25/08/28 08:19:29.10 K2+Yg1Jt.net
働け
3:１３２人目の素数さん
25/08/28 12:31:03.13 vjK/MFnh.net
X⊂R^n
p = (0, 0, ..., 0)∈Xとする
X上の関数f: X → Rで、f(p) = 0となるもの全体をmとする
m/m^2がpにおけるXの余接空間になる
4:１３２人目の素数さん
25/08/28 14:19:06.34 n1H//SmN.net
X = R^nのケース
Xのpにおける接空間は、R^n
f(p) = 0となる関数は、座標関数x1, ..., xnで生成される
x1, ..., xnは接空間の座標関数だから、これは余接空間の元とみなせる
X⊂R^nのケース
陰関数定理を使えば、ある番号i+1以降の座標関数は、x1, ..., xiの関数で表せる
Xのpにおける余接空間の元は、↑のR^nの余接空間の元を、Xのpにおける接空間に制限したもの（つまり、x_{i+1}以降を陰関数定理による関係式で置き換える）
5:１３２人目の素数さん
25/08/28 14:21:17.38 n1H//SmN.net
もちろん、関数のクラスはC^∞とか多項式とかに制限する必要がある
陰関数定理も常に使えるわけじゃない
代数幾何の文脈ならエタールなんとかに置き換える必要があるだろう
6:１３２人目の素数さん
25/08/28 15:09:38.24 jwc3iMJw.net
>>1
はい、この書き込みはちょっと数学的な誤解や混同が含まれている発言だと思われます。解説しますね。
1. 「イデアル」とは
環（ring）論に出てくる イデアル（ideal） は、環の部分集合で加法について閉じており、さらに環の任意の元を掛けてもまたその集合に入るようなものです。
例えば、整数環 ℤ のイデアルは nℤ（nの倍数全体） という形の集合です。
2. 「微分形式」とは
一方、微分形式（differential form） は微分幾何学や多様体論に出てくる概念で、積分や外微分（d演算子）と相性が良い対象です。例えば、1次微分形式 dx, dy, dz の組み合わせや、それを使った面積・体積要素のようなものです。
3. どうして「イデアル＝微分形式」みたいな発想が出るのか
これはおそらく、多様体や代数幾何での「消える関数のイデアル」と「微分形式」の対応を混同しているのだと思います。
代数幾何では、点や部分多様体に対応して「そこに消える関数のイデアル」を考えます。
また、イデアルの生成元（関数）を微分すると、その「消え方」や「接空間」を捉えることができます。
特に「コッタン微分」や「カールタン微分形式（Cartan forms）」の議論では、イデアルと微分形式がある種の「同じ情報を表す別の見方」として出てきます。
4. 書き込みの意図
なので「イデアルって微分形式じゃん」というのは数学的に厳密には 間違い ですが、背景としては
代数幾何や多様体論ではイデアルと微分形式が「局所的に消えるもの」として対応する
なのに、普通の教科書ではそこを直接つなげて説明してくれない
という不満を口語的に書いたのだと思います。
✅ まとめると：
「イデアル＝微分形式」ではありません。
ただし代数幾何や微分幾何の文脈では、イデアルで部分多様体を切り出す → その微分から接空間や微分形式を得る、という関係があるので、そこを直感的に「同じだ」と感じている可能性があります。
7:１３２人目の素数さん
25/08/28 17:35:49.03 KE1sOD0+.net
C^∞が一番良い仮定だろう
8:１３２人目の素数さん
25/08/28 17:44:48.27 +awOhyu4.net
たいていの関数はコンパクトサポート付きC^∞関数で近似できるしな
9:１３２人目の素数さん
25/08/28 21:36:29.23 xXHDEbzX.net
イデアルが微分形式なんじゃなくて
微分形式がある種のイデアル商ということ
10:１３２人目の素数さん
25/08/28 23:38:25.00 LEtwdRcG.net
座標関数を接空間に制限すると、余接ベクトルと同一視できる
11:１３２人目の素数さん
25/08/29 00:02:52.13 UGHR3s1K.net
R^2で考える
p = (0, 0)とする
R^2のpにおける接平面は、R^2
接ベクトルv = (v_x, v_y)に対して、dx, dyは
dx(v) = v_x
dy(v) = v_y
で定まる
つまり、dx, dyはR^2の接平面の座標関数
C⊂R^2が、f(x, y) = 0で定義されてて、
p∈C、pで∂f/∂y ≠ 0とする
陰関数定理より、y = g(x)と書ける
Cのpにおける接線Lは、y = g'(0)x
上のdx, dyをLに制限すると
dx = dx
dy = g'(0)dx
R^nに埋め込まれたC^∞多様体なら、余接ベクトルはこのようにして得られる
12:１３２人目の素数さん
25/08/29 00:18:45.84 ikSyqg9r.net
dxやdyが元々何だったかといえば、R^2の座標関数x, y
R^2の原点で0になるC^∞関数fをとる
f = gx + hy (g, hはC^∞)と表せる
（∵ f(a) - f(0) = ∫_{0}^1 ∂/∂t f(ta)dt をチェインルールで計算すればいい）
このような関数全体の集合をmとすると
mはx, yで生成される
x, yの2次以降を無視すると接空間の座標関数になる
m/m^2はR^2の原点における余接空間になる
C⊂R^2に対しては
特異点がなければ、陰関数定理からy = g(x)とかけるから
上記をすべてこの関係式で割ればいい
結局、余接ベクトルって何だったかと言えば、
全空間の接空間の座標関数x, y, ... を、今見ている多様体の接空間に制限したもの
13:１３２人目の素数さん
25/08/29 11:32:24.92 0heWYQX3.net
ミルナーの微分トポジーはその観点で書かれてるね
14:１３２人目の素数さん
25/08/29 14:57:49.63 CUGZiMFI.net
>>1
イデアルってどうやって積分するんですか？
15:１３２人目の素数さん
25/08/29 15:16:27.64 ++eyBf9V.net
>>14
微分形式なら積分ができるとでも言うのか
16:１３２人目の素数さん
25/08/29 17:27:27.76 wS8MrGsm.net
>>15
微分形式は積分するためのものだが？
17:１３２人目の素数さん
25/08/29 17:40:57.76 lUr+7uJs.net
>>16
たとえば有限体上の代数多様体のケーラー微分の切断に対して積分ってどう定義するの
18:１３２人目の素数さん
25/08/29 19:00:23.46 wS8MrGsm.net
>>17
さあ
積分できないならそれ微分形式じゃないよ
19:１３２人目の素数さん
25/08/29 19:32:16.24 NAaqCK+v.net
テンソル積や外積はイデアルで定義されるから、それを言ってるだけだな
20:１３２人目の素数さん
25/08/29 20:00:03.27 z/vF1fuX.net
>>19
ｋｗｓｋ
21:１３２人目の素数さん
25/08/29 20:26:20.87 IyUba/+p.net
>>18
そうやってすぐ誤魔化しをする
22:１３２人目の素数さん
25/08/29 21:21:59.29 yIV7jZPE.net
>>21
？
積分できないものを微分形式と言うのが誤魔化しだろ
23:１３２人目の素数さん
25/08/29 21:49:12.45 nsnT2V1K.net
>>14
上に書いてあるじゃん
可微分多様体と全く同じようにすればいい
24:１３２人目の素数さん
25/08/29 22:51:36.67 yIV7jZPE.net
>>23
？
じゃあZのイデアル(3)を積分してみて
25:１３２人目の素数さん
25/08/31 15:09:35.81 eNU7Vffk.net
積分領域は？
26:１３２人目の素数さん
25/08/31 15:20:19.68 FAkM++BI.net
は よ Z の イ デ ア ル (3) を 積 分 し ろ や あ ー ！ 😡
27:１３２人目の素数さん
25/08/31 19:45:44.88 7uSH/lMq.net
>>24
アホすぎ
28:１３２人目の素数さん
25/08/31 20:05:31.65 93V7+ZIx.net
できないなら黙れよ、バーカ
29:１３２人目の素数さん
25/09/01 01:26:10.47 iw57SYgW.net
>>24
イデアルを積分って何言ってんの？
30:１３２人目の素数さん
25/09/01 09:31:55.52 nMeJ4wG7.net
>>24
「微分形式なら積分できる」という話を持ち出したのはお前
イデアルがあればその元を余接空間の元と見なす方法は上に書いてある
その方法で積分ができるかどうかはお前が確かめろ
31:１３２人目の素数さん
25/09/01 11:47:11.09 SqDAzBes.net
>>30
なんだこいつ、馬鹿か？
積分できないならそれ微分形式じゃないよ
32:１３２人目の素数さん
25/09/01 12:24:19.81 CFGzmlUD.net
>>31
それはお前が提起した問題だから自分で確かめろって話
33:１３２人目の素数さん
25/09/01 12:26:25.89 SeSV/cs+.net
>>32
？？？
34:１３２人目の素数さん
25/09/01 12:27:15.39 SeSV/cs+.net
すまん、このスレの結論出していいか？
結論:イデアルは積分できないので微分形式じゃない
35:１３２人目の素数さん
25/09/01 12:28:38.36 BZSlk6JP.net
>>34
お前が勝手な定義を採用しているだけ
36:１３２人目の素数さん
25/09/01 12:29:04.58 BZSlk6JP.net
そもそも「イデアルが微分形式」なんて誰も言ってない
文章を正しく読めよ
37:１３２人目の素数さん
25/09/01 12:46:03.42 xH8CyHFF.net
>>36
スレタイ読めスレタイ
38:１３２人目の素数さん
25/09/01 12:56:04.47 IRWHipBR.net
>>37
お前はたとえば「実数は完備」って書いてあったら、0や1などの数が完備だと解釈するの？数学向いてないと思うよ
39:１３２人目の素数さん
25/09/01 14:35:28.70 zHsY2/sX.net
草ーw
40:１３２人目の素数さん
25/09/01 14:38:02.98 zHsY2/sX.net
実数は完備という日本語もどうかと思うが
実数体とか連続体とかいうべき
41:１３２人目の素数さん
25/09/01 15:44:59.66 LuxzMmGV.net
ウィキペディアか何かで用語を覚えてるだけで数学が理解できてないんだろうな
座標環の個別の元は余接空間の元としての意味を持つ
それらの全体はm/m^2だからイデアルだと言っている
楕円関数がC上の関数だと言っても複素トーラス上の関数だと言っても通じるのと同様
42:１３２人目の素数さん
25/09/01 19:38:09.47 E+vaXp4H.net
>>41
R^2上の微分形式ω=cos(y)dx-sin(x)dyをそのイデアルm/m^2の形で書くとどうなるんだよ？
43:１３２人目の素数さん
25/09/01 20:28:45.88 butIaAxu.net
>>42
自分で考えろカス
44:１３２人目の素数さん
25/09/01 20:46:13.54 4So4sTLz.net
>>42
cos(y)dx -sin(x)dyだろ
45:１３２人目の素数さん
25/09/01 20:47:25.90 E+vaXp4H.net
>>43
分からないなら、分からないと素直に言え
46:１３２人目の素数さん
25/09/01 20:49:42.45 4So4sTLz.net
>>45
だから、cos(y)dx - sin(x)dyだっつってるじゃん
47:１３２人目の素数さん
25/09/01 20:54:38.36 u8IJNC0U.net
ベクトル束とか層とか勉強した方が良い
48:１３２人目の素数さん
25/09/02 13:39:18.93 RwSaxror.net
>>42
> 微分形式ω=cos(y)dx-sin(x)dyをそのイデアルm/m^2の形で書くと
微分形式と余接空間の違いも分かってない
耳学問で知った気になって手を動してない証拠
49:１３２人目の素数さん
25/09/02 14:22:03.23 budEkxs/.net
各点の局所環よりもアデールを考えるほうが自然ですか？
50:１３２人目の素数さん
25/09/02 18:49:18.46 MSgq66nM.net
アフィンなら結局OXと変わらん