25/11/02 01:06:46.59 BophX2kU.net
平方剰余の相互法則について
2:１３２人目の素数さん
25/11/02 02:29:12.34 1g2VqmK9.net
250種類の証明があるってマジ？
3:１３２人目の素数さん
25/11/02 04:26:38.95 aEJ8h2v2.net
働け馬鹿者
4:１３２人目の素数さん
25/11/06 08:37:55.33 fFV/WnYA.net
p, q: 奇素数
K = Q, L = Q(√q)
pZがLで完全分解
⇔ pがO_Lで可約
⇔ x^2 - qがZ/pZ上可約
⇔ (q/p) = 1
これは純粋に環論の性質
一方、
q* = (-1)^(q-1)/2 q
L' = Q(√q*)
C_K: Kのイデール類群
pZがL'で完全分解
⇔ p∈K^×→C_K/N_L'/K(C_L')→Gal(L'/K)の像が1
⇔ p∈F_q^×/(F_q^×)^2
⇔ (p/q) = 1
上と合わせると、
(q*/p) = 1 ⇔ (p/q) = 1
5:１３２人目の素数さん
25/11/06 19:57:51.15 0JXWfEhS.net
すばらしい
6:１３２人目の素数さん
25/11/07 15:06:10.47 EiqN0Y3k.net
a を有理整数とし、ｐ、ｑを有理素数
とするとき、二次式 x^2-a が
F_p で分解するかどうかと、
F_q で分解するかどうかの間には
どのような関係があるか。
つまり [a/p] と [a/q] の間の関係。
[・／・]はルジャンドル記号。
7:１３２人目の素数さん
25/11/08 22:54:10.67 Io1bP1bZ.net
L = Q(√d)
pが完全分解
⇔ (p) = P1 P2
⇔ ∀x∈O_L, x^p ≡ x (mod Pi)
√d^(p-1) √d = d^(p-1)/2 √d ≡ (d/p) √p (mod Pi)なので
⇔ (d/p) = 1
なるほどなぁ・・・
8:１３２人目の素数さん
25/11/08 22:54:13.18 R4mDxJGx.net
L = Q(√d)
pが完全分解
⇔ (p) = P1 P2
⇔ ∀x∈O_L, x^p ≡ x (mod Pi)
√d^(p-1) √d = d^(p-1)/2 √d ≡ (d/p) √p (mod Pi)なので
⇔ (d/p) = 1
なるほどなぁ・・・
9:１３２人目の素数さん
25/11/10 01:55:08.37 ZpcA4zMA.net
h(a) := (a/p) (Legendre symbol)
H(a) := Σ h(x)exp(-2πiax/p)
H(ab)
= Σ h(x)exp(-2πiabx/p)
= Σ h(b^(-1)bx)exp(-2πiabx/p)
= h(b^(-1)) Σ h(bx)exp(-2πiabx/p)
= h(b) Σ h(x)exp(-2πiax/p)
= h(b) H(a)
10:１３２人目の素数さん
25/11/10 01:59:07.91 7npihxgE.net
H(a^(-1))
= Σ h(x)exp(-2πia^(-1)x/p)
= Σ h(ax)exp(-2πix/p)
= h(a) H(1)
11:１３２人目の素数さん
25/11/10 02:42:09.70 kN7dixgp.net
H(-1)^2 = p*
H(-1)^(q-1) ≡ (p*)^(q-1)/2 ≡ (p*/q) (mod q)
H(-1)^(q+1)
≡ H(-1)^(p-1) H(-1)^2
≡ (p*/q)H(-1)^2
≡ (p*/q)p* (mod q)
H(-1)^q
≡ Σ(x/p) exp(2πiqx/p)
≡ H(-q)
≡ (q/p) H(-1) (mod q)
∴ (p*/q)p* ≡ (q/p)p* (mod q)
∴ (p*/q) ≡ (q/p) (mod q)
∴ (p*/q) = (q/p)
12:１３２人目の素数さん
25/11/10 12:14:46.97 aHbW1/8X.net
それはガウス和を用いた平方剰余の
相互法則の証明である。
では同じ手口で立方剰余、四乗剰余、
五乗剰余などの高次剰余の法則が
得られるのだろうか。
13:１３２人目の素数さん
25/11/10 21:04:57.61 UCVj4EMa.net
できらぁ！
14:１３２人目の素数さん
25/11/10 21:26:15.24 4qwhD/95.net
ルジャンドル記号のかわりにexp(2πik/n)に値を取る指標を使うのだそうだ
15:１３２人目の素数さん
25/11/11 06:02:14.41 yJLrklHc.net
そして、有限アーベル群の指標の代わりに、アデール代数群の既約表現を使うのが保型表現だ
16:１３２人目の素数さん
25/11/11 15:34:43.70 Xciw5HvP.net
やってみい。
17:１３２人目の素数さん
25/11/15 13:27:48.77 nOE4hTfA.net
高次冪剰余の法則はどの程度まで
完全に掌握されているのだろうか？
すべて類体論でもって解決済みだ
といえるのだろうか？