測度が先か、積分が先かat MATH測度が先か、積分が先か - 暇つぶし2ch■コピペモード□スレを通常表示□オプションモード□このｽﾚｯﾄﾞのURL■項目テキスト1:１３２人目の素数さん 26/03/04 00:58:41.77 rBLLXqKv.net どちらが基礎なのか 2:１３２人目の素数さん 26/03/05 10:15:36.37 tNZVVBWq.net Rの部分集合Sが有界とは ∃K>0, ∀x∈S: -K<x<Kとなる こと。 I=[a, b]={x|a≤x≤b}の長さをb-aとする。 これをm(I)=b-aと表すことにする。 長さlength、面積area、体積volumeの一般化抽象化として測度を考える。 積分長さ面積体積 一点aの測度=0である。 m([a, a])=a-a=0 従って(a, b)、[a, b)、(a, b]の測度=0である m((a, a))=m(∅)=0 ∅の測度=0である。 平行移動による不変性 m(I+h)=m(I) 有限加法性 Rの部分集合S1, S2, …, Snを考える。 1 それぞれのSiたちには共通部分(共通する点)は無い。i≠jの時、Si∩Sj=∅ 2 各Siが測度を持つとする。この時、和S=S1∪S2∪…∪Snも測度を持つ m(S)=m(S1)+m(S2)+…+m(Sn)とする。 3:１３２人目の素数さん 26/03/05 10:57:40.29 tNZVVBWq.net Rの連続性 上に有界な単調増加列はある実数に収束する liman=c=supan In=[a, an)とする。右半開区間 a≤x<an I1⊂I2⊂…⊂In…→I=∪Ii 単なる和ではなく和集合。共通部分はその都度カットする。 連続性とは区間の広がり方の1つの型 右半開区間の列を変える J1=[a, a1), J2=[a1, a2), …, Jn=[aₙ₋₁, aₙ), … 互いに素としておく。 可算無限個の区間の和=長さは通常は測れない。 元のJnたちに交わりが無く平行移動後のJ'nたちにも交わりが無いと仮定する。 有限加法性から完全加法性へ 極限概念が働いてくる 有限の中で考えると人間はそのようにしがち、当然のように見えるが組み合わせの仕方は無限にあるので我々の想像の届かない図形が現れ得る。そのような図形(集合)に対しても長さが測れる。測度概念の導入。可算無限個。 次ページ最新レス表示レスジャンプ類似スレ一覧スレッドの検索話題のニュースおまかせリストオプションしおりを挟むスレッドに書込スレッドの一覧暇つぶし2ch