25/10/09 11:00:24.81 w4DvmWyE.net
C/Rは二次拡大だから、非自明な中間体はない
したがって、そのようなKがもし存在するならRを含まないだろう
3:１３２人目の素数さん
25/10/09 11:54:18.50 7M2AbKSW.net
>>2
それを聞いてるんだと思いますよ
Rの部分体SでR/Sが有限拡大だってものを
4:１３２人目の素数さん
25/10/09 12:25:09.02 g/rHQXi6.net
Rの自己同型は自明のみだが
（演習）
5:１３２人目の素数さん
25/10/09 14:06:02.60 UhdP3lzD.net
>>4
なるほど
もし存在したらC/(K∩R)にガロア理論使うと
Gal(C/K∩R)/Gal(C/R)～Aut(R/K∩R) = {id}
でおかしなことになるのか
6:１３２人目の素数さん
25/10/09 14:12:38.85 9EM5taEt.net
R/Kが正規拡大とは限らない
7:１３２人目の素数さん
25/10/10 10:43:18.05 yQyjZawx.net
K＝代数的数体の場合もC/Kは超越拡大
8:１３２人目の素数さん
25/10/10 11:16:41.01 Y6Unwq+h.net
>>7
まあ、そりゃそうでしょう
9:１３２人目の素数さん
25/10/10 11:25:06.48 lwgzjq1Z.net
完備アルキメデス付値体の一意性？
10:１３２人目の素数さん
25/10/10 22:29:52.90 LUMhNgm4.net
あてずっぽう？
11:１３２人目の素数さん
25/10/11 15:55:48.20 L15Zr5MH.net
あげ
12:１３２人目の素数さん
25/10/15 00:29:01.40 Z/tTgvFn.net
KがQにある超越数Tを添加した体Q[T]だと
どうなる？
13:１３２人目の素数さん
25/10/15 04:18:24.08 tcMR1B0x.net
CはQ上超越次数無限大
14:１３２人目の素数さん
25/10/15 23:41:17.70 8DQ91OUh.net
Qの拡大のうちC未満のものに、ツォルンすればいいんじゃないの
15:１３２人目の素数さん
25/10/15 23:42:13.29 8DQ91OUh.net
QじゃなくてQ(√-1)か
16:１３２人目の素数さん
25/10/16 01:47:59.02 Z50uUADD.net
ℂ/ℚ の中間体 ℂ⊃L⊃K⊃ℚ を L/K が有限次 Galois 拡大であるものを選んでおく。このとき制限写像の引き起こす準同型 π:Gal(ℂ/K ) → Gal(L/K ) は全射で kerπ = G、M = ℂ^G ( = M の固定体) とすれば ℂ/M は有限次 Galois 拡大で Gal(ℂ/K ) は Gal(L/K ) と同型になる....ような気がする。
17:１３２人目の素数さん
25/10/18 19:07:35.15 kTre2FiS.net
K=Cとすれば、C/Kは有限次拡大になる。
18:１３２人目の素数さん
25/10/19 01:48:04.12 7aCWN8L2.net
KとしてQにすべての超越数を添加した
体を考えたらどうだろうか。
19:１３２人目の素数さん
25/10/19 04:19:53.37 YxzNpmZ5.net
K = Q(√i)以上C未満の極大の中間体（ツォルンの補題から取れる）としても、C/Kが代数拡大とは限らないな
20:１３２人目の素数さん
25/10/19 05:46:12.93 niq5zWsN.net
うむ
ツォルンで言えるのはC未満の極大の中間体の存在だけだから拡大次数を含む具体的なことは何も言えない
21:１３２人目の素数さん
25/10/19 17:28:34.16 JylqA1F5.net
たしかに
22:１３２人目の素数さん
25/10/19 21:31:21.11 aCqQQ2NI.net
ℂ/ℚ の超越基底 X とその元 x∈X を選んで Y = X ＼{x} とする。
K = (ℚ(Y) の代数的閉包) = { c∈ℂ; c は ℚ(Y) 上代数的 }
とするとき
(1) x は K 上超越元、とくに K(x) は K 上の一変数有理関数体
(2) ℂ/K(x) は代数拡大
になるのではなかろうか？そしたら結構 Gal(ℂ/K(x)) はでかい群になりそうだけど。
23:１３２人目の素数さん
25/11/16 02:19:59.14 P/xiN0gxn
存在するけど構成できない奴だな