25/10/29 01:34:56.29 pgLS+PjN.net
>整域は言い過ぎた。
>>23の定義の体は、乗法の交換則を満たさないので可換環でなく、さらに加法の交換則・分配則を満たさないので環でもない。一方整域は可換環。
そのためゼロ因子が0に限られるという整域固有の性質を持ちながら整域でない。
30:１３２人目の素数さん
25/10/29 11:09:14.17 kQqhglx9.net
a≠0でb≠0なら定義からaとbは考えている乗法群の元であるので、
その乗法の結果であるa・bもまた乗法群の元になるから0ではない。
つまりその「体」の中ではa≠0かつb≠0 ⇒ a・b≠0がいえる。
対偶をとるとa・b=0であるならばa=0またはb=0でなければならない。
そこで b≠0 のときに a・b=0 となるのは a=0 の場合に限られる。
よって a=0 かつ b≠0 ならば a・b=0 であること
つまり x≠0 ならば 0・x = 0である。
同様にして x≠0 ならば x・0 = 0も示せる。
あとは 0・0 = 0 を示すことが残っている。
31:１３２人目の素数さん
25/10/29 11:46:11.82 pgLS+PjN.net
>>30
>そこで b≠0 のときに a・b=0 となるのは a=0 の場合に限られる。
から
>よって a=0 かつ b≠0 ならば a・b=0 であること
が言えるのはなぜ？
32:１３２人目の素数さん
25/10/30 10:19:48.16 uOmkkrB1.net
やり直してみよう。
ｂを任意の非零要素としてc = 0・bを考える。
もしもｃ≠0 とすると、
ｃに右側から b の乗法での逆を乗じると
c b^{-1}=(0・b)・b^{-1} =0 ・(b・b^{-1}) = 0・e だが、
e が体の中の乗法についても単位元であるとすると0・e = 0
でなければならない。
しかしc b^{-1}は非零要素同士の乗法群での積なので
非零なので矛盾.よってｃ＝0でなければならない。
つまりb≠0ならば0・b = 0である.
33:１３２人目の素数さん
25/10/30 16:48:23.24 xd0a59UB.net
>>23
その定義だと体の乗法について結合則が成立してるとは言えない（∵乗法群の元a,bについて(0・a)・b=0・(a・b)が言えない）から、その定義も要るんじゃない？
34:１３２人目の素数さん
25/11/01 08:28:54.26 VFjaEiiI.net
32の証明には、乗法群（0を除外した乗法
だけしか使っていない）の性質（結合則、
逆元の存在、逆元の定義）と、
乗法群の単位元eが「体」の乗法（0も含めて）
でも単位元であるという仮定しか使っていない。
35:１３２人目の素数さん
25/11/01 09:20:41.57 Um2AVKRG.net
>(0・b)・b^{-1} =0 ・(b・b^{-1})
は0を除外しない乗法演算の結合則を仮定しない限り言えない
36:１３２人目の素数さん
25/11/02 23:06:06.19 PzvJeOOq.net
そういわれればそうだねえ。
37:１３２人目の素数さん
25/11/04 04:39:16.40 IZFeoNdw.net
0・0 = z ≠0 と仮定してみると
0・0 = z にz≠0の逆元z^{-1} ≠0を右から乗じると
体の中では0も含めた乗法の結合則が成り立つとして
e = z・z^{-1} = (0・0)・z^{-1} = 0・(0・z^{-1}) = 0・0
つまり 0・0=e になる。
よって0・0≠0であるならば0・0=eである。
例として要素が2つの体 K = {0，e} を考えて0・0=eとする。
加算の表は：0＋0 = 0，0＋e = e，e＋0 = e，e＋e = 0
乗算の表は：0・0 = e，0・e = 0，e・0 = 0，e・e = e
加算の逆元：-0 = 0, -e = e,
乗算の逆元：e^{-1}=e, さらにこの場合は 0^{-1}=0 である。
38:１３２人目の素数さん
25/11/04 07:45:15.49 Afdq/ab6.net
0・(0・z^{-1}) = 0・0
と
0・0 = z ≠0
は矛盾
39:１３２人目の素数さん
25/11/04 07:57:05.02 Afdq/ab6.net
>>38は取り下げ
>0・0=e
は
>加法の単位元（零元）以外の元について乗法群になっている
すなわち0に乗法逆元が存在しないことと矛盾する
40:１３２人目の素数さん
25/11/04 07:58:42.65 Afdq/ab6.net
>よって0・0≠0であるならば0・0=eである。
仮定から矛盾が導かれたから0・0=0
41:１３２人目の素数さん
25/11/04 10:56:37.88 IZFeoNdw.net
｜すなわち0に乗法逆元が存在しないことと
｜矛盾する
0に対しては乗法逆元の存在は保証されない
だけだ。「体から0を除いたF^{ｘ｝が乗法に
ついての群になっている」というは、
体の中での0についての乗法逆元のあるなし
については何も言っていない。
どうやら体に異なる要素が3つ以上あれば、
0・0＝0 とならざるを得ないようだが。
0とeの2元しか無い場合はそうでなくても
良いように思われる。元が2つしかない
場合は、結果的に0の逆元を0としても
特に矛盾が無いようだ。
42:１３２人目の素数さん
25/11/04 11:22:34.80 IZFeoNdw.net
ちなみにe+e=0だから、もしもこれが
体であるならば、その標数は2という
ことになる。
43:１３２人目の素数さん
25/11/04 11:24:02.12 Afdq/ab6.net
>0に対しては乗法逆元の存在は保証されないだけだ
そうだよ
だから ￢∀x(0・x=0) を満たす算術を持つ体系が存在してもよい、が、それだけのことだろう
44:１３２人目の素数さん
25/11/04 11:30:45.26 Afdq/ab6.net
分配則成立を仮定。
e+e=0・0+0・0=0・(0+0)=0・0=e で矛盾だから分配則は不成立。
45:１３２人目の素数さん
25/11/04 11:31:54.42 Afdq/ab6.net
>体であるならば
体の公理を満たさない
46:１３２人目の素数さん
25/11/04 19:04:36.59 IZFeoNdw.net
なるほど分配率を満たすためには
0・0＝0でなければならないのか。
47:１３２人目の素数さん
25/11/05 20:34:15.52 V9npVrrK.net
分配法則を仮定しないと通常の体以外が
混ざってしまうことがわかったな。
48:１３２人目の素数さん
25/11/06 01:06:18.38 rMwAdaM8.net
まあ分配則がなければ関連のない2つの演算が入ってるだけだしね
49:１３２人目の素数さん
25/11/08 10:57:28.58 cnKx4KrW.net
加減算、乗除算以外の第三の演算で、
それが加減算・乗算の組み合わせでは
実現できないようなものとして面白い
ものはあるだろうか？
また、通常の加減算をA、通常の乗除算をＢ、
としたとき通常とは異なる乗除算Ｂ’で
ＡとＢの組み合わせでも体になるし、
ＡとＢ’の組み合わせでも体になる
という変なものはあるか。