25/12/26 09:53:18.01 eWXA/QRr.net
R^nからR^nへの写像fを考える
R^nの基底b1,…,bnに対して
f(b1),…,f(bn)がR^nで、
任意のc∈R v,w∈R^nに対して
f(v+w)=f(v)+f(w)
f(cv)=cf(v)
とする つまり線形写像
さて、これだけでfは線形同型写像、
つまり線形な逆写像が存在する
といえますか？
いえませんよ、というのが答え
つまり
「c1f(b1)+…+cnf(bn)=0」 ＆「c1=…=cn=0ではない」
というc1､…､cnが存在する場合、ダメ
なぜならf(c1b1+…＋cnbn)=c1f(b1)+…+cnf(bn)で
c1=…=cn=0ではない、ならば、c1b1+…＋cnbnは0ベクトルでないから
0ベクトルでないものが0ベクトルと同じ行先を持つなら
単射でないのだから、逆写像は持たない
fが単射になるのはf(b1),…,f(bn)が線形独立のときだけ
そしてR^nの場合、fが単射なら、実は全射になる
したがって、fの逆写像が存在する
だからf(b1),…,f(bn)の線形独立性を確認すればいい そういう話
（実はうまくやれば、線形独立の場合には逆写像を構成できるオマケつき）
たかがこれだけの話なのに、
Homとかなんとかいって
わけのわからないこといいまくった挙句
結局肝心なことは何もいえなかった
ってヤバいよな 人として