25/11/12 15:53:28.61 qgW05+Vq.net
「1＋1＝2」の厳密な証明が非常に難しい理由。
それは、ペアノの公理系を仮定しないからである。
ペアノの公理系を仮定すれば公理より自明。証明すべきことではなくなる。
一応、ペアノによる自然数の定義。
・1は自然数。
・自然数の後者は自然数。（「後者」は特に定義しない）
・上2つで定まる数のみが自然数。
・どの自然数にもその後者が存在する。
・2個の自然数を取ったとき、両者の後者が等しいのは元の2個の自然数が等しいときのみ。
簡単に言うと、リンゴ1個から出発して、リンゴを1個ずつ追加していったときに、
リンゴの「個数」となるのが自然数である。
（ペアノオリジナルの自然数定義が0、1、2、3、・・・なのか1、2、3、・・・なのか知らないが、一応現在の文部科学省の方針に従い自然数は1からとしておく）
そこで「1＋1＝2」という主張を見ると、最初の「1」は「1」という自然数である。
次に演算として記述される「＋1」は、ペアノ公理系における後者写像に相当する。
そして新たに生成される「2」は、「1」の後者である自然数にすぎない。
（なぜ「2」という文字を使うのか、等の人文科学的な関心についてはここでは触れない）
もうお分かりのように、ペアノの公理系さえ仮定すれば、「1＋1＝2」は、
証明すべき命題ではなく、既定の約束事である。
さあここからが本質。もし「ペアノの公理系」を仮定しなければ数学はどうなるか。
もっと基礎論的な事柄から「1＋1＝2」を構成する必要が生じる。
ペアノに取って代わる一般的で新たな公理系を採用した数学が、
果たして「1＋1＝2」を自明とするか、その保証は無い。