26/06/14 15:08:43.47 iVhZ8xXP.net
A:N→P(X)
∪∩A=∪{∩{An|m<n}|m∈N}⊂∩{∪{An|m<n}|m∈N}=∩∪A
を示し
∩∪A＼∪∩A≠φ
である例を挙げよ
186:１３２人目の素数さん
26/06/14 15:37:28.72 nSGniEjx.net
>185
とりあえず思考過程ゼロでAIにかけたら、A_nのnが奇数のときに{0}、nが偶数のときに{1}とおけば例の条件を満たすって出たけど、いかが？
187:１３２人目の素数さん
26/06/14 15:43:25.11 nSGniEjx.net
再度AIにかけたら早速違った答えを出してきたので、やっぱり無しでお願いします。
188:１３２人目の素数さん
26/06/14 15:53:26.53 iVhZ8xXP.net
>>185
補遺
∩∪A=∪∩A
である同値な条件を挙げよ
（適当な答えを知らないので出題では無いから別に）
189:１３２人目の素数さん
26/06/14 15:56:55.55 iVhZ8xXP.net
>>186
例としてOK
190:１３２人目の素数さん
26/06/14 15:57:26.08 nSGniEjx.net
やりぃ
191:１３２人目の素数さん
26/06/14 16:33:44.78 iVhZ8xXP.net
>>185
>∩∪A＼∪∩A≠φ
>である例を挙げよ
簡単すぎたので
単調減少
An⊃An+1
の場合
∩∪A=∪∩A
であることを示せでどうかな
192:１３２人目の素数さん
26/06/17 20:24:54.39 S1jlQUAm.net
z^5+z^4-12z^3-21z^2+z+5=0を解け。
193:１３２人目の素数さん
26/06/18 10:54:03.81 fubGILeS.net
>>192
これはちなみに、ガロア群はC5になるらしいです。
これでかなり解きやすくなるはずです。
194:１３２人目の素数さん
26/06/18 13:04:27.44 oOgZv1Lr.net
>>192
やはりこれは、pcで計算しないと苦しいかもしれません。
まあ、こんなC5の方程式があるんだくらいに思ってください。
195:１３２人目の素数さん
26/06/19 12:18:07.76 .net
>>192
与えられた5次方程式
z^5 + z^4 - 12z^3 - 21z^2 + z + 5 = 0
は有理数体上で既約であり、一般的な代数解の公式（冪根による解法）の形では簡潔に表現できません。しかし、この方程式は素数 p = 31 に関連するガウス周期（Gaussian periods）を根に持つ特殊な方程式（巡回拡大の極小多項式）であるため、三角関数を用いて厳密な解を書き下すことができます。
厳密解
方程式の5つの根は以下の通りです。
z_1 = 2cos((2π)/31) + 2cos((10π)/31) + 2cos((12π)/31)
z_2 = 2cos((4π)/31) + 2cos((20π)/31) + 2cos((24π)/31)
z_3 = 2cos((8π)/31) + 2cos((14π)/31) + 2cos((22π)/31)
z_4 = 2cos((16π)/31) + 2cos((18π)/31) + 2cos((28π)/31)
z_5 = 2cos((6π)/31) + 2cos((26π)/31) + 2cos((30π)/31)
解の導出背景（円分体とガウス周期）
この方程式の背景には、円分体 Q(ζ_(31)) （ただし ζ_(31) = e^(i*(2*π)/31)）の部分体が存在します。
乗法群の分割
素数31を法とする乗法群 Z_(31)^× は位数30です。これを位数6の部分群 H = {1, 5, 6, 25, 26, 30} ≡ {±1, ±5, ±6} (mod 31) と、その剰余類（5個）に分割します。
この部分群を基準に、1から15までの正の整数を3つずつの5つのグループに完全分割できます（各グループは直前のグループの要素を2倍し、31を超えたら剰余をとったものです）。
A_1 = {1, 5, 6}
A_2 = {2, 10, 12}
A_3 = {4, 7, 11}
A_4 = {8, 9, 14}
A_5 = {3, 13, 15}
ガウス周期の構成
各グループ A_k = {a, b, c} に対して、
z_k = ζ^a + ζ^(-a) + ζ^b + ζ^(-b) + ζ^c + ζ^(-c)
という周期を作ります。オイラーの公式 ζ^n + ζ^(-n) = 2cos((2n*π)/31) を適用すると、上記で示した三角関数の和の形になります。
極小多項式の特定
これら5つの z_k を根とする多項式 Π[k=1,5] (z - z_k) を展開すると、根と係数の関係から各係数が計算され、提示された方程式 z^5 + z^4 - 12z^3 - 21z^2 + z + 5 = 0 と完全に一致します。
参考までに、これらの根を近似値で表すと以下のようになります（順不同）。
z ≈ 3.7116
z ≈ 0.4425
z ≈ -0.6389
z ≈ -1.5478
z ≈ -1.9675
196:１３２人目の素数さん
26/06/19 12:25:48.88 WCuFKOXa.net
>>195
おぉ、解けましたか。
計算量が多くてきついかと思いましたが、大丈夫でしたね(^^)
197:１３２人目の素数さん
26/06/19 14:58:49.44 +9zKAHwg.net
そんなad hocな解き方なの？
198:１３２人目の素数さん
26/06/19 15:04:57.39 O2UzSBH5.net
ガロア群がC5というヒントは出していました。
199:１３２人目の素数さん
26/06/19 15:58:31.94 HiDyNKlc.net
なんでみんなここに直接数式を書きこむの？
200:１３２人目の素数さん
26/06/20 07:44:25.57 RetPzLJg.net
直接じゃなきゃどうするの？
201:１３２人目の素数さん
26/06/20 10:30:31.83 O7+JDHXn.net
latex
202:１３２人目の素数さん
26/06/23 20:48:13.51 YQRKtpvr.net
単位元をもつ4元からなる環の例を4つ挙げよ。
203:１３２人目の素数さん
26/06/23 20:55:24.35 YQRKtpvr.net
>>202
AIにバレてるからやっぱ無しかな。
まあ、解答したい人はご自由にw
204:１３２人目の素数さん
26/07/06 21:05:43.75 6lU5Xi7u.net
問題 『博士が百人いる村』
ある日
ある村に無能な博士が百人あつまった
この村には掟がある
村のオキテ【自分が無能とわかった博士はその日の夜に村を出ていかなければいけない】
博士たちは自分自身が無能かどうかは自分ではわからないが
他の博士が無能かどうかは完璧にわかる
広場に百人の博士が集まった
おのおのの博士は他の博士が無能かどうかを判定したが
誰も一言も発言しなかった
村長がいうことには「百人の中に少なくとも１人の無能の博士が存在する」
すべての博士がそれを聞いた
博士は無能かそうでないかのどちらかであるとする
博士たちは無能だが論理的思考はできる
さて博士たちはどうなったか？
何日目に何が起こったかを理由をつけて詳しく述べよ
205:１３２人目の素数さん
26/07/06 21:10:23.53 NOe76QeN.net
箱入り博士