25/10/23 23:33:57.63 K1yMAAe4.net
>>703
(引用開始)
>無限公理なしの場合、無限集合Nは存在せず
仮にそれが正しいとしたら、ZFから無限集合の存在とその否定の両方が証明できる、すなわちZFが矛盾していることになる
(引用終り)
違うよ
「ラッセルのパラドックス」（下記）は
”なんでも無制限に集合”と 素朴に考える 『無制限の内包公理』が良くないってことだね
よって、その対策たる『公理的集合論』においては
厳しく集合の範囲を制限したのです
基本的には、『公理的集合論』においては、”必要最小限の集合に制限する”（→余計な集合を許すとパラドックスが起きかねないから）
さて、ペアノ公理で 有限の自然数nの後者関数S(n)＝n+1において これをずっと続ければ
いずれ 有限の任意値Ｍを超えることは自明だが
しかし、無限公理がなければ、N=｛0,1,2,3,・・・｝をもって Nは無限集合なり～！ としてはいけない
N=｛0,1,2,3,・・・｝を考えることはできるが、それは ”クラス”としてだ
なんらかの無限公理がなければ、 ”クラス”→”集合”としてはいけない！
（無限公理が他の公理から独立であって、他の公理から導けないことは 既知だ）■
(参考)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ラッセルのパラドックス
素朴集合論において、自身を要素として持たない集合全体からなる集合の存在を認めると矛盾が導かれるというパラドックス
このパラドックスは、古典述語論理上の理論として形式化された無制限の内包公理を持つ素朴集合論や、直観主義論理上の素朴集合論においても生じる
矛盾の解消
公理的集合論によって何をもって集合とするかについての形式的な整備が進められ、素朴（だが超越的）な
R の構成を許容しない体系が構築された。
いかなる形の集合が存在するかを公理によって規定する
集合論の公理は通常の数学を集合論の上で展開するために十分なだけの集合の存在を保証しつつ、パラドックスを発生させる集合は構成できないように慎重に設定する必要がある。
1.公理的集合論による解消[注 1]
具体的には内包公理を次の分出公理に弱める（ツェルメロによる版）