25/11/08 18:10:44.30 P9qVEF++.net
>>523
ここは中高一貫校生も来る可能性があるから
補足をば
(参考)
URLﾘﾝｸ(www2.yukawa.kyoto-u.ac.jp)
数理論理学入門
高崎金久（京都大学）
URLﾘﾝｸ(www2.yukawa.kyoto-u.ac.jp)
V. 述語論理の意味論
1. 述語論理は何を記号化したものか
1.1 述語論理の特徴
命題論理では「命題」（あるいはその記号化である「命題記号」） が基本的な構成要素であった．命題論理が得意とするのは， 論理回路のように，記述対象が有限個の状態のみをもち， しかもそれらの状態が有限個の命題変数の真理値割り当て（つまりビット列） として表現できる場合である．
命題論理は論理回路などよりも複雑な対象を記述する場合には 力不足である．たとえば，対象が無限に多くの状態をもつか， あるいは，有限個であってもその上限が不定であるような場合を 考えよう．そのような対象を命題論理の枠組で記述しようとすれば， おそらく無限個の命題変数とそれらに関する無限個の論理式を 同時に扱うことが必要になるだろう．これは命題論理の通常の 枠組から逸脱している．さらに，命題論理には対象そのものを 記述する要素が含まれておらず，対象の状態を命題変数でいわば 「間接的に」記述することしかできない（「箱とボール」の パズルを思い出されたい）．
命題の代わりに「述語」を基礎にするのが述語論理である． 述語は変項をもち，変項に代入されるものによって真理値が 決まるもので，対象の性質や対象間の関係を表現している． 変項に代入するものを構成するため「変数」・「定数」・ 「函数」・「演算」など（いずれも実体というよりは 単なる記号である）が用意されるが， これらは記述する対象や対象に関する函数・演算などを 表現している．述語論理の論理式はこのような述語から 構成される．以上のようなものによって命題に内部構造 を持ち込むことができる．
さらに，論理記号として新たに「量化子」（「限量子」 ともいう）が導入されることも大きな特徴である． 量化子は記述対象を指す変数（「対象変数」）を 修飾する記号で，すべての対象に対して主張が 成立することを意味する「全称量化子」と， 少なくとも一つの対象に対して主張が成立する ことを意味する「特称量化子」の二種類がある． 対象変数に関するこの種の論理記号はこの二つ以外にも 考えられているが（たとえば，「様相論理」では「様相記号」 と呼ばれるものが新たに導入される）， 数学の定理などを定式化する際にはこの二種類の量化子で 十分なことが経験上わかっている．
1.2 述語とは何か