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ほいよ
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チャーン類(特性類)と曲率の関係
2023/01/23に公開
2023/10/24
特性類とは多様体(M)に対して計量のとりかた、変換に対して不変になる多項式の係数として定義され、コホモロジー群
H∗(M,A)H ∗ (M,A)
(Aは多項式の係数の体,*は任意の階数)の要素としても特徴づけられます。
係数となる体の種類に応じてEuler類、ポントリャーギン類(実数)、Stiefel-Whitney類,todd類などのものが知られています。
その中でもチャーン類は曲率形式と行列式を使って定義されます。
参考書で挙げた本では
自然性
直和(Whitney和)に対して積となること
などの公理と射影多様体からの構成的な方法で特性類とその値を定義、計算しているものが多いですが、曲率と不変多項式(行列式)を使った定義のほうがより直感的に感じました。
なぜその定義で特性類の性質を満たせるかは式を追って納得しないといけません。
前提知識
微分
群、環の定義
リー群、リー環の定義
複素関数の性質について
微分形式
コホモロジー群と蛇の補題
行列式の各項が対称式となる性質
あっさりした導入
略す
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チャーン類
数学では、特に代数トポロジーや微分位相幾何学や代数幾何学では、チャーン類(Chern classes)は複素ベクトル束に付随する特性類である。
チャーン類は、Shiing-Shen Chern (1946) で導入された。
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陳省身（ちん しょうしん、英: Shiing-Shen Chern 北京官話: [tʂʰən.ɕiŋ.ʂən]、1911年10月28日 - 2004年12月3日）は中華民国、アメリカの数学者。エリ・カルタンを継ぐ20世紀を代表する幾何学者。
教え子に野水克己やシン・トゥン・ヤウ（丘成桐）がいる
研究
ガウス・ボンネの定理の非常に簡単な証明やチャーン類の発見、チャーン・ヴェイユ理論、チャーン・サイモンズ理論（近年数理物理学で特に重要な役割を果たしている）でよく知られている。