26/02/15 23:33:32.76 1hJvStXu.net
1乙🍛
3:１３２人目の素数さん
26/02/15 23:41:16.85 1X8XecRm.net
もしR^4で有理的な三次元立体がR^3でも必ず有理的になるのが本当だとしたら、
つまり有理的な（成分が全て有理数であるような）任意の３つの四元数a,b,cに対して、
ある有理的な非零四元数xが存在して ax, bx, cx の実部が全て0になるってことか
本当かどうかはわからないけど、だとしたら四次元ってやっぱり色々と特別なんかな
4:１３２人目の素数さん
26/02/15 23:57:50.13 6/3DPOxr.net
前スレの問題のことなら
多面体
を
正多面体
と間違えて書いたのではと思ってる
5:１３２人目の素数さん
26/02/16 01:15:14.09 KeRlaThM.net
前スレの問題多分四元数のテクニックで解けそうやな
6:１３２人目の素数さん
26/02/16 01:27:32.08 KeRlaThM.net
ハミルトン代数 ℍ とその元 a に対して a 倍写像 a×(x) = ax は相似変換である。よってその部分超平面 ℙ の法線ベクトル が a である場合、aの共役元を a̅ とする時 a̅× によって ℙ は 1 を法線ベクトルとする超平面 ℍi + ℍj + ℍk に写される。とくに a が有理ベクトルである場合、ℙの有理点は a̅× によって ℍi + ℍj + ℍk の有理点に相似写像で写される。
7:１３２人目の素数さん
26/02/16 04:35:25.52 ODnu8rNV.net
>>6
正解です！
問1の方は誰も書いてないけど簡単すぎましたかね
8:１３２人目の素数さん
26/02/16 22:18:50.56 cv86U8qC.net
(p,q)/(|p|*|q|) = (1-√5)/4 となる有理的なベクトル p,q は無い
9:１３２人目の素数さん
26/02/16 23:30:06.33 iDHK0I2s.net
>>8
そうですね
その両辺を2乗すれば有理数=無理数となります
10:１３２人目の素数さん
26/02/17 12:46:34.58 BO5hEtbM.net
kを正整数とする。
√{m-√(n)}+√{m+√(n)}=(1/k)√(mn)
を満たす正整数の組(m,n)を自然数解と呼ぶ。
（1）自然数解(m,n)が存在するならば、2k^2≦n<4nであることを示せ。
（2）それぞれのkに対して、自然数解がすくなくとも1つ存在し、その個数はk√2未満であることを示せ。
（3）k=3のとき、自然数解をすべて求めよ。
（↑ここまで早稲田理工2026）
（4）一般のkに対して自然数解をすべて求めよ。
11:１３２人目の素数さん
26/02/17 12:47:11.54 BO5hEtbM.net
>>10
訂正
2k^2≦n<4k^2
12:１３２人目の素数さん
26/02/17 17:02:18.31 IaxQvUFT.net
与式
⇔2m + 2√(m²-n) = mn/k²
が成立するには l = √(m²-n) が整数である事が必要であり、さらに
与式
⇔2m+2l = m(m²l²)
⇔2k² = m(m-l)...①
よって与式の自然数解(m,n)に対して①の自然数解(m,l)が一対一に対応する。また①の自然数解の個数はd(2k²)/2である。よってd(x)≦2√x...②を示せば良い
c(2) = 3/2
c(3) = 2/√3
c(p) = 1 ( p≧5 )
として
d(2ᵉ)≦c(2)√(2ᵉ)
d(3ᵉ)≦c(3)√(3ᵉ)
d(pᵉ)≦c(p)√(pᵉ)
が任意の素数pと非負整数 e について成立するから②は成立する。
13:１３２人目の素数さん
26/02/17 20:12:53.03 1fTqtyeH.net
>>12
面白さはそんなにないですか？
14:１３２人目の素数さん
26/02/17 21:50:33.90 IaxQvUFT.net
そこそこ面白い希ガス
15:１３２人目の素数さん
26/02/18 22:57:09.76 6D/Q/9n7.net
>>12の式
2k² = m(m-l)...① n = m² - l²
を得た事で>>10の(1)~(3)が誘導と関係なしに
ほぼ同時に解けたような感じだけど
誘導にそった想定解が別にあるのかな
16:１３２人目の素数さん
26/02/18 23:01:58.15 6D/Q/9n7.net
(2)は2k²=mm' ( m>m' )と分解する組み合わせの上限が m=m'の場合の√(2k²)で
m=1~√(2k²)を全部カウントしただけですね
17:１３２人目の素数さん
26/02/19 13:59:22.92 2UXfmQxQ.net
√(2001√(2000√(1999√(1998√(1997√(1996√(1995√(1994×1992+1)+1)+1)+1)+1)+1)+1)+1)
を求めよ
18:１３２人目の素数さん
26/02/19 14:09:27.95 XkO0yvQ2.net
2000
19:１３２人目の素数さん
26/02/19 14:10:06.20 jtdg2QPI.net
1994×1992+1=(1993+1)(1993-1)+1=1993^2
以下同様で
2000
20:１３２人目の素数さん
26/02/19 15:52:39.44 2UXfmQxQ.net
お見事です
21:１３２人目の素数さん
26/02/19 22:27:23.20 RURzuXnV.net
BC=10、∠BAC=80°、∠ABC=50°の△ABCがある。
辺CA上に点Pを、∠PBC=10°となるようにとる。APの長さを求めよ。
22:イナ
26/02/20 16:32:20.38 Y1I3e3Pq.net
>>21
△ABPにおいて正弦定理よりAB/sin60°=AP/sin40°
∴AP=2ABsin40°/√3=2・5/√3=10√3/3
23:１３２人目の素数さん
26/02/20 23:56:23.56 CdwR8wZM.net
BからACに下ろした垂線の足をMとする
AP=AM+MP=BM*tan(∠ABM)+BM*tan(∠PBM)
=BC*sin(50°){tan(10°)+tan(30°)}=BC*tan(30°)=10/√3
∵
sin(50°){tan(10°)+tan(30°)}
=cos(40°){tan(20°)tan(30°)tan(40°)+tan(30°)} ; ※
=tan(30°)cos(2t){tan(t)tan(2t)+1} ; t=20°
=tan(30°)
※ 公式 tan(3x)=tan(x)tan(π/3+x)tan(π/3-x) にx=10°を代入し変形
24:１３２人目の素数さん
26/02/21 10:35:56.62 13QwXd37.net
AB = 5/cos50° から △ABP に正弦定理
25:１３２人目の素数さん
26/02/23 10:56:25.15 KgyNgdw+.net
>>21
正弦定理を使わない方法
AからBCに下ろした垂線の足をE、AからBPに下ろした垂線の足をFとすると、
四角形BEFAは等脚台形でBE=AF
AP=(2/√3)AF=(2/√3)BE=BC/√3=10/√3
26:１３２人目の素数さん
26/03/04 11:25:28.36 Gw2nKcS2.net
a_{n+1}=(a_n^2+a_n)/n (n=1,2,3,…)
で定まる数列の全ての項が整数となるa_1を全て求めよ。
27:１３２人目の素数さん
26/03/04 12:27:27.36 H6gSwPe0.net
-2, -1, 0, 1
28:１３２人目の素数さん
26/03/04 18:33:19.38 Gw2nKcS2.net
>>27
それに限ることを示せ、という問題です
29:１３２人目の素数さん
26/03/06 00:35:15.80 kUi5mfZJ.net
>>28
ヒントおながいします
30:sage
26/03/07 01:41:07.36 Q19Yv6uU.net
A:=Π[k=1,N]a_{k},B:=Π[k=1,N](a_{k}+1) とすると a_{1}*A*B=N!*A*a_{N+1}
31:１３２人目の素数さん
26/03/07 02:15:16.64 8pWaa2Tz.net
>>30
kwsk
32:sage
26/03/07 14:21:48.69 28w2dLHN.net
A=0とA≠0に分けて、前者は省略。後者なら
a_{1}*(a_{1}+1)*(a_{2}+1)*(a_{3}+1)*...*(a_{N-1}+1)*(a_{N}+1)=N!*a_{N+1} が成立。
N=2,N=3のとき、
a_{1}*(a_{1}+1)*(a_{2}+1)=2*a_{3}
a_{1}*(a_{1}+1)*(a_{2}+1)*(a_{3}+1)=2*a_{3}*(a_{3}+1)=3!*a_{4}
...以下同様。つまり、
a_{1}*(a_{1}+1)=2,a_{n}=n(n≧2)で成立
33:１３２人目の素数さん
26/03/07 22:38:14.67 8pWaa2Tz.net
>>32
いや、そこではなくてそこからどうやって「a_1 ≠ -2,-1,0,1 のときある項が整数とならない」を示す？
示せないけど気づいたこと書いただけ？
34:１３２人目の素数さん
26/03/08 00:10:36.41 JyTWx1S2.net
整数という条件を課すと、各項の値が限定され、いくつかに収束します。
逆に整数という条件を除くと、定まりません。
A=0と繋がるのが、a_{1}=0,-1
A≠0と繋がるのが、a_{1}=-2,1
ということです。
これ以外の値をa_{1}として与えれば、整数でない値がどこかに現れます。
35:１３２人目の素数さん
26/03/08 02:50:07.91 BsPiSII3.net
>>34
なぜ？
各項の値が収束するというのは lim a_n が収束するという意味？
a_{1}*A*B=N!*A*a_{N+1}
から a_{N+1} が収束することが証明できるんですか？
36:１３２人目の素数さん
26/03/08 22:21:58.16 0pebJsQK.net
例えば
「5個の変数a,b,c,d,eがあり、a*b*c*d*e=120 だという。a,b,c,d,eは何か」
では答えは分かりません。
しかし、「0<a<b<c<d<eを満たす整数」 という条件が加われば、(a,b,c,d,e)=(1,2,3,4,5)と答えが定まります。
様々な可能性があったけど、条件が加わることで一意に定まる様子を収束と表現しただけです。
あるkに対し、a_{k}≧a_{k+1} となれば、その後どんどん小さくなります。
a_{k}は正の整数という条件／性質を考えれば、a_{k}≧a_{k+1}はありえません。
従って、a_{k}＜a_{k+1} が言え、上のような解の特定ができます。
37:１３２人目の素数さん
26/03/09 23:36:37.13 cLfFeIbQ.net
>>36
何言ってるかわかりません
証明できたと勘違いしてませんか？
ちゃんと読める解答あげてください
38:１３２人目の素数さん
26/03/10 21:12:12.57 MdT/wf/k.net
確かにもやもやしている部分はあります。
問題ないだろうと思ってはいるのですが取り下げます。
恐らく別のアプローチではスッキリしているのでしょう。
お騒がせしました。
39:１３２人目の素数さん
26/03/11 09:27:54.76 Qn2GaYRr.net
>>26 は出題したひとは解答持ってんの？
40:１３２人目の素数さん
26/03/11 12:38:56.00 xZAUAxlb.net
modで攻めればある程度候補を絞ることはできるけど有限個までは無理だし、
もし出題者っぽい反応がしばらく無かったら勘違いだった説濃厚かもね
41:１３２人目の素数さん
26/03/11 13:56:01.71 TjgLnoZI.net
真剣に考えて考えて考えて後になって「解答ないよ」とかやめてくれよと思う
42:１３２人目の素数さん
26/03/11 19:52:36.84 VkiuewOW.net
もし、m*(m+1)=n! の正整数解が、(m,n)=(1,2),(2,3) のみというのが証明できるなら、いけそう。
次のような関数を考える。
f(n):nがk!で割り切れるが、(k+1)!では割り切れない時、k を返す関数
a_{2}*(a_{2}+1)=2*a_{3}
であるが、右辺のa_{3}は必ず3の倍数
(∵ a_{3}=a_{2}*(a_{2}+1)/2=...=(1/2)a(a+1)(a^2+a+1) ≡ 0 (mod 3) ;a=a_{1} )
右辺にfを作用させると必ず3以上の値が得られるが、左辺にfを作用させると、
上の不定方程式の結論が正しければ2か3。辻褄が合うのは3のみで、a_{3}=3が導かれる。
43:１３２人目の素数さん
26/03/11 21:12:53.84 aE9+BkGP.net
あの…大丈夫？
a_1=n! とでもすれば f(a_2(a_2+1)) の値なんていくらでも大きくなるけど…
44:１３２人目の素数さん
26/03/11 21:48:50.25 VkiuewOW.net
あれ、何やってたんだろう。無しで、。。。
45:１３２人目の素数さん
26/03/11 21:53:50.30 r+aKuv9e.net
>>26
とりあえず、この問題はこっちのスレで解いたら？
46:１３２人目の素数さん
26/03/12 08:11:36.02 gJUMiqsd.net
A≠0の時
a_{1}*(a_{1}+1)*(a_{2}+1)*(a_{3}+1)*...*(a_{N-1}+1)*(a_{N}+1)=N!*a_{N+1}
が成立。これを、
a_{1}*(a_{1}+1)*(a_{2}+1)*(a_{3}+1)*...*(a_{N-1}+1)*{(a_{N}+1)/a_{N+1}}=N!
と変形。
左辺は、N個の相異なる整数と、{(a_{N}+1)/a_{N+1}}の積。
前者は最低でもN!の値を持ち、{(a_{N}+1)/a_{N+1}}はせいぜい1。その積がN!であるなら、
a_{1}*(a_{1}+1)*(a_{2}+1)*(a_{3}+1)*...*(a_{N-1}+1)=N!
(a_{N}+1)/a_{N+1}=1
が成立。これでもやもや感が払拭できたと思います。
47:１３２人目の素数さん
26/03/12 08:16:46.60 gJUMiqsd.net
あ、ダメだ。せいぜい１なのだから、成立させられない。ごめん、また却下
48:１３２人目の素数さん
26/03/12 14:59:47.17 m0BTNce4.net
単発質問スレから
スレタイ：
これどうやって証明するの？
@McDonaldsJapan
公式を発見しました
URLﾘﾝｸ(pbs.twimg.com)
49:１３２人目の素数さん
26/03/12 18:32:33.98 UHzKT73W.net
一杯のコーヒーに無限のこだわり
マクドナルド
50:１３２人目の素数さん
26/03/13 11:32:51.07 T0dmEINP.net
ああそうか
n=0 の項が負の階乗で無限大になるからか
51:１３２人目の素数さん
26/03/13 19:07:46.30 6yO9GigC.net
>>48
33だけなんと読むのかわからない
さあさあ？
52:１３２人目の素数さん
26/03/14 13:13:25.63 fLUvgvNy.net
C^1級実関数f,gに対して、
lim_{x→∞} f(x) = lim_{x→∞} g(x) = 0
であり、
lim_{x→∞} f(x)/g(x) と lim_{x→∞} f’(x)/g’(x) がどちらも存在するとき、
lim_{x→∞} f(x)/g(x) = lim_{x→∞} f’(x)/g’(x)
は成り立つか？
53:１３２人目の素数さん
26/03/14 15:32:21.70 rchekBNM.net
まんま L'Hôpital's rule ちゃうん？
ひっかけ？
54:１３２人目の素数さん
26/03/14 15:35:20.09 Hg2qYqbC.net
私もそう思います。
何か罠があるのか…。
55:１３２人目の素数さん
26/03/14 16:11:07.87 qabZfzsU.net
>>52
AIが言うには
C^1級実関数f,gに対して、
lim_{x→∞} f(x) = lim_{x→∞} g(x) = 0 であり、
lim_{x→∞} f’(x)/g’(x) が存在するとき(Mとおく)、
lim_{x→∞} f(x)/g(x) も存在して M に等しい
lim_{x→∞} f(x) = lim_{x→∞} g(x) = ∞ に置き換えても同じ
56:１３２人目の素数さん
26/03/14 16:25:50.53 qabZfzsU.net
これには 十分大きな x に対して g’(x) ≠ 0 である事も含まれる
つまり f’(x)/g’(x) を数式上で分子分母でキャンセルされた形で計算するのではなく
分子分母それぞれの x での値に対して割り算を行う
57:１３２人目の素数さん
26/03/15 21:02:28.17 MNU020a6.net
>>52
すみません
f’(x)/g’(x)の定義をちゃんと書いていなかったので書きます
g’(a)=0となるaが存在したとしても
f’(a)/g’(a) := lim_{x→a} f’(x)/g’(x)
で定義します
58:１３２人目の素数さん
26/03/15 21:05:32.20 MNU020a6.net
なので、例えばf’(x) = (1+x)sinx、g’(x) = xsinx
の場合でも、g’(a)=0となるaは無限に存在しますが、
この定義の場合
lim_{x→∞} f’(x)/g’(x) = 1
になります
59:１３２人目の素数さん
26/03/15 21:23:50.78 c1kM2zvw.net
高校範囲で、
lim[x→+0] (x^x)sinx = 0
を簡単に証明することはできますか？
言い換えればx^xの極限が1になると分からなくても、有限値になることが言えますか？
60:１３２人目の素数さん
26/03/15 21:28:22.64 ncdy0BTg.net
高校範囲でlim[x→+0]x^x=1は示せるでしょ
61:１３２人目の素数さん
26/03/16 08:02:26.72 Xe5Tz+mw.net
>>60
それを示すのがめんどくさいので、x^xの極限が有限値になることだけでいいから証明できないかと言っています
62:１３２人目の素数さん
26/03/16 09:46:31.59 /jMbZ6mq.net
lim[x→+0] (x^x)sinx = 0 を示すにあたって、
x^x に極限値が存在している必要はない。
単に x^x が有界であればよい。
0＜x＜1/2 のとき 0＜ x^x ＜ 2 である。
実際、0＜x^x は明らか。x^x＜2については背理法を使う。
ある 0＜x＜1/2 に対して 2≦x^x ならば、
両辺を 1/x 乗して 2^{1/x}≦x であり、0＜x＜1/2 により
2＜1/x なので 2^2 ＜ 2^{1/x} ≦ x ＜ 1/2 となって矛盾。
ゆえに、0＜x＜1/2 のとき 0＜x^x ＜ 2 である。
これを踏まえて、0＜x＜1/2 のとき |x^x sin x|≦2|sin x| となるので
lim[x→+0] (x^x)sinx = 0 を得る。
63:１３２人目の素数さん
26/03/16 10:52:46.48 04m1/Itq.net
>>57
その理屈だと f(x)/g(x) についても g(a)=0 を認めてその様な点 a での極限は常に存在する
と仮定する事になるのかな？
64:１３２人目の素数さん
26/03/16 22:21:26.71 14O8ype0.net
>>57,58
そもそも答えを持って出題してるのか疑問だけど
g(a)=0, g'(b)=0が無限に存在しつつ>>52の前提条件を満たす具体例・実用例はあるの？
興味本位で脇道に行っても不毛だったりするよ
65:１３２人目の素数さん
26/03/16 22:23:24.58 hEuiH7tS.net
>>64
>不毛だったりするよ
おまえはハゲだ！と言いたいのですか？
66:１３２人目の素数さん
26/03/16 22:29:35.56 SsZVHOUw.net
ピカールの定理
67:１３２人目の素数さん
26/03/17 20:56:51.27 og/RMSHg.net
>>64
当然答えを持っています
結論としては成り立たない例があります
とある論文が元ネタになってます
68:１３２人目の素数さん
26/03/17 21:04:33.74 YVx0vCf7.net
まあ、あの書き方なら成り立たない感じがするよね。
私はパスするけど。
69:１３２人目の素数さん
26/03/17 21:28:56.64 mLLo9mlz.net
まあロピタルの定理の適用条件でg'(x)≠0は普通に習うからね
70:１３２人目の素数さん
26/03/17 21:29:05.00 aNzqvgVg.net
>>52
>>57
こんな書き方をするのなら、C2級じゃない関数が怪しくなってくる。
これ以上は全く分からんから、深入りはやめとくわ。
71:１３２人目の素数さん
26/03/18 00:23:56.12 N9Ysb3pY.net
>>67
シュトルツの論文は関係ない？
72:１３２人目の素数さん
26/03/18 00:46:14.89 KSvlkUeS.net
いや、Daniel V Tausk 氏の論文か？
あるいは、小林健太先生か。
73:１３２人目の素数さん
26/03/18 00:50:52.57 KSvlkUeS.net
おそらく、小林先生のものかと思われる。
74:１３２人目の素数さん
26/03/18 15:55:07.78 PF5BSRAq.net
ロピタルの話の真相はどうなのよ。
75:１３２人目の素数さん
26/03/18 16:34:17.63 7v2CUGX+.net
>>74
「小林健太 ロピタル」で検索
x->1/xと置き換えたら>>52の反例そのもの
g'(x)≠0 を確かめずに f'/g' を約分したらダメって親切な先生や教科書なら説明あると思うけど
その「完成度が高い反例」になっている
76:１３２人目の素数さん
26/03/18 16:44:16.70 dfHdR0be.net
>>75
これで一件落着ですね。
77:１３２人目の素数さん
26/04/14 09:51:03.33 jucNKLNg.net
nは3以上の整数
a[i](i=1,2,…,n)はどの2つも異なりどの2つも互いに素な正の整数
Π[1≦i<j≦n](a[i]^2+a[j]^2)
は平方数ではないことを示せ
78:１３２人目の素数さん
26/04/14 12:11:25.75 /rkDIMUn.net
n＝2だとピタゴラス数があるのね
79:１３２人目の素数さん
26/04/21 07:37:05.87 ZhxJKZP+.net
>>77
ヒントおながいします
80:１３２人目の素数さん
26/04/23 21:05:16.00 Ds4BiZGPa
詐欺でも何でもない盆暗事象で騒いでるが物価高に苦しむ国民から強奪した金で毎日湯水の如くクソヘリで石油燃やして大騒音まき散らして
住民ヰライラ治安悪化させてる強盗殺人の首魁クソポリ公か゛税金泥棒利権スパイラ儿引き起こしてるだけの話
投資だロマンスだウイ儿スガ‐だのクリックしてパスワード入れて不正取引だのわざわさ゛山に入って救助される税金泥棒同様100%無知なだけ
こうした頭不自由な連中をクソ公務員が利権のネタにして罪だと気づかせないせいでウインなにがした゛のアイホンだのスパイまみれの
北朝鮮人民みたいな知障専用機に嬉しがって大枚はたいてたり知的産業は利権の敵だとして騒音で妨害して壊滅させて超絶テ゛ジ夕ル赤字
クソニだのマネシタだの日本の無能企業なんて無関係の個人が自宅で作ったソフトを著作権侵害のGPL違反で盗んで繋ぎ合わせて売ってるた゛け
献金と天下り癒着のトヨタ不正章男セルシオなんて恥ずかしい車乗りたがるのは税金泥棒無能ポリだけだろうにいい加減日銀に全株手放させて
公金使用禁止してイーロンマスク並にクソ公務員削減して大企業も壊滅させて新陳代謝させるのが日本のためだと気づかないとな
令和の成田闘争頑張ろう! noisｅ.web.fc２.com
81:１３２人目の素数さん
26/05/11 22:34:53.65 Q+rA09fj.net
>>77
n=3のときは、まず二平方恒等式で与式をA^2+B^2の形にする。ピタゴラス数の性質からAまたはBは3の倍数になるはずだから、そこから互いに素であることと矛盾しないか？
82:１３２人目の素数さん
26/05/13 16:44:41.86 09Q3sMJ8.net
ほとんど全ての実数xに対して、
lim[n→∞] 1/(n^2 sin(nx)) = 0
を示してください
(ちなみにlim[n→∞] 1/(n^2 sin(n)) の収束は未解決問題です)
83:１３２人目の素数さん
26/05/13 18:42:33.64 DgATXwy5.net
実数 r に対して、r と整数の差の絶対値として最も小さい値を ||r|| と表記することにする。
実数 x であって x/π の無理数度が2.5以下であるようなものを任意にとる。…(1)
n を正の整数とすると
|sin(nx)| = |sin(π×nx/π)| = sin(π×||nx/π||) > ||nx/π||
となるが、x/π の性質よりある（xのみに依存する）正の定数Cが存在して、最右辺は
> Cn^(-1.5)
と評価できる。ゆえに、
1/|n^2 sin(nx)| < 1/|n^2 × Cn^(-1.5)| → 0 (as n→∞).
ほとんどの実数xは (1) を満たすので、示された。
・参考（無理数度の章参照）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
84:１３２人目の素数さん
26/05/13 18:55:52.17 p3yI3TdP.net
>>83
おー素晴らしいお見事です
想定解はBorel–Cantelliを使いますがなるほど素直に無理数度を使えばいいんですね
85:１３２人目の素数さん
26/05/15 11:50:10.41 Bls+m7nn.net
>>77（スマホなら横倒しで見て）
n=3のとき、二平方恒等式を2回適用すると
(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)
={c^2·(a^2·b^2+b^2·c^2)^2+a^2·(a^2·c^2-b^4)^2}^2
+{a^2·(a^2·b^2+b^2·c^2)^2+c^2·(a^2·c^2-b^4)^2}^2
と整理できる。
これが平方数だと仮定するとピタゴラス数の性質により、整理した式の2項の少なくとも一方は3の倍数である。・・・①
a,b,cは互いに素であるから、全て3の倍数でないか1つだけ3の倍数であるが、これは①に矛盾する。
これ合ってる？
86:１３２人目の素数さん
26/05/15 11:50:54.48 Bls+m7nn.net
age
87:１３２人目の素数さん
26/05/15 12:07:39.29 Bls+m7nn.net
整理した式の2項目の真ん中のプラスはマイナスの間違いね。
88:１３２人目の素数さん
26/07/05 21:02:24.53 6cHU9mYf.net
自然数nに対して、集合
{(a,b)∈Z^2 | 21^n = a^2 + 5b^2}
の要素数を求めよ
89:１３２人目の素数さん
26/07/27 14:29:22.15 p/Tmh0uD.net
1, 2, 3, ..., 100の番号のついた100個の箱があり、各箱には番号と同じ数だけの玉が入っている。
1回の操作で次のことを行う。
「いくつかの箱を選び、それら全てから同数の玉を取り出す」
例えば、90, 92, 94, 96, 98を選び、各々から80個ずつ取り出すと、残りの個数は、
1, 2, ..., 89, 10, 91, 12, 93, 14, 95, 16, 97, 18, 99, 100
となる。
問、全ての箱を空にするまでにかかる最短操作は何回か。
90:１３２人目の素数さん
26/07/27 14:37:42.73 vfURuBd7.net
2進数を利用？
91:１３２人目の素数さん
26/07/27 14:39:20.53 CUl0Q9Iv.net
>>89
8
92:１３２人目の素数さん
26/07/27 17:05:59.81 6IuwRBmM.net
7回じゃないか？
93:１３２人目の素数さん
26/07/27 17:18:02.86 vfURuBd7.net
>>92
私もそう思う。
94:１３２人目の素数さん
26/07/27 17:18:26.79 vfURuBd7.net
2進法で
95:１３２人目の素数さん
26/07/27 17:54:21.46 p/Tmh0uD.net
>>92
正解です。
96:１３２人目の素数さん
26/07/28 08:35:45.61 Lh0hv0WU.net
6回では無理の証明はどうやるの？
97:１３２人目の素数さん
26/07/28 11:07:25.46 5SFX2igv.net
>>96
それは少し気になるよね。
98:１３２人目の素数さん
26/07/28 11:23:33.21 GiVUy3Dn.net
n回めに取り去るか取り去らないかで表現出来る数の種類が最大2^nとかそんな感じですか？
99:１３２人目の素数さん
26/07/29 02:58:59.64 6bWpvCfW.net
もし６回で可能だとする。k回目の引き算とl回目の引き算で引かれる数がdとするとk回目の引き算をd、l回目の引き算を2dにしてもとの引き算でどちらか片方の引き算に参加してるものはk回目の引き算だけに参加させて２回の引き算両方に参加してるものはl回目の引き算一回だけに参加させるように変更する。この作業をくりかえしてすべての回数の引き算で引かれる数はすべて相異なるとしてよい。よってある６元集合 F が存在して任意の1≦n≦100 にたいしてFの部分集合Aで n = Σ[k∈A]k となるものがとれないといけないが Σ[k∈A]k の形で表せる集合は高々64個しかない。
100:１３２人目の素数さん
26/08/02 15:39:32.77 UjtwUYTN.net
自然数nに対して、1～nまでの自然数を2グループに分ける。
ただし、同じグループに属する異なる2数の和は平方数ではない。
たとえば、n=6の場合、
{1, 4, 6}
{2, 3, 5}
とすれば、条件をみたす。
問、nとしてありうる最大の自然数は何か。
101:１３２人目の素数さん
26/08/02 15:54:17.21 GXGxhq1q.net
とりあえずAIにかけてみるという、ゲスな癖が身につきましたw
102:１３２人目の素数さん
26/08/02 16:00:18.88 wY2x5Orz.net
>>100
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
賞金100ドルの未解決問題
2016年にコンピュータによる総当たりで解かれた
103:１３２人目の素数さん
26/08/02 16:15:44.80 10fry8Wr.net
下手に考えだすよりもゲスな癖で大正解、なところが面白いという問題かな？
104:１３２人目の素数さん
26/08/02 23:34:00.50 lp5n14LD.net
>>102の問題は
「同じ集合の異なる3数の組はピタゴラス数ではない」
で、解は7824
>>100の問題は
「ピタゴラス数の小さい方から2つは異なる集合」
だけでよいので
解はこれよりも小さくなる
nを40まで増やすと
{9, 12, 16, 30, 40}
の平方数成立の関係が5角形になり
5つの数を2つの集合に分けられなくなる
よって、最大のnは39
105:１３２人目の素数さん
26/08/02 23:49:47.52 YsmxNOSW.net
>>104
本当に合ってる？
106:１３２人目の素数さん
26/08/03 00:44:02.25 lyTSoiHf.net
すくなくとも
6,19,30
が同様の性質もつから無理やん
「３９以下では不可能」
の証明やってなかったんやろな
107:１３２人目の素数さん
26/08/03 06:08:38.45 d1MPTzWz.net
1と3は同じグループではない
1と8は同じグループではない
1と15は同じグループではない
3と6は同じグループではない
よって
{1, 6}
{3, 8, 15}
6と10は同じグループではない
15と10は同じグループではない
すると10はどちらのグループにも属さないので矛盾
従ってn≧15は不可
108:１３２人目の素数さん
26/08/03 10:12:08.51 lyTSoiHf.net
1-3-6-10-15 ですか
109:１３２人目の素数さん
26/08/03 10:15:39.60 PdaOrL9T.net
>>108
それが>>104の最小五角形にあたるのだろう、おそらく。
110:１３２人目の素数さん
26/08/03 11:03:39.40 lyTSoiHf.net
{1,2,...,14}を二つの集合A,BにわけてAのどの２元の和も平方数でなく、Bのどの２元の和も平方数でないようにできるか？
はい、分けることができます。以下のように集合 A と集合 B 割することで、どちらの集合でも「どの2つの元の和も平方数（4, 9, 16, 25など）にならない」という条件を満たすことができます。
分割の具体例集合
A = {1, 2, 4, 6, 9, 11, 13} B = {3, 5, 7, 8, 10, 12, 14}
111:１３２人目の素数さん
26/08/04 08:26:47.69 XjjhIAg/.net
集合{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}の部分集合A={a_1, a_2, ..., a_n}を考える
ただし、a_1＜a_2＜...＜a_nとする
nは7以下
このとき、S(A)=a_n - a_(n-1) + a_(n-2) - … ± a_1を考える
つまり、大きい順にプラスマイナスを交互につけて和を求める
たとえば、
A={1, 3, 5, 7}のとき、S(A)=7-5+3-1=4
A={1, 2, 3, 5, 6}のとき、S(A)=6-5+3-2+1=3
となる
ただし、Aが空集合のときはS(A)=0とする
問、全てのAについてS(A)を求めて、その総和を出せ（エレガントに）
112:１３２人目の素数さん
26/08/04 10:25:34.44 DgSxasw0.net
最大の数以外は＋と－の回数が等しいから
総和をとると相殺される
総和は 7×2^(7－1)
113:１３２人目の素数さん
26/08/04 11:12:28.26 XjjhIAg/.net
お見事です