25/08/27 00:30:31.39 a+wMr2r6.net
L/Kを相対代数体
O_L, O_KをそれぞれL, Kの整数環
δ_{L/K} := { x∈L: tr_{L/K}(xy)∈O_K, ∀y∈O_L }
これは、Lの分数イデアルになる
L/
3:１３２人目の素数さん
25/08/27 00:32:53.60 a+wMr2r6.net
L/Kを相対代数体
O_L, O_KをそれぞれL, Kの整数環
δ_{L/K} := { x∈L: tr_{L/K}(xy)∈O_K, ∀y∈O_L }
これは、Lの分数イデアルになる
L/Kのrelative different ideal D_{L/K}を
D_{L/K} := δ_{L/K}^(-1)
と定義
4:１３２人目の素数さん
25/08/27 01:20:12.86 V7p9INTI.net
δ_{L/K} = { x∈O_L: xdy = 0, ∀y∈O_L }
5:１３２人目の素数さん
25/08/27 07:18:57.60 EhueCU8c.net
L = K(α)
αの最小多項式をfとして
x = f'(α)の形ならxdy = (何か)f'(α)dα = (何か)df(α) = 0
6:１３２人目の素数さん
25/08/27 07:24:39.46 EhueCU8c.net
αの共役を、α_1, ..., α_nとすると
f(x) = (x - α_1) ... (x - α_n)
f'(x) = Σ_i f(x)/(x - α_i)
f'(α_i) = Π_{j≠i} (α_i - α_j)
7:１３２人目の素数さん
25/08/27 09:15:17.55 zQTOPNZe.net
L = Q(√-1), K = Qとする
x, y∈O_L = Z⊕Z√-1
x = a + b√-1
y = c + d√-1
とすると
xy = (ac - bd) + (ad + bc)√-1
tr(xy) = 2(ac - bd)
8:１３２人目の素数さん
25/08/27 18:19:16.85 OEoLdM5i.net
>>4
>>3
これ、逆じゃね？
9:１３２人目の素数さん
25/08/27 22:01:20.45 Gsmkcexl.net
各x∈O_Lに対して、xの最小多項式をfとして、f'(x)の全体で生成されるイデアルだよ
10:１３２人目の素数さん
25/08/27 22:41:39.92 rKnyfvv7.net
L = Q(√d), K = Q
d ≡ 1 (mod 4)のとき:
O_L = Z⊕Z(1 + √d)/2
a, b∈Z
a + b(1 + √d)/2の共役は、a + b(1 - √d)/2
different idealは、D_{L/K} = (√d)
d ≡ 2, 3 (mod 4)のとき:
O_L = Z⊕Z√d
a, b∈Z
a + b√dの共役は、a - b√d
different idealは、D_{L/K} = (2√d)