25/12/25 10:48:11.72 ZCHXd3Tz.net
>>335-337
Vを実数体R上の線型空間 R^n の基底の全体からなる空間とする
Wを体R上の線型空間 R^n の零行列 O_n を除く任意の点に写像する行列全体からなる空間とする
任意に体上の線型空間 R^n の基底 b∈V を1つ取る
このとき、任意の A∈W に対して或る B∈W が一意に存在して Ab＝B である
また、任意の B∈W に対して或る A∈W が一意に存在して Ab＝B である
よって、WからWへの全単射が一意に存在する
Wの定義から、Wは体R上WからWへの線型写像が存在し、Wは体R上の線型空間である
Vの基底bは任意に選んでいたから、体R上WからWへの線型写像
の全体からなる空間を Hom_g(W,W) とすれば、
Hom_g(W,W) は体R上線型独立でありR-線型同型である
Wの定義から、Hom_g(W,W) は体R上の線型空間 R^n の基底から
体R上の線型空間 R^n への体R上零行列を除く任意の点に
写像する一次変換全体からなる空間即ち体R上の一般線型群 GL_n(R) と見なせて、
Hom_g(W,W) のWを GL_n(R) で置き換えて同様な議論をすれば、
体R上の一般線形群 GL_n(R)) は体R上線型独立でありR-線型同型である
書き直すと、こんな感じ
現在の線型代数と昔の線型代数では、議論の進め方が違う