26/02/16 01:15:14.09 KeRlaThM.net
前スレの問題多分四元数のテクニックで解けそうやな
6:１３２人目の素数さん
26/02/16 01:27:32.08 KeRlaThM.net
ハミルトン代数 ℍ とその元 a に対して a 倍写像 a×(x) = ax は相似変換である。よってその部分超平面 ℙ の法線ベクトル が a である場合、aの共役元を a̅ とする時 a̅× によって ℙ は 1 を法線ベクトルとする超平面 ℍi + ℍj + ℍk に写される。とくに a が有理ベクトルである場合、ℙの有理点は a̅× によって ℍi + ℍj + ℍk の有理点に相似写像で写される。
7:１３２人目の素数さん
26/02/16 04:35:25.52 ODnu8rNV.net
>>6
正解です！
問1の方は誰も書いてないけど簡単すぎましたかね
8:１３２人目の素数さん
26/02/16 22:18:50.56 cv86U8qC.net
(p,q)/(|p|*|q|) = (1-√5)/4 となる有理的なベクトル p,q は無い
9:１３２人目の素数さん
26/02/16 23:30:06.33 iDHK0I2s.net
>>8
そうですね
その両辺を2乗すれば有理数=無理数となります
10:１３２人目の素数さん
26/02/17 12:46:34.58 BO5hEtbM.net
kを正整数とする。
√{m-√(n)}+√{m+√(n)}=(1/k)√(mn)
を満たす正整数の組(m,n)を自然数解と呼ぶ。
（1）自然数解(m,n)が存在するならば、2k^2≦n<4nであることを示せ。
（2）それぞれのkに対して、自然数解がすくなくとも1つ存在し、その個数はk√2未満であることを示せ。
（3）k=3のとき、自然数解をすべて求めよ。
（↑ここまで早稲田理工2026）
（4）一般のkに対して自然数解をすべて求めよ。
11:１３２人目の素数さん
26/02/17 12:47:11.54 BO5hEtbM.net
>>10
訂正
2k^2≦n<4k^2
12:１３２人目の素数さん
26/02/17 17:02:18.31 IaxQvUFT.net
与式
⇔2m + 2√(m²-n) = mn/k²
が成立するには l = √(m²-n) が整数である事が必要であり、さらに
与式
⇔2m+2l = m(m²l²)
⇔2k² = m(m-l)...①
よって与式の自然数解(m,n)に対して①の自然数解(m,l)が一対一に対応する。また①の自然数解の個数はd(2k²)/2である。よってd(x)≦2√x...②を示せば良い
c(2) = 3/2
c(3) = 2/√3
c(p) = 1 ( p≧5 )
として
d(2ᵉ)≦c(2)√(2ᵉ)
d(3ᵉ)≦c(3)√(3ᵉ)
d(pᵉ)≦c(p)√(pᵉ)
が任意の素数pと非負整数 e について成立するから②は成立する。
13:１３２人目の素数さん
26/02/17 20:12:53.03 1fTqtyeH.net
>>12
面白さはそんなにないですか？
14:１３２人目の素数さん
26/02/17 21:50:33.90 IaxQvUFT.net
そこそこ面白い希ガス
15:１３２人目の素数さん
26/02/18 22:57:09.76 6D/Q/9n7.net
>>12の式
2k² = m(m-l)...① n = m² - l²
を得た事で>>10の(1)~(3)が誘導と関係なしに
ほぼ同時に解けたような感じだけど
誘導にそった想定解が別にあるのかな
16:１３２人目の素数さん
26/02/18 23:01:58.15 6D/Q/9n7.net
(2)は2k²=mm' ( m>m' )と分解する組み合わせの上限が m=m'の場合の√(2k²)で
m=1~√(2k²)を全部カウントしただけですね
17:１３２人目の素数さん
26/02/19 13:59:22.92 2UXfmQxQ.net
√(2001√(2000√(1999√(1998√(1997√(1996√(1995√(1994×1992+1)+1)+1)+1)+1)+1)+1)+1)
を求めよ
18:１３２人目の素数さん
26/02/19 14:09:27.95 XkO0yvQ2.net
2000
19:１３２人目の素数さん
26/02/19 14:10:06.20 jtdg2QPI.net
1994×1992+1=(1993+1)(1993-1)+1=1993^2
以下同様で
2000
20:１３２人目の素数さん
26/02/19 15:52:39.44 2UXfmQxQ.net
お見事です
21:１３２人目の素数さん
26/02/19 22:27:23.20 RURzuXnV.net
BC=10、∠BAC=80°、∠ABC=50°の△ABCがある。
辺CA上に点Pを、∠PBC=10°となるようにとる。APの長さを求めよ。
22:イナ
26/02/20 16:32:20.38 Y1I3e3Pq.net
>>21
△ABPにおいて正弦定理よりAB/sin60°=AP/sin40°
∴AP=2ABsin40°/√3=2・5/√3=10√3/3
23:１３２人目の素数さん
26/02/20 23:56:23.56 CdwR8wZM.net
BからACに下ろした垂線の足をMとする
AP=AM+MP=BM*tan(∠ABM)+BM*tan(∠PBM)
=BC*sin(50°){tan(10°)+tan(30°)}=BC*tan(30°)=10/√3
∵
sin(50°){tan(10°)+tan(30°)}
=cos(40°){tan(20°)tan(30°)tan(40°)+tan(30°)} ; ※
=tan(30°)cos(2t){tan(t)tan(2t)+1} ; t=20°
=tan(30°)
※ 公式 tan(3x)=tan(x)tan(π/3+x)tan(π/3-x) にx=10°を代入し変形
24:１３２人目の素数さん
26/02/21 10:35:56.62 13QwXd37.net
AB = 5/cos50° から △ABP に正弦定理
25:１３２人目の素数さん
26/02/23 10:56:25.15 KgyNgdw+.net
>>21
正弦定理を使わない方法
AからBCに下ろした垂線の足をE、AからBPに下ろした垂線の足をFとすると、
四角形BEFAは等脚台形でBE=AF
AP=(2/√3)AF=(2/√3)BE=BC/√3=10/√3