a, bは正の整数とする。(a^2 + b^2)/(ab + 1)が整数なら平方数であることを示せat MATHa, bは正の整数とする。(a^2 + b^2)/(ab + 1)が整数なら平方数であることを示せ - 暇つぶし2ch■コピペモード□スレを通常表示□オプションモード□このｽﾚｯﾄﾞのURL■項目テキスト1:１３２人目の素数さん 26/05/13 00:43:24.02 m6SDQl9Y.net どうやって示す？ 2:１３２人目の素数さん 26/05/13 04:40:30.55 mXmVPDD2.net ジャンピング 3:１３２人目の素数さん 26/05/13 07:18:56.59 WEDXp7jP.net 珠子チャンス 4:１３２人目の素数さん 26/05/13 10:23:04.55 S1kE/295.net ビエタ 5:１３２人目の素数さん 26/05/13 15:16:26.43 xGGKX7gf.net 整数k=(a²+b²)/(ab+1) と置くとa, b>0よりk>0である。 a²+b²=k(ab+1)、a, b, k,正整数 ① ①の時、kは平方数になることを証明する。 kは非平方数であると仮定する。② ①を満たす(a, b)のうち、a+bが最小となる組を(A, B)とする。対称性よりA≥Bとしてよい。 a²-kBa+B²-k=0 ③ aに関する二次方程式③はa=Aを解に持つ。③の他の解をCとすると ②⇔a=A, C、A, B, k>0 解と係数の関係により A+C=kB、AC=B²-k C=kB-AとなるからCは整数である。 C=(B²-k)/A<B²/A≤A²/A=A ∴C<A⇔C+B<A+B ④ C>0とするとAの最小性に反する④。 C=0とするとk=B²より②に矛盾する C<0とすると①で∀B>0に対して右辺=k(CB+1)≤0、左辺>0であり矛盾する。 よって②の仮定は否定されるのでkは平方数となることが示された。 次ページ最新レス表示レスジャンプ類似スレ一覧スレッドの検索話題のニュースおまかせリストオプションしおりを挟むスレッドに書込スレッドの一覧暇つぶし2ch