのベクトルの内積と外積を導入した。このアプローチにより、ベクトルをより高度な計算に利用することが可能になった。
この2番目のアプローチは、初めてベクトルの概念の現代的な形式化に類似した意味を与え、その後、より明確化され、充実される。それは、ベクトルをベクトル空間の要素として定義することからなる。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
線型代数学
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Linear algebra
History
The first modern and more precise definition of a vector space was introduced by Peano in 1888;[5] by 1900, a theory of linear transformations of finite-dimensional vector spaces had emerged. Linear algebra took its modern form in the first half of the twentieth century when many ideas and methods of previous centuries were generalized as abstract algebra.
(引用終り)
以上
30:１３２人目の素数さん
26/09/05 11:19:54.24 uZP7zbhj.net
Algebra Volume I van der Waerden
のChapter 4 Vector spaces and Tensor spaces で
4.6に Tensors
4.7に Antismmetric multilinear forms and Determinants
4.8に Tensor Products, Contractrion, and Trace
がある
おそらく 意図は 4.6 Tensors 導入から
4.7 で Matrix を導入して 続いて Determinants を説いている
なので現代風ならば 線形代数で論じる事項について
Tensors を ベースに使って 簡便に説いているようだ
実際、Volume II であらためて 線形代数の12章を設けて説いている（下記）
(参考)
URLﾘﾝｸ(www.google.co.jp)
Algebra
Volume I
作成者: B.L. van der Waerden、 Emil Artin、 Emmy Noether · 2003
公開日： 2003年10月21日
形式： ペーパーバック
出版社： Springer New York
言語： 英語
作者： B.L. van der Waerden、 Emil Artin、 Emmy Noether
翻訳者： F. Blum、 J.R. Schulenberg
URLﾘﾝｸ(www.kinokuniya.co.jp)
紀伊国屋書店
ファンデルヴェルデン著／代数学ＩＩ
Algebra, Volume II
Waerden, Bartel L. van der
Springer（2003発売）
基本説明
Based in part on lectures by E. Artin and E. Noether. Originally published by Frederick Ungar Publishing, New York 1970. 1st ed. 1991. 1st softcover printing, 1991.
Contents: 12. Linear Algebra; 13. Algebras; 14. Representation Theory of Groups and Algebras; 15. General Ideal Theory of Commutative Rings; and more.
31:１３２人目の素数さん
26/09/05 11:26:11.13 uZP7zbhj.net
(参考)
(google検索)
テンソルと行列式
AI による概要
テンソルと行列式は、多次元の数量や線形代数を扱う上で密接に関係している重要な概念です。
行列式は正方行列（2階テンソル）に対して定義されるスカラー値であり、空間の拡大率や体積の変化を表しますが、高次元のテンソルや座標変換の文脈では「テンソル密度」や計量テンソルの行列式（\(g = \det(g_{\mu\nu})\)）として自然に拡張されます。
テンソルと行列式の基本関係
行列（2階テンソル）の行列式: 2階の正方行列 \(A\) に対し、その行列式 \(\det(A)\) は固有値の積や面積・体積のスケール因子を表します。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
テンソル（英語: tensor, ドイツ語: Tensor）
いくつかのアプローチ
テンソルの定義・表示と取り扱いには、いくつかの同等な方法がある。
とくに、古典的なアプローチではテンソルは多次元の配列で、階数0のスカラーや階数1のベクトル、階数2の行列などの階数nへの一般化を与えているものと見なされる。テンソルの「成分」は配列の要素の値によって与えられることになる。この考えはテンソル場として一般化され、テンソルの成分として関数やその微分が取り扱われるようになる。
32:１３２人目の素数さん
26/09/06 15:06:48.96 XX33OiFP.net
雪江本
代数学2 2.11 テンソル積 「この節では環は可換と仮定しない」と始る
この後、2.14 完全系列と局所化で、このテンソル積を使う（多分これを意図した”2.11 テンソル積”の配置だろう）
代数学3 ”第４章 テンソル代数と双線形形式4.1 テンソル代数・対称代数・外積代数”とあり
この後、kを可換環として 「Vをk加群とする」と始る。つまり ここでは 環上の加群でなく もっと一般のk加群のテンソル積を扱う テンソル代数を論じる
どこにも、「テンソルとは何か？」の定義や記述はない
それは、数理哲学としては意味があるのだろうが 雪江代数学としては どうでもいい話なのかも （＾＾
(参考)
URLﾘﾝｸ(www.nippyo.co.jp)
日本評論社
雪江 明彦
プロフィール
1957年山梨県甲府市生まれ。1980年東京大学理学部数学科を卒業。1986年ハーバード大学にてPh.D.を取得。ブラウン大学、オクラホマ州立大学、プリンストン高等研究所、ゲッチンゲン大学、オクラホマ州立大学、東北大学大学院理学研究科を経て、現在、東北大学名誉教授、京都大学名誉教授。専門は、幾何学的不変式論、解析的整数論。
（2024年1月現在）
URLﾘﾝｸ(www.nippyo.co.jp)
代数学2 環と体とガロア理論［第２版］発刊年月 2023.11
目次
第２章 環上の加群
2.10 ネーター環上の加群
2.11 テンソル積
2.12 双対加群
2.13 単項イデアル整域上の有限生成加群
2.14 完全系列と局所化
URLﾘﾝｸ(www.nippyo.co.jp)
代数学3 代数学のひろがり［第２版］発刊年月 2024.03
内容紹介
テンソル代数、無限次ガロア拡大など、諸分野で必要となる発展的な話題を扱う。長く読みつがれた旧版を、さらに充実させ第2版化。
目次
第４章 テンソル代数と双線形形式
4.1 テンソル代数・対称代数・外積代数
4.2 双線形形式
4.3 恒等式の証明
4.4 2次形式
4.5 直交群
4.6 ヴィット分解
4.7 交代形式
4.8 対称形式と2次形式の違い
4章の演習問題
URLﾘﾝｸ(www.math.kyoto-u.ac.jp)
雪江明彦のホームページ
代数の教科書について
URLﾘﾝｸ(www.math.kyoto-u.ac.jp)
教科書の 用語について (2012/7/7更新)
33:１３２人目の素数さん
26/09/06 16:12:56.81 XX33OiFP.net
>>30
>Algebra Volume I van der Waerden
>のChapter 4 Vector spaces and Tensor spaces で
>4.6に Tensors
補足
この 4.6 Tensorsの最後に
"Following Einstein, we therefore also refer to covectors and vectors as covariant and contravariant vectors.
Finally, we can consider the mixed tensors t. They are defined as multilinear forms whose arguments consist of both vectors and covectors, for ezample."
(google訳)
したがって、アインシュタインにならい、我々はコベクトルとベクトルを、それぞれ共変ベクトルおよび反変ベクトルとも呼びます。
最後に、混合テンソル $t$ を考えることができます。これらは、例えばベクトルとコベクトルの双方を引数にとる多重線形形式として定義されます。
とある。つまり、Einsteinが 一般相対性理論で使ったテンソルがもとネタだという
そして
”Chapter 4 Vector spaces and Tensor spaces”
4.6 Tensors”
だが、Tensor spaces の明確な記述がない
そこで後の索引を見ると Tensor space 74 とある
P74 でそれらしき記述は 下段の
"・・ in Section 4.3. They form a vector space of demension n^2. The elemnts of this space are called tensor or, more precisely, covariant tensors of rank two."
(google訳)
この空間の要素はテンソル、より正確には階数2の共変テンソルと呼ばれます。
とある
なので、Vector spaces の elemntsが vectorsで
”The elemnts of this space are called tensor”から 逆に辿ると
”They form a vector space of demension n^2”が、ここでの Tensor space だとなる
まあ、大雑把な話で 最後は”Following Einstein”と言って逃げていて
4.6 Tensorsの中では ”They form a vector space of demension n^2”と 具体的な記述で
それは 双線形から導かれるのだが そこから Tensorsと Tensor spacesだといっている
>>32 の雪江本の 緻密だが 抽象的な 現代数学のテンソル積や テンソル代数
の記述に比べると いかにも時代の流れを感じる
まあ、言いたいことは 時代と筆者によって 論じる ”テンソル”の定義が かなり違う
”テンソル”の概念も 21世紀の現代数学では かなり広がっているので
時代と筆者によって 「この筆者のテンソルの意味はこれだな」と うまく把握しないと
読む方は 結構混乱させられるってことですね
（結構混乱させられた人が ここに一人います（＾＾；）