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信州大
Algebraic Topology
1個の元から成る体
Soulé の [Sou04] によると, 1個の元から成る体 F1 の存在は, 数多くの数学者が夢想したことのようである。その論文の最初の節は, F1 の歴史について書かれている。
F1 を考えるというアイデアは, 対称群と線形群を統一して扱いたい, という要望に基づくものだそうだ。n次対称群を GLn(F1) や SLn(F1) と考えたり, n個の元からなる集合を F1 上のn次元射影空間, (n+1)個の元から成る基点付き集合を F1 上のn次元 affine 空間と考えると都合の良いことがあるからである。
最初に考えたのは Tits だろうか。Soulé の論文には Tits の [Tit57] や Manin の [Man95] などの文献が挙げられている。当然であるが, 他にも有限体上の general linear group と対称群の類似に気が付いた人はいるようである。Borger の [Bor] では, R. Steinberg の [Ste51] が上げられている。確かに§2の最後にそれらしい記述がある。Lescot [Les09] は, Zhu の2000年の preprint でのアイデアとの比較が行なわれている。Lorscheid [Lor16] の解説によると, より一般に Weyl群を Lie 群 (代数群) の F1-point と見るべきのようである。
この neverendingbooks の post では, Riemann予想が motivation として書いてある。そこから link の張られている Connes と Consani と Marcolli の "Fun with F1" [CCM09] にあるように, noncommutative geometry のアイデアが使えるというのは興味深い。
もちろんまだ発展途上の分野であり, 様々なアイデアが提案されている段階, だと思う。 それらの関係については, López Peña と Lorscheid の [LL11], そして Lorscheid の [Lor16] の part I を見るとよいかもしれない。Le Bruyn の lecture note [Le 16] も, 歴史的なことにも触れてあって面白い。
体があれば, 様々なことができる。最も基本的なのは, 線形代数だろうか。 このpostでは, “F1n上のlinear algebra”について述べられている。 元になっているのは, Kapranov と Smirnov の未発表論文 [KS] らしいが。F1上の線形代数については, Thas の [Tha16] の§4でもまとめられている。
GLn(F1) を n次対称群と解釈するということは, braid群 を F1 を使ってどう表わすかというのは, 自然な疑問である。 このneverendingbooksのpostによると, GLn(F1[t]) が答えのようである。
線形代数の次は, 体上の可換環や associative algebra, そして可換環から代数幾何学を構築することだろう。 F1 上の代数幾何学の類似を geometry over F1 などと言ったりする。
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