25/07/02 10:05:14.24 qdqJNQW7.net
はたらけ
3:１３２人目の素数さん
25/07/02 10:11:19.05 oXDTw5IZ.net
空でないU⊂R/Qが開集合
⇔p^(-1)(U)⊂Rが開集合 (pは自然な全射)
⇔任意のa∈p^(-1)(U)に対して、十分小さな近傍B(ε, a) = {x: |x - a|<ε}⊂p^(-1)(U)
任意の実数rに対して、ある有理数qをとれば、r - q∈B(ε, a)とできるので、p(B(ε, a)) = p(R) = R/Q
よって、U = R/Q
R/Qの開集合は∅かR/Qだけ
4:１３２人目の素数さん
25/07/02 21:36:44.76 7Q69vXYU.net
コンパクト？
5:１３２人目の素数さん
25/07/02 22:42:08.01 nMcVKOSA.net
当たり前体操
6:１３２人目の素数さん
25/07/06 05:54:17.81 O27MgRK6.net
>>3
密着空間
7:１３２人目の素数さん
25/07/07 08:03:14.44 4REe5NjW.net
T^2/R=R/Q
8:１３２人目の素数さん
25/08/06 23:11:42.03 0Fkr9zqOR
具体化できないものって多いよね
9:１３２人目の素数さん
25/09/01 14:53:06.50 zmHc7PUM.net
任意の実数の無限小数表現を考える。
Qに含まれる有限小数（小数展開が有限で停まる）
の集合をXとするとき、X⊂Qだから
R/Q ⊂ R/X である。
R/Xは単一の元からなる集合で
｛0｝としてよい。なぜならば
Rの元rの無限小数展開を考えたとき、
その整数部および小数点以下任意の有限桁
までが一致する実数r'はR/Xにおいて
同値であるから、
たとえば、小数点以下1桁目までが一致する
ものは同値、小数点以下2桁目までが一致する
ものは同値、。。。。とすると、任意の
実数が同値になる。よって同値類は1つ
しかないから、その代表元として0をとれば
R/Xは{0} すると R/Qも｛0｝となる。
10:１３２人目の素数さん
25/09/01 15:21:30.99 HUTP3vGr.net
の集合をXとするとき、X⊂Qだから
R/Q ⊂ R/X である。
アカン
11:１３２人目の素数さん
25/09/01 22:38:22.07 Llrj9wIL.net
>>9-10
>Qに含まれる有限小数（小数展開が有限で停まる）
>の集合をXとするとき、X⊂Qだから
>R/Q ⊂ R/X である。
>R/Xは単一の元からなる集合で
>｛0｝としてよい
スレタイ「ℝ/ℚの代表元ってどんなの？」
下記 ヴィタリ集合 加法の商群 R/Q
有理数集合の互いに交わらない"平行移動コピー"によって出来ている
任意の元はある r ∈ R についての Q + r として書ける
R/Q の元は R の分割の1ピースである。そのピースは不可算個あり、各ピースはそれぞれ R の中で稠密である
で、R/Qは 単一の元からなる集合でなく、｛0｝ではない
だから、R/Xも同様に｛0｝ではない
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ヴィタリ集合（英: Vitali set）とはジュゼッペ・ヴィタリ(Giuseppe Vitali (1905))によって作られたルベーグ非可測な実数集合の基本的な例である[1]。ヴィタリの定理はそのような集合が存在することを保証する存在定理である。不可算個のヴィタリ集合が存在し、それらの存在は選択公理の仮定の下で示される
構成と証明
有理数体 Q は実数体 R の普通の加法についての部分群を成す。なので加法の商群 R/Q (つまり、有理数分の差を持つ実数同士を集めた同値類による剰余群) は有理数集合の互いに交わらない"平行移動コピー"によって出来ている。この群の任意の元はある r ∈ R についての Q + r として書ける。
R/Q の元は R の分割の1ピースである。そのピースは不可算個あり、各ピースはそれぞれ R の中で稠密である。R/Q の元はどれも [0, 1] と交わっており、選択公理によって [0, 1] の部分集合で、R/Q の代表系になっているものが取れる。このようにして作られた集合がヴィタリ集合と呼ばれているものである。すなわち、ヴィタリ集合 V は [0, 1] の部分集合で、各 r ∈ R に対して v － r が有理数になるような一意的な v を要素に持つものである。ヴィタリ集合 V は不可算であり、
u,v∈V,u≠v であれば v － u は必ず無理数である。
ヴィタリ集合は非可測である。これを示すために V が可測だったとして矛盾を導く。
q1, q2, ... を [－1, 1] の有理数の数え上げとする(有理数集合は可算なのでこれは可能)。V の構成から、平行移動による集合
Vk=V+qk={v+qk:v∈V}, k = 1, 2, ... はそれぞれ互いに交わらない。さらに、
略す
12:１３２人目の素数さん
25/09/04 23:08:02.64 IBnausHV.net
選択公理を採用しないあるいは否定する立場であれば、ヴィタリ集合はどうなるの？
13:１３２人目の素数さん
25/09/05 11:02:56.98 9s+SPZw0.net
>>12
>選択公理を採用しないあるいは否定する立場であれば、ヴィタリ集合はどうなるの？
良い質問ですね by Ikegami
１）ja.wikipedia ヴィタリ集合 より再録 下記 有理数体 Q 実数体 R 普通の加法 で 加法の商群 R/Q
ここまでは 選択公理は 不要です
２）R/Q の元は R の分割の1ピースである。そのピースは不可算個 つまり 集合として R/Q は 非可算だ
選択公理を採用すると 同値類R/Q の 一つの類に対して 一つの代表を決めることができる
例えば、√2=1.414・・を含む類で √2 -1=0.414・・ と平行移動すると 区間[0, 1]内に代表を取れる
また √5=2.2360・・ なら √5 -2=0.2360・・ と-2平行移動すれば 区間[0, 1]内に代表を取れる
これを、全ての無理数でやり尽くすことができるが 選択公理
３）直感的には 選択公理無しでは 無理ゲーと思うだろうが
数学的にもその通りです （同値類が非可測なので フルパワー選択公理要です）
４）では、上記のヴィタリ集合そのものではなく 類似で 選択公理 なしで ルベーグ非可測集合はできないのか？
選択公理 なしでは ルベーグ非可測集合はできない （但し 到達不能基数（inaccessible cardinals）を仮定して）
が、現代数学の結論です（下記 en.wikipediaご参照）
(参考)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ヴィタリ集合（英: Vitali set）とはジュゼッペ・ヴィタリ(Giuseppe Vitali (1905))によって作られたルベーグ非可測な実数集合の基本的な例である[1]。ヴィタリの定理はそのような集合が存在することを保証する存在定理である。不可算個のヴィタリ集合が存在し、それらの存在は選択公理の仮定の下で示される
有理数体 Q は実数体 R の普通の加法についての部分群を成す。なので加法の商群 R/Q (つまり、有理数分の差を持つ実数同士を集めた同値類による剰余群) は有理数集合の互いに交わらない"平行移動コピー"によって出来ている。この群の任意の元はある r ∈ R についての Q + r として書ける。
R/Q の元は R の分割の1ピースである。そのピースは不可算個あり、各ピースはそれぞれ R の中で稠密である。
R/Q の元はどれも [0, 1] と交わっており、選択公理によって [0, 1] の部分集合で、R/Q の代表系になっているものが取れる
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Vitali set
Role of the axiom of choice
The construction of Vitali sets given above uses the axiom of choice.
The question arises: is the axiom of choice needed to prove the existence of sets that are not Lebesgue measurable?
The answer is yes, provided that inaccessible cardinals are consistent with the most common axiomatization of set theory, so-called ZFC.
In 1980, Saharon Shelah proved that it is not possible to establish Solovay's result without his assumption on inaccessible cardinals.[4]
14:１３２人目の素数さん
25/09/05 11:24:15.70 gAW+uWFJ.net
>>13
>例えば、√2=1.414・・を含む類で √2 -1=0.414・・ と平行移動すると 区間[0, 1]内に代表を取れる
>また √5=2.2360・・ なら √5 -2=0.2360・・ と-2平行移動すれば 区間[0, 1]内に代表を取れる
>これを、全ての無理数でやり尽くすことができるが 選択公理
はい、大間違いです。
選択公理は f(x)∈x を満たす関数 f:R/Q→R の存在を主張している。
「代表を取る操作を無限回実施できることを主張している」は誤解。
尚「全ての無理数で」も誤解。
15:１３２人目の素数さん
25/09/05 19:02:14.83 ngehpLFN.net
｜平行移動すれば 区間[0, 1]内に代表を取れる。
有理数の違いを度外視するのだから、任意に狭い区間、
たとえば
区間 [0,a) ただしaは有理数
の内に代表をとれるということになり、
有理数aは幾らでも0に近いものにしても構わないのでは？
16:１３２人目の素数さん
25/09/05 21:21:54.01 n1shBuli.net
>>15
(引用開始)
｜平行移動すれば 区間[0, 1]内に代表を取れる。
有理数の違いを度外視するのだから、任意に狭い区間、
たとえば
区間 [0,a) ただしaは有理数
の内に代表をとれるということになり、
有理数aは幾らでも0に近いものにしても構わないのでは？
(引用終り)
ザッツライト
有理数aに、限る必要もない
実数ε で良い
[0,ε]
ここで、境界εをそのまま代表として使うことも可能だし
ε-Δ |（Δは 十分小さい有理数）を代表として取れば 境界εを使う必要なしです
そして、（有限の）任意に小さい
[0,ε] に出来るということが
ヴィタリ集合に 有限のルベーグ測度を与えることができない 理由です
その 非可測であることの巧みな証明は、>>13にあります
17:１３２人目の素数さん
25/09/06 01:31:07.46 peFUEnTU.net
>>15
[0, 1]なのは計算しやすいくらいの意味しかない。
ヴィタリ集合Vの任意の元 s,t は s≠t⇒￢(s-t∈Q) なので、Vを有理数だけ平行移動させたV'とは互いに素。
Q∩[-1,1] は可算集合だからその元だけVを平行移動させてできる可算無限個のVk(k∈Q∩[-1,1])たちも互いに素。
ルベーグ測度の完全加法性と平行移動で測度不変の性質から、もし測度λ(V)が定義できるなら λ(∪[k]Vk)=Σ[k]λ(V) を満たさなければならないが、
実は左辺は0でも∞でもないことが証明でき、λ(V)にいかなる値を割り当てても満たさない。よってVは非可測。
18:１３２人目の素数さん
25/09/06 05:47:32.97 peFUEnTU.net
>Q∩[-1,1] は可算集合だからその元だけVを平行移動させてできる可算無限個のVk(k∈Q∩[-1,1])たちも互いに素。
Q∩[-1,1] は可算集合だから全単射 f:N→Q∩[-1,1] が存在し、f(k)だけVを平行移動させてできる可算無限個のVkたちも互いに素。
19:１３２人目の素数さん
25/09/06 07:44:34.75 JgP2aXhR.net
>>17-18
ご苦労さま
下記に ja.wikipediaの証明を転記しておく
en.wikipedia.orgの記載の方が 詳しいので 併読するといい
(参考)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ヴィタリ集合（英: Vitali set）
構成と証明
ヴィタリ集合 V は不可算であり、
u,v∈V,u≠v
であれば v － u は必ず無理数である。
ヴィタリ集合は非可測である。これを示すために V が可測だったとして矛盾を導く。q1, q2, ... を [－1, 1] の有理数の数え上げとする(有理数集合は可算なのでこれは可能)。V の構成から、平行移動による集合
Vk=V+qk={v+qk:v∈V}, k = 1, 2, ... はそれぞれ互いに交わらない。さらに、
[0,1]⫅ ∪k Vk ⫅[－1,2] である。
ここで、ルベーグ測度のσ-加法性を使うと:
1≦婆=1～∞ λ(Vk)≦3.
である。ルベーグ測度は平行移動について不変なので
λ(Vk)=λ(V) である。ゆえに、
1≦婆=1～∞ λ(V)≦3.
であるが、これは不可能である。
一つの定数の無限和は 0 であるか無限大に発散するので、いずれにせよ [1, 3] の中には入らない。すなわち V は可測ではない。つまりルベーグ測度 λ はいかなる値も λ(V) の値として定義できない[3][4]。
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Vitali set
Non-measurability
(ここに上記の少し詳しい証明がある)
20:１３２人目の素数さん
25/09/06 07:59:02.73 zb2A6b2F.net
>>14
>代表を取る操作
がfのことだよ
21:１３２人目の素数さん
25/09/06 08:33:04.96 JgP2aXhR.net
>>14
>>例えば、√2=1.414・・を含む類で √2 -1=0.414・・ と平行移動すると 区間[0, 1]内に代表を取れる
>>また √5=2.2360・・ なら √5 -2=0.2360・・ と-2平行移動すれば 区間[0, 1]内に代表を取れる
>>これを、全ての無理数でやり尽くすことができるが 選択公理
>はい、大間違いです。
ここ便所板の５ｃｈ
しばしば、数学オチコボレさんが 発狂してヘンなことを書く
玉石混交。ここは”玉と石”の見分けがつかない読者は、きちんと裏付けを取るべし
さて、20世紀に無限集合論が発展して
2025年のいま 現代数学では 無限を扱うことは当たり前です
1980年ころの学部数学科では 「無限操作は極限なり」という 古い教え方だった
それは一理あるが、捕らわれていると、もう21世紀現代数学では間に合わないことが多い
下記 加藤文元 メンタルピクチャー、Terence Tao ＜“big picture”＞、謎の数学者 「絵」に例え、ポアンカレ 直感と論理
原則として 無限の操作を 直感で認めて それを現代数学の論理で裏付けるべし （by ポアンカレ）
それが正しいと思うよ
(参考)
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:8番)-9
URLﾘﾝｸ(note.com)
note.com
なぜ微分積分学は不完全なのか？
加藤文元 2025年2月23日
メンタルピクチャー
私は数学や数学の理解に関するいくつかの概念とその用語を導入したいと思う。そのうちのひとつは「メンタルピクチャー（MP）」というものだ。
形式化された理論
メンタルピクチャーの対極にあるのは、形式化（formalize）されコード化された理論（FT）だ。
数学の研究論文における形式的●●●議論は、例えばLean4やCoqなどのコンピューター言語による形式化からすれば、まだまだ「非形式的（informal）」なものだろう。人間のやる数学はまだまだインフォーマルであり、行間が広く、とてもとても形式的議論とは言えない。
とはいえ、ここで「メンタルピクチャー（MP）」の対極にある概念としての「形式化された理論（FT）」は、人間の書いた論文の議論のようなものも含む、広い概念である。そして、数学の厳密化とか精密化とは、このような緩い意味での形式化
(*) MP ーーーー形式化ー＞ FT
のことである。
形式化図式と数学の「理解」
形式化図式は数学を「理解する」という行為の内実とも、深く関係している。人間による数学の理論とは、単なるコードの連なりとして理解することではない。それは理論のメンタルピクチャー（MP）と、それと形式的理論との関連付け、すなわち形式化図式を構築することである。メンタルピクチャーだけによる理解は危険であるが、メンタルピクチャーによる裏付け・接地のない理解は不健康である。それは健康でないだけでなく、理解の深さがないという意味でも、完全な理解とは言えない。
つづく
22:１３２人目の素数さん
25/09/06 08:33:25.22 JgP2aXhR.net
つづき
＜“big picture”＞
URLﾘﾝｸ(terrytao.wordpress.com)
There’s more to mathematics than rigour and proofs Terence Tao
3. The “post-rigorous” stage, in which one has grown comfortable with all the rigorous foundations of one’s chosen field, and is now ready to revisit and refine one’s pre-rigorous intuition on the subject, but this time with the intuition solidly buttressed by rigorous theory. (For instance, in this stage one would be able to quickly and accurately perform computations in vector calculus by using analogies with scalar calculus, or informal and semi-rigorous use of infinitesimals, big-O notation, and so forth, and be able to convert all such calculations into a rigorous argument whenever required.) The emphasis is now on applications, intuition, and the “big picture”. This stage usually occupies the late graduate years and beyond.
URLﾘﾝｸ(terrytao.wordpress.com)
Career advice Terence Tao
謎の数学者 の ”数学に向かない人”の話でも 「絵」に例えています
これ“big picture”ですね。 “big picture”が分らないおサルさん(後述)ｗ これでしょうね ；ｐ）
(参考)＜いまリンク切れだが＞
URLﾘﾝｸ(youtu.be)
数学に向かない人の数学書の読み方。数学者はこうやって読む
謎の数学者 2022/06/07
コメント
@gary8593
2 年前
「絵を描くように」という例えが、めちゃくちゃ腑に落ちました。
特に英語の文献を読む時に精読を心がけすぎて、全体像が掴めなくなることがよくあって困ってたので、参考にします。
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Henri Poincaré
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
The Value of Science (French: La Valeur de la Science) is a book by the French mathematician, physicist, and philosopher Henri Poincaré. It was published in 1904. The book deals with questions in the philosophy of science and adds detail to the topics addressed by Poincaré's previous book, Science and Hypothesis (1902).
(google訳)
直感と論理
最後に、ポアンカレは幾何学と解析学 の科学の間に根本的な関係があるという考えを提唱しました。彼によれば、直感には二つの主要な役割があります。科学的真理を探求する上でどの道を進むべきかを選択すること、そして論理的展開を理解することです。
論理は確実性しか与えず、証明の手段である。直感は発明の手段である。
(引用終り)
以上
23:１３２人目の素数さん
25/09/06 09:04:09.13 JgP2aXhR.net
>>20
>>代表を取る操作
>がfのことだよ
下記＜加藤文元 メンタルピクチャー＞
非可算無限ある同値類から各代表を取る非可算無限操作が
選択関数によって 「形式化された理論（FT）」と解釈できる
それで、なんら問題なし
(参考)
>>21より
加藤文元 2025年2月23日
メンタルピクチャー
「メンタルピクチャー（MP）」の対極にある概念としての「形式化された理論（FT）」は、人間の書いた論文の議論のようなものも含む、広い概念である。そして、数学の厳密化とか精密化とは、このような緩い意味での形式化
(*) MP ーーーー形式化ー＞ FT
のことである。
形式化図式と数学の「理解」
形式化図式は数学を「理解する」という行為の内実とも、深く関係している。人間による数学の理論とは、単なるコードの連なりとして理解することではない。それは理論のメンタルピクチャー（MP）と、それと形式的理論との関連付け、すなわち形式化図式を構築することである。メンタルピクチャーだけによる理解は危険であるが、メンタルピクチャーによる裏付け・接地のない理解は不健康である。それは健康でないだけでなく、理解の深さがないという意味でも、完全な理解とは言えない。
24:１３２人目の素数さん
25/09/06 09:06:44.77 peFUEnTU.net
>>20
はい、大間違いです。
選択関数fは集合であって操作ではない。
数学において無限集合は存在するが無限回操作なるものは存在しない。
25:１３２人目の素数さん
25/09/06 09:16:12.38 peFUEnTU.net
>>21
>原則として 無限の操作を 直感で認めて それを現代数学の論理で裏付けるべし
選択関数を集合と直感すればよいだけ。実際そうなのだから。
わざわざ違うものと直感する必要が無いだけでなく間違いの元。実際君は口を開けば間違いだらけ。
26:１３２人目の素数さん
25/09/06 09:17:24.88 peFUEnTU.net
>>21
>しばしば、数学オチコボレさんが 発狂してヘンなことを書く
それが君
27:１３２人目の素数さん
25/09/06 09:27:12.24 peFUEnTU.net
>>22
>これ“big picture”ですね。 “big picture”が分らないおサルさん(後述)ｗ これでしょうね ；ｐ）
まったく見当違い。
数学が出来る人はいちいちpictureがあーーと喚かなくても頭の中に絵を持っている。
しかし間違った絵では意味が無いどころが害ですらある。
勝手読みして妄想して間違った絵を描いて正しいと思い込んでいる君のことだよ。
28:１３２人目の素数さん
25/09/06 09:31:45.21 peFUEnTU.net
>>23
>非可算無限ある同値類から各代表を取る非可算無限操作が
>選択関数によって 「形式化された理論（FT）」と解釈できる
はい、大間違いです。
選択関数は集合であって操作ではない。無限回操作なるものは well-defined でない。
>それで、なんら問題なし
間違った絵は間違いの元だから問題大有り。実際君は口を開けば間違いだらけ。
29:１３２人目の素数さん
25/09/06 10:00:32.91 peFUEnTU.net
関数 f:X→Y とは X×Y の部分集合fであって
∀x∈X.∃!y∈Y:(x,y)∈f
を満たすものを言う。
選択関数は集合であって選択操作ではない。
実際には選択操作でなくともそう解釈してもよいのではないか？→ダメ
無限プロセスが完了しないことは古代ギリシャ人も認識していた（ゼノンのパラドックス）。
無限回の選択操作とか言ってる人の知能は古代ギリシャ人未満。
30:１３２人目の素数さん
25/09/06 10:18:53.09 peFUEnTU.net
そもそも集合なんだから素直に集合の絵を描けば良いだけ
わざわざ操作とかいうイカサマ絵を描く必要は無い
必要が無いどころか間違いの元だから有害ですらある
そんなものは無い方がマシだから今すぐ捨ててしまえ
31:１３２人目の素数さん
25/09/06 10:30:21.05 w3BvWunn.net
パイパイ
32:１３２人目の素数さん
25/09/06 11:45:43.24 JgP2aXhR.net
>>31
ご苦労さまです
>>21の加藤文元 メンタルピクチャー
で、無限小数展開と有限小数で R/Qの ヴィタリ集合（英: Vitali set）>>19
の”絵”（ピクチャー）を 提供しよう
１）下記 東北大 尾畑研 による 第8章非可算集合 より
R/Qの任意代表元を 無限小数展開 m.ξ1ξ2ξ3・・・∈R/Q で表す
ここで、mは整数部分である
代表元は全て非負とできる（∵ 十分大きな有理数を加えて平行移動させれば良い）
２）これら m.ξ1ξ2ξ3・・・∈R/Q を 区間[0,1]内に修めたいときは
各整数のm分平行移動して 0.ξ1ξ2ξ3・・・∈[0,1] とできる
３）さて >>15の ”区間 [0,a] ただしaは有理数” で
a = 10^(-n) | n≧1 として [0,10^(-n)] にすることができる
即ち 0.ξ1ξ2ξ3・・・ξnξn+1・・・から
有限小数 0.ξ1ξ2ξ3・・・ξn を引き算すると
0.000・・・0ξn+1・・・ とできる
（有限小数は有理数であるから 代表の取り直しになる）
これらの操作を R/Qに対する選択公理による代表に対して 非可算無限回 行うことで
すべて 少数n位以下 区間 [0,10^(-n)]内にできる
言い換えると、[0,ε]内にできる
これから ヴィタリ集合 V のルベーグ測度 λ(V) >>19 に
0を超える有限の測度を与えることができないことは 直ちに納得できる
もし λ(V)に 小さいが しかし 有限値を与えるならば
[0,ε]のεを微小にとることで、区間[0,1]内に 長さεの区間を いくらでも多く作れて
区間[0,1]のルベーグ測度1を超えさせることで 矛盾が導ける
”λ(V)＝0”が矛盾を生じることは、もう一工夫いる*)（>>19にある）
（ *)下記 カントール集合の例があるので
非可算だから ルベーグ測度は 0 でない は、言えない）
(参考)
URLﾘﾝｸ(www.math.is.tohoku.ac.jp)
東北大 尾畑研
「集合・写像・数の体系 数学リテラシーとして」の草稿(pdf)
URLﾘﾝｸ(www.math.is.tohoku.ac.jp)
第8章非可算集合
P119
有限小数と無限小数
ここでは実数を無限小数で表される数ととらえる
区間[0,1]に属する実数を考えよう 任意のx∈[0,1]に対して
ξ1,ξ2,ξ3・・・∈{0,1,・・・9}を用いて10進数による小数表示
ｘ=0.ξ1ξ2ξ3・・・
を考えることができる
略
ここでは実数の厳密な定義はせずこのような無限小数で表されるものを実数と考えておく
厳密な議論は第16.3節で扱う
URLﾘﾝｸ(www.math.is.tohoku.ac.jp)
第9章濃度の比較
URLﾘﾝｸ(www.math.is.tohoku.ac.jp)
第16章整数・有理数・実数
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
カントール集合
性質
カントール集合は、ルベーグ測度は 0 でありながら、濃度は実数に等しい集合（連続体濃度の非可算集合）として有名な例である[18]
33:１３２人目の素数さん
25/09/06 13:36:02.78 peFUEnTU.net
>>32
>R/Qの任意代表元を 無限小数展開 m.ξ1ξ2ξ3・・・∈R/Q で表す
はい、大間違いです。
R/Qの元は同値類。代表元は同値類の元。
（引用開始）
１）下記 東北大 尾畑研 による 第8章非可算集合 より
R/Qの任意代表元を 無限小数展開 m.ξ1ξ2ξ3・・・∈R/Q で表す
ここで、mは整数部分である
代表元は全て非負とできる（∵ 十分大きな有理数を加えて平行移動させれば良い）
２）これら m.ξ1ξ2ξ3・・・∈R/Q を 区間[0,1]内に修めたいときは
各整数のm分平行移動して 0.ξ1ξ2ξ3・・・∈[0,1] とできる
３）さて >>15の ”区間 [0,a] ただしaは有理数” で
a = 10^(-n) | n≧1 として [0,10^(-n)] にすることができる
即ち 0.ξ1ξ2ξ3・・・ξnξn+1・・・から
有限小数 0.ξ1ξ2ξ3・・・ξn を引き算すると
0.000・・・0ξn+1・・・ とできる
（有限小数は有理数であるから 代表の取り直しになる）
これらの操作を R/Qに対する選択公理による代表に対して 非可算無限回 行うことで
すべて 少数n位以下 区間 [0,10^(-n)]内にできる
言い換えると、[0,ε]内にできる
（引用終了）
選択公理をR/Qではなく {x∩[0,ε]∈2^R|x∈R/Q} に対して適用すればいいだけ。
頭悪いね君。
34:１３２人目の素数さん
25/09/06 13:36:16.03 peFUEnTU.net
>これらの操作を R/Qに対する選択公理による代表に対して 非可算無限回 行う
はい、大間違いです。
数学には無限回操作なるものは存在しない。
さて、ここまでは間違いのデパートのほんのサワリである。
ここからが肝心。
>これから ヴィタリ集合 V のルベーグ測度 λ(V) >>19 に
>0を超える有限の測度を与えることができないことは 直ちに納得できる
>もし λ(V)に 小さいが しかし 有限値を与えるならば
>[0,ε]のεを微小にとることで、区間[0,1]内に 長さεの区間を いくらでも多く作れて
微小じゃワカラン。いくらでもじゃワカラン。正しくは「ちょうど1/ε個作れる。」
>区間[0,1]のルベーグ測度1を超えさせることで 矛盾が導ける
はい、極めつけの大間違い。
λ(V)=1/εとすれば何ら矛盾は無い。実際(1/ε)×ε=1。
よって
>これから ヴィタリ集合 V のルベーグ測度 λ(V) >>19 に
>0を超える有限の測度を与えることができないことは 直ちに納得できる
は、結論ありきで訳も分からず無理やり納得してるだけであることが捲れました。
君、Vが非可測である理由をまったく理解してないんだね。
>”λ(V)＝0”が矛盾を生じることは、もう一工夫いる*)（>>19にある）
丸投げで草
じゃあ最初からしゃしゃり出てこないで丸投げしろよｗ そうすりゃ間違いのデパートも無く、おまえ自身も含め万人がハッピーだろｗ
何がしたいんだよおまえ 頭おかしいのか？
>（ *)下記 カントール集合の例があるので
>非可算だから ルベーグ測度は 0 でない は、言えない）
はぁ？
君、非可測集合の定義知らないの？
35:１３２人目の素数さん
25/09/06 13:50:37.25 peFUEnTU.net
>>32
なんちゃらピクチャーがあーーーーが口癖のオチコボレ、今日も口を開けば間違いだらけでしたとさ
なんちゃらピクチャーは別にいいけど、肝心の正しさがズタボロじゃむしろ有害だよ、間違いを量産するだけだから
36:１３２人目の素数さん
25/09/06 14:02:13.55 peFUEnTU.net
>>32
> >>21の加藤文元 メンタルピクチャー
>で、無限小数展開と有限小数で R/Qの ヴィタリ集合（英: Vitali set）>>19
>の”絵”（ピクチャー）を 提供しよう
どこから目線だよｗ
君の腐った絵なんて提供されても困るから自分で始末したまえ。廃棄物処理法守れよｗ
37:１３２人目の素数さん
25/09/06 14:34:15.78 JgP2aXhR.net
>>34
>>区間[0,1]のルベーグ測度1を超えさせることで 矛盾が導ける
>はい、極めつけの大間違い。
>λ(V)=1/εとすれば何ら矛盾は無い。実際(1/ε)×ε=1。
それは、面白い発想だ by ポアンカレ（下記）
証明の論理という意味では ”λ(V)=1/ε”の証明が必要だが・・ｗ
それは、証明できまいｗｗ
いまここで述べたことは
R/Qのヴィタリ集合 V が、いかに”ヘンテコリン”な集合であるかの
メンタルピクチャー (by 加藤文元)
を与えたのだよ
R/Qのヴィタリ集合 V だが、いまこれには
区間によらない 有限固定値のルベーグ測度を与えることはできないこと示したのだ
なるほど、区間[0,ε]の区間長さに依存する値 λ(V)=1/εを取れるかねｗ？
まあ、それが証明されたら 面白いけどね あっ オチコボレさんに それを要求するのは酷だったな ；ｐ）
(参考)
>>22より
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Henri Poincaré
(google訳)
直感と論理
最後に、ポアンカレは幾何学と解析学 の科学の間に根本的な関係があるという考えを提唱しました。彼によれば、直感には二つの主要な役割があります。科学的真理を探求する上でどの道を進むべきかを選択すること、そして論理的展開を理解することです。
論理は確実性しか与えず、証明の手段である。直感は発明の手段である。
38:１３２人目の素数さん
25/09/06 15:19:50.58 peFUEnTU.net
>>37
>それは、面白い発想だ by ポアンカレ（下記）
ただのあたりまえ体操。別に面白くもなんともない。
>証明の論理という意味では ”λ(V)=1/ε”の証明が必要だが・・ｗ
>それは、証明できまいｗｗ
非可測なんだからλ(V)=1/εの訳ないだろｗ
λ(V)=1/εとすれば君の言う矛盾は嘘っぱちになる、つまり矛盾を導いたとする君の論証がイカサマだと言ってるんだよ。
>いまここで述べたことは
>R/Qのヴィタリ集合 V が、いかに”ヘンテコリン”な集合であるかの
>メンタルピクチャー (by 加藤文元)
>を与えたのだよ
なんちゃらピクチャーが間違いの免罪符になるとでも？
真逆だよ、腐ったピクチャーまき散らされたら大迷惑だろｗ
>R/Qのヴィタリ集合 V だが、いまこれには
>区間によらない 有限固定値のルベーグ測度を与えることはできないこと示したのだ
ぜんぜん示せてないことが分からないの？ どこまで頭悪いの？
>なるほど、区間[0,ε]の区間長さに依存する値 λ(V)=1/εを取れるかねｗ？
>まあ、それが証明されたら 面白いけどね あっ オチコボレさんに それを要求するのは酷だったな ；ｐ）
上記の通り
君、頭悪いし、勉強嫌いだし、性格悪いし、何一つ取り得無いね なんで生きてるの？
39:１３２人目の素数さん
25/09/06 15:28:32.88 peFUEnTU.net
>>37
>R/Qのヴィタリ集合 V だが、いまこれには
>区間によらない 有限固定値のルベーグ測度を与えることはできないこと示したのだ
そもそもVと[0,ε]の関係がまったく述べられてないから論外なんだが、それ以前にそんな修正でどうにかなるシロモノじゃない。
便所の紙にすらならん。菌が拡がらないよう焼却炉にポイするよりしょうがない。
40:１３２人目の素数さん
25/09/06 16:00:38.40 DLHtgH0o.net
>>14
そもそもR/Qの要素はRではなくRの部分集合
選択公理はR/Qの要素であるRの部分集合から要素1つを選ぶ選択関数の存在を主張する
もちろん具体的に構成できるわけではない そんなことができるなら公理は要らない（笑）
これ豆な 分からん奴は大学１年で落第する
41:１３２人目の素数さん
25/09/06 16:06:57.13 DLHtgH0o.net
>>16
＞（有限の）任意に小さい[0,ε] に出来るということが
＞ヴィタリ集合に 有限のルベーグ測度を与えることができない 理由です
はい嘘ね
それだけなら非可測とは言えない
測度を保持する平行移動により互いに重なり合わない可算個のコピーができ
それらの和集合の測度が１になる
しかしどんな０でない数もある有限のｎの倍数で１を超える
逆に０はどんな有限のｎの倍数でも０である
だから非可測
こんな簡単な理屈も分からないと
当然大学のルベーグ積分の講義で落第する
42:１３２人目の素数さん
25/09/06 16:07:55.43 peFUEnTU.net
>>40
>そもそもR/Qの要素はRではなくRの部分集合
誰がそうじゃないと言ったの？
>選択公理はR/Qの要素であるRの部分集合から要素1つを選ぶ選択関数の存在を主張する
誰がそうじゃないと言ったの？
>もちろん具体的に構成できるわけではない そんなことができるなら公理は要らない（笑）
誰がそうじゃないと言ったの？
>これ豆な 分からん奴は大学１年で落第する
その豆を必要としてる人に言ってねｗ
43:１３２人目の素数さん
25/09/06 16:14:09.90 DLHtgH0o.net
>>24 ＞選択関数fは集合であって操作ではない。
>>25 ＞選択関数を集合と直感すればよいだけ。実際そうなのだから。
関数は対応すなわちグラフである
定義域Aの任意のxに対して
必ず値域Bのある唯一のyが存在するような
積集合A×Bの部分集合がグラフ
別にAを整列させたうえで
Aの元の頭から一つ一つ
Bの元に対応づける操作を
Aの元の数だけ繰り返す
なんて馬鹿なことは全くする必要がない
こういう馬鹿ピクチャーに固執すると
大学１年の数学で必ず落第する
44:１３２人目の素数さん
25/09/06 16:16:10.86 DLHtgH0o.net
>>42
そうイラつくなよ
12とアンカー打つところを
13と間違っただけだろ
45:１３２人目の素数さん
25/09/06 16:18:20.58 peFUEnTU.net
>>41
>それらの和集合の測度が１になる
・「〇になる」ではなく「〇になるはず（完全加法性により）」
・〇＝１であることを示してみて。
46:１３２人目の素数さん
25/09/06 16:20:17.59 peFUEnTU.net
>>44
イラついてないよ
この人何言ってるんだろうって思っただけ >>13なら納得
47:１３２人目の素数さん
25/09/06 16:24:07.97 DLHtgH0o.net
>>31
>”λ(V)＝0”が矛盾を生じることは、もう一工夫いる
単にVと同じ測度で、Vと重ならないものが
任意のq∈Qの平行移動で実現でき、それらの重ね合わせで、
λ(V)の可算和が0でない有限の値をとらなければならないといえるが
λ(V)が0なら0のままだし、0でない有限の値なら∞になるから
そんなものは存在しない
こんな簡単なことがサクっと口で説明できない時点で
何のメンタルピクチャーもないことはあきらか
大学落第ね ま、工学部なら数学の理論が全然わかんなくてもＯＫ 工員だから
48:１３２人目の素数さん
25/09/06 16:25:35.66 peFUEnTU.net
>>43
>関数は対応すなわちグラフである
誰がそうじゃないと言ったの？
>定義域Aの任意のxに対して
>必ず値域Bのある唯一のyが存在するような
>積集合A×Bの部分集合がグラフ
誰がそうじゃないと言ったの？
>別にAを整列させたうえで
>Aの元の頭から一つ一つ
>Bの元に対応づける操作を
>Aの元の数だけ繰り返す
>なんて馬鹿なことは全くする必要がない
誰がそうじゃないと言ったの？
>こういう馬鹿ピクチャーに固執すると
>大学１年の数学で必ず落第する
固執してる人に言ってねｗ
49:１３２人目の素数さん
25/09/06 16:27:41.39 DLHtgH0o.net
>>41
区間[0,1]をつなげて円にしてしまって、円の測度を１とすれば
互いに重なり合わない可算個のコピーの和集合で、
きっちり円になるものが構成できる
S^1＝R/Zだから 分かるよね 大学の数学科を卒業したなら
50:１３２人目の素数さん
25/09/06 16:30:34.54 DLHtgH0o.net
>>48
そうイラつくなよ
19と20にアンカー張るべきところをついサボっただけだろ
51:１３２人目の素数さん
25/09/06 16:37:51.13 peFUEnTU.net
>>50
おまえがサボっといてどこから目線だよ
アンカもまともに貼れん奴は失せろよ 迷惑
52:１３２人目の素数さん
25/09/06 17:03:37.59 DLHtgH0o.net
>>51 君・・・あの日？
53:１３２人目の素数さん
25/09/06 23:12:07.41 JgP2aXhR.net
>>37 補足
(引用開始)
いまここで述べたことは
R/Qのヴィタリ集合 V が、いかに”ヘンテコリン”な集合であるかの
メンタルピクチャー (by 加藤文元)
を与えたのだよ
R/Qのヴィタリ集合 V だが、いまこれには
区間によらない 有限固定値のルベーグ測度を与えることはできないこと示したのだ
(引用終り)
１）そもそも このスレのテーマは
>>1 "ℝ/ℚの代表元ってどんなの？"だった
その一つの切り口が >>11 ヴィタリ集合Vで 加法の商群 R/Q
選択公理によって [0, 1] の部分集合で、R/Q の代表系になっているものが取れる という
２）言い換えると、選択公理にお任せだと
数直線 区間（-∞,+∞）に 普通には カスミの如く 薄く分散している
ルベーグ測度評価には不便だと
小さな 区間[0, 1]に終結させた
このとき、単純な仮定として 区間（-∞,+∞）に分散している状態と
区間[0, 1]に終結させた場合とで 測度は不変 とする
つまり ヴィタリ集合Vのルベーグ測度λ(V) は 前後で変わらないと
３）ところで、>>15の指摘したように
区間[0, 1]→区間 [0,a)
ただしaは有理数 有理数aは幾らでも0に近いものにしても構わない
で、この場合も λ(V)は 不変と仮定したとき
ε= 10^(-n) で [0,ε] >>32
とすることで、区間によらない
つまり 有限固定値のルベーグ測度を与えることはできないこと示したのです
これは、"ℝ/ℚの代表元ってどんなの？"
に対する 一つの切り口で >>21の加藤文元 メンタルピクチャー を 一つ提供したってこと
さて もう一つの切り口で、"ℝ/ℚの代表元ってどんなの？"は、本質的には選択公理任せだと
いまの人類の数学では、R/Q の分類さえ 具体的に完遂できないのが 現状
下記 超越数”円周率 π やネイピア数 e の大抵の和、積、べき乗は、有理数であるのか無理数であるのか超越的であるのか否かは証明されていない”
ので、例えば e+π を どの同値類に分類するかが決まらないのだから
(参考)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
超越数
超越数かどうかが未解決の例
e+π,e－π,eπ,πe,ππ,ee,πe,π^2,eπ^2 などの円周率 π やネイピア数 e の大抵の和、積、べき乗は、有理数であるのか無理数であるのか超越的であるのか否かは証明されていない[注 4]。
54:１３２人目の素数さん
25/09/06 23:17:43.44 uA8TnrN1.net
♪とんちんかんちん とんちんかんちん 気にしないっ♪
55:１３２人目の素数さん
25/09/07 03:25:01.63 SxRW6WiR.net
超越数の2乗は超越数。超越数の0乗ではない有理数乗は超越数。
56:１３２人目の素数さん
25/09/07 10:12:30.20 hvfvmXnW.net
>>37
(引用開始)
>>区間[0,1]のルベーグ測度1を超えさせることで 矛盾が導ける
>はい、極めつけの大間違い。
>λ(V)=1/εとすれば何ら矛盾は無い。実際(1/ε)×ε=1。
それは、面白い発想だ by ポアンカレ（下記）
証明の論理という意味では ”λ(V)=1/ε”の証明が必要だが・・ｗ
それは、証明できまいｗｗ
(引用終り)
戻る
まず 赤ペン先生：
λ(V)=1/ε→λ(V)=ε（εは任意に小さい量）
だね （＾
さて
>>32より再録
さて >>15の ”区間 [0,a] ただしaは有理数” で
a = 10^(-n) | n≧1 として [0,10^(-n)] にすることができる
即ち 0.ξ1ξ2ξ3・・・ξnξn+1・・・から
有限小数 0.ξ1ξ2ξ3・・・ξn を引き算すると
0.000・・・0ξn+1・・・ とできる
（有限小数は有理数であるから 代表の取り直しになる）
これらの操作を R/Qに対する選択公理による代表に対して 非可算無限回 行うことで
すべて 少数n位以下 区間 [0,10^(-n)]内にできる
言い換えると、[0,ε]内にできる
これから ヴィタリ集合 V のルベーグ測度 λ(V) >>19 に
0を超える有限の測度を与えることができないことは 直ちに納得できる
もし λ(V)に 小さいが しかし 有限値を与えるならば
[0,ε]のεを微小にとることで、区間[0,1]内に 長さεの区間を いくらでも多く作れて
区間[0,1]のルベーグ測度1を超えさせることで 矛盾が導ける
”λ(V)＝0”が矛盾を生じることは、もう一工夫いる*)（>>19にある）
（ *)下記 カントール集合の例があるので
(引用終り)
ここで
１）”λ(V)＝0”の一例として 上記 実数の無限小数モデルにおいて
a = 10^(-n)で、n→∞ の場合には 無限小数は 0.000・・000・・・と
全て0になるので、R/Qの代表を満たさなくなる
２）もし、ルベーグ測度の取る値を 下記 超実数に拡張できたとすれば
λ(V)=εで、εを0で無い無限小量と解釈できる
即ち、拡張されたルベーグ測度論では、ヴィタリ集合 Vは 非可測ではなく
超実数の無限小量だ
だれ？ 「ルベーグ測度論を 超準解析での拡張やってみろ？」という人
おれには、できないｗ だが、だれか賢い人ならできるに 100ペソ！ ；ｐ）
(参考)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
超実数
超実数（hyperreal number）または超準実数（nonstandard reals）と呼ばれる数の体系は無限大量や無限小量を扱う方法の一つである
超実数の応用、特に解析学における諸問題への移行原理の適用は超準解析と呼ばれる
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
準超実数
準超実数（英: superreal number、super-real number）
・(Dales & Woodin) 超準解析における超実数を一般化するもので、その全体 (英: super-real field) は超現実数体の部分体を成す。→ 準超実体を参照
・(Tall) superreal number[1]: 固定された無限小 ε に関する実係数形式冪級数の商（形式ローラン級数）。その全体の成す集合 ℜ ≔ ℝ((ε)) は辞書式順序に関する順序体を成す。レヴィ゠チヴィタ体の部分体と見られる
57:１３２人目の素数さん
25/09/07 10:24:54.58 CTxYlvA3.net
>>56
＞もし、ルベーグ測度の取る値を 超実数に拡張できたとすれば
＞λ(V)=εで、εを0で無い無限小量と解釈できる
＞即ち、拡張されたルベーグ測度論では、
＞ヴィタリ集合 Vは 非可測ではなく超実数の無限小量だ
では超実数論ではQの元の個数は何個ですか？
どの無限大超自然数か、具体的に書いてくれる？
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
超整数
超準解析における超整数（ちょうせいすう、英: hyperinteger; 超準整数）は、
その整数部分が自身に等しい超実数（超準実数）を言う。
超整数には、通常の整数である有限超整数のほかに無限大超整数も含まれる。
無限大超整数の例は、整数列 (1, 2, 3, …) が属する（超実数の超冪構成の意味での）同値類をとればよい。
超整数全体の成す集合 *ℤ は超実数全体の成す集合 *ℝ の内的部分集合であり、
対して有限超整数全体の成す集合 ℤ は内的部分集合ではない。
補集合 *ℤ ∖ ℤ の元は（文献にもよるが）
超準 (non-standard), 無限 (unlimited), 無限大 (infinite) 超整数
と呼ばれる。
無限大超整数の逆数は必ず無限小になる。
非負の超整数はしばしば超自然数 (hypernatural number) と呼ばれ、
先と同じように有限超自然数および無限大超自然数全体の成す集合はそれぞれ ℕ および *ℕ と書かれる。
後者がスコーレムの意味での算術の超準モデルを与えるものであることを注意しておく。
58:１３２人目の素数さん
25/09/07 11:24:51.55 hvfvmXnW.net
ふっふ、ほっほ
「ごーまんかましてよかですか?」
「アホな同僚や相手に構うことほど、人生ムダなことはないよね」
by レトリカ・ブログ （学院長 川上貴裕）
百回音読しましょう！ｗ ；ｐ）
(参考)
URLﾘﾝｸ(dic.pixiv.net)
ピクシブ百科事典
ゴーマニズム宣言
『ゴーマニズム』とは、『傲慢』から作られた小林氏による造語で、各回の文末には「ごーまんかましてよかですか?」というキメ台詞
URLﾘﾝｸ(note.com)
アホな同僚や相手に構うことほど、人生ムダなことはないよね。
レトリカ・ブログ （学院長 川上貴裕）
2024年11月2日
どうしようもない人（以下、アホ）に限って、「どういうメンタルしているんだ？」、「なんでこんなやつが正規で受かってるんだ！」と思うほど、平然とした顔で、のさばり続けているのですよね。
世の中、理不尽なことばかりです。
略す
上記のように嫌みをこぼす、アホな同僚が、おそらく、皆さんの周りにもいることでしょう。
でも、こんな愚かなアホのせいで、自分の心が疲弊したり、病んだり、最悪の場合、教職を諦めてしまうことになることほど、理不尽なことはありませんよね。
では、こんなアホには、どう対抗すればいいのか。
いえいえ、今日はそんな話ではないのです。
マザーテレサの名言に、
「愛の反対は、憎しみではなく、無関心です。」
という言葉があります。
まさにその通りです。
アホに対して、憎しみをもったり、エネルギーを費やしたり、感情的になったり、帰宅後も脳裏に思い出したりすることほど、人生を無駄にしていることはないのです。
略す
また、田村耕太郎さんの『頭に来てもアホとは戦うな！』という書籍も、おすすめです！ぜひ、読まれてみてください！
59:１３２人目の素数さん
25/09/07 11:27:05.50 hvfvmXnW.net
まあ、一つの単純な アイデアは
集合の濃度 R,Q,Z,N では、従来の数のみを扱う
とすれば、いいね ；ｐ）
60:１３２人目の素数さん
25/09/07 11:27:36.51 hvfvmXnW.net
>>56 つづき
>>9より
任意の実数の無限小数表現を考える。
Qに含まれる有限小数（小数展開が有限で停まる）
の集合をXとするとき、X⊂Qだから
R/Q ⊂ R/X である。
(引用終り)
些末だが
”Qに含まれる有限小数”を X→U とする（有限の"U"ね）
Uは、通常の和と積で閉じていて 環になる。有限小数環U
（RとQは、割り算でも閉じていて 体を成す）
さて
１）実数の無限小数表現で R/Uでは
・r∈R の無限小数のしっぽが、ある有限少数桁n位以降が すべて0(例 0.123000・・)のとき r∈U
・r∈R の無限小数のしっぽが、循環節を持つとき(例 0.123777・・) r∈Q
・r∈R の無限小数のしっぽが、循環節を持たないとき(例 r＝π(円周率)) r∈R
２）実数の無限小数表現で R/Qでは
・r∈R の無限小数のしっぽが、ある有限少数桁n位以降が すべて0(例 0.123000・・)のとき r∈U
・r∈R の無限小数のしっぽが、循環節を持つとき(例 0.123777・・) r∈Q
・r∈R の無限小数のしっぽが、循環節を持たないとき(例 r＝π(円周率)) r∈R
(但し 二つの無理数の差 r-r'が有理数なら R/Q同値である)
要するに、言いたいことは
無限小数表現では、無限長しっぽの先のパターンで
実数の 同値類の分類が可能だということ
(参考)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
循環小数
繰り返される数字の列を循環節という
61:１３２人目の素数さん
25/09/07 13:00:30.86 fR1GR5P0.net
>>56
>λ(V)=ε（εは任意に小さい量）だね （＾
じゃ矛盾は嘘じゃん。
じゃ非可測の理由になってないじゃん。
口を開けば間違いだらけじゃん。
62:１３２人目の素数さん
25/09/07 14:09:00.05 hvfvmXnW.net
>>61
うんにゃｗ ；ｐ）
>>56の主張は
もし
ルベーグ測度 → 超準ルベーグ測度に拡張（超準の無限小量を含む）
に拡張できれば
ヴィタリ集合 V の拡張ルベーグ測度 λ(V)は
超準の無限小量とできるだろう
ということ
即ち
・ルベーグ測度内には、超準の無限小量は存在しないから 非可測
・超準ルベーグ測度内には、超準の無限小量は存在するから （超準）可測■
なお、超準ルベーグ測度への拡張には
下記の”超準解析”を参考にして
ルベーグ測度論を、移行原理などを使って 超準的拡張する必要があるのだが
それは、私より賢い人（プロ数学者）が、やればいいことです！ｗ ；ｐ）
(参考)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
超準解析
実数に対して移行原理を満たすような体を超実数体といい、超準実解析学はそういった体を実数の超準モデルとして用いる。
63:１３２人目の素数さん
25/09/07 14:22:48.14 hvfvmXnW.net
>>60 補足
有理数Qを完備化すると、実数体Rが得られる
同様に、有限小数環Uを完備化すると、実数体Rが得られる
つまりは、有理コーシー列は 有限小数コーシー列で実現できる
それは、下記 東北大 尾畑研
『有限小数と無限小数
ここでは実数を無限小数で表される数ととらえる』
と同値
(参考)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
完備距離空間
距離空間 M が完備（complete）またはコーシー空間（Cauchy space）であるとは、M 内の任意のコーシー点列が M に属する極限を持つ（任意のコーシー点列が収束する）ことを言う。
空間の完備化 (completion) として常に可能である
>>32 より
URLﾘﾝｸ(www.math.is.tohoku.ac.jp)
東北大 尾畑研
「集合・写像・数の体系 数学リテラシーとして」の草稿(pdf)
URLﾘﾝｸ(www.math.is.tohoku.ac.jp)
第8章非可算集合
P119
有限小数と無限小数
ここでは実数を無限小数で表される数ととらえる
区間[0,1]に属する実数を考えよう 任意のx∈[0,1]に対して
ξ1,ξ2,ξ3・・・∈{0,1,・・・9}を用いて10進数による小数表示
ｘ=0.ξ1ξ2ξ3・・・
を考えることができる
略
ここでは実数の厳密な定義はせずこのような無限小数で表されるものを実数と考えておく
厳密な議論は第16.3節で扱う
URLﾘﾝｸ(www.math.is.tohoku.ac.jp)
第16章整数・有理数・実数
64:１３２人目の素数さん
25/09/07 14:36:30.21 hvfvmXnW.net
>>60 補足
>要するに、言いたいことは
>無限小数表現では、無限長しっぽの先のパターンで
>実数の 同値類の分類が可能だということ
そもそもは、実数Qの 無限小数表現の無限長しっぽの先のパターンの話だが
有理数Qでも、同様に 無限小数表現の無限長しっぽの先のパターンの話が可能
それが、下記の Sergiu Hart氏の Choice Gamesの ”game2”だ
区間[0,1]の有理数の無限小数表現のしっぽの先のパターンを使って
数当てゲームで 確率 1 － ε を得るというパズルだが
この数当てトリックが機能しないことは、すぐ分る
彼（Sergiu Hart）が、Remarkで種明かしをしているとおりで
{0, 1,..., 9}では、出題者のPlayer 1の勝率 9/10（回答者の勝率は1/10 にすぎない）
(参考)
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:5番)
(参考)
URLﾘﾝｸ(www.ma.huji.ac.il)
Sergiu Hart
URLﾘﾝｸ(www.ma.huji.ac.il)
Some nice puzzles:
URLﾘﾝｸ(www.ma.huji.ac.il)
Choice Games November 4, 2013
P2
A similar result, but now without using the Axiom of Choice.2 Consider the following two-person game game2:
・ Player 1 chooses a rational number in the interval [0,1] and writes down its infinite decimal expansion3 0.x1x2...xn..., with all xn ∈ {0,1,...,9}.
・ Player 2 asks (in some order) what are the digits xn except one, say xi; then he writes down a digit ξ ∈ {0,1,...,9}.
・ If xi = ξ then Player 2 wins, and if xi= ξ then Player 1 wins.
By choosing i arbitrarily and ξ uniformly in {0,1,...,9},
Player 2 can guarantee a win with probability 1/10. However, we have:
Theorem 2 For every ε > 0 Player 2 has a mixed strategy in game2 guaranteeing him a win with probability at least 1 － ε.
Proof. 略
Remark. When the number of boxes is finite Player 1 can guarantee a win
with probability 1 in game1, and with probability 9/10 in game2, by choosing
the xi independently and uniformly on [0, 1] and {0, 1,..., 9}, respectively.
65:１３２人目の素数さん
25/09/07 15:01:52.10 fR1GR5P0.net
Remark. When the number of boxes is finite
66:１３２人目の素数さん
25/09/07 15:06:26.02 CTxYlvA3.net
>>58 あ、逃げた
67:１３２人目の素数さん
25/09/07 15:12:52.91 CTxYlvA3.net
>>59
もし、ヴィタリ集合Vの量がある無限小量εで表せるとした場合
有理数Qの元の個数ωは、εω＝１となる、無限大超自然数で表せる筈だが
なぜならω個のVの重ね合わせで測度1の集合がつくれるのだから
Vの測度がεなら、当然ω＝1/εとなる
だからそれはいくつかと尋ねている
こたえられないなら、そもそもVの測度がεというのが嘘ってことだろ？
68:１３２人目の素数さん
25/09/07 19:32:29.21 tm+Ngv0N.net
♪望みは た～かく 果てしなく
わからんちんどもに とっちめられちん
とんちんかんちん 工学さん♪
69:１３２人目の素数さん
25/09/09 10:22:38.36 mSmF3uVl.net
>>67-68
>もし、ヴィタリ集合Vの量がある無限小量εで表せるとした場合
>有理数Qの元の個数ωは、εω＝１となる、無限大超自然数で表せる筈だが
一句”不勉強 オチコボレのさばる 便所板”（字余り）
実際
無限小量εを 1/無限大 と書き換えると
下記の 拡大実数 ±∞⁄±∞ の
所謂不定形の式と解するのが 一般だろうが
但し、不確定形式 en.wikipedia にあるように
『極限を求める文脈の外で表現された場合、その式を「不定形」と呼ぶのは適切ではありません』
と書かれていますよ
下記”0の0乗”が、その好例です
なので、無限小量εを導入した 拡張ルベーグ測度論をどう構築するかだけ 私にはできませんがｗ ；ｐ）
なお 下記全文を 百回音読してねｗ ；ｐ）
(参考)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
拡大実数
拡大実数（英: extended real number）あるいはより精確にアフィン拡大実数（affinely extended real number）は、通常の実数に正の無限大 +∞ と負の無限大 －∞ の2つを加えた体系を言う
算術演算
所謂不定形の式（英語版） ∞ － ∞, 0 × (±∞), ±∞⁄±∞ などはやはり意味を成さない（英語版）とするのが普通である。これらの規約は函数の無限大に関する極限についての法則をモデル化するものになっているが、確率論および測度論ではさらに、"0 × (±∞) = 0" を規約に追加することが多い（確定した 0 を掛けた 0 × (有限) の形の式の極限としての意味を持つことが多いため[2]）
つづく
70:１３２人目の素数さん
25/09/09 10:23:04.45 mSmF3uVl.net
つづき
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Indeterminate form
(google訳)
不確定形式
略
このような特定の状況では、極限は不定形をとると言われ、以下の非公式な表現のいずれかで表されます。
0/0、∞/∞、0×∞、∞－∞、0^0、 1^∞、or ∞^0、
しかし、極限を求める文脈の外で表現された場合、その式を「不定形」と呼ぶのは適切ではありません。例えば、次の式が挙げられます。
0^0この式が未定義のままであるか、または1と等しいと定義されているかは応用分野によって異なり、著者によっても異なる場合があります。詳細については、「ゼロのゼロ乗」の記事をご覧ください
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
0の0乗
0 の 0 乗（れいのれいじょう）は、累乗あるいは指数関数において、底を 0、指数を 0 としたものである。その値は、代数学、組合せ論などの文脈では通常 1 と定義される[注 1]一方で、解析学の文脈では二変数関数 xy が原点 (x, y) = (0, 0) において連続とならないため定義されない場合もある。
1と定義される場合
非負整数の指数のみを扱っている場合には、0の0乗は 1 と定義されることが多い。その理由としては、以下のようなものが挙げられる。
略
計算機科学者のドナルド・クヌースは、00 は 1 でなければならないと強く主張している[1]。彼によると「0x という関数は数学的意義に乏しいのに対し、x0 は様々な公式に頻繁に現れるため、こちらを基準に取る方が形式的に便利な局面が多い」という[2]。
定義されない場合
複素解析における扱い
複素領域において、0 でない z に対し、関数 zw を、log z の分枝を選び、zw を ew log z と定義できる。これは 0w を定義していない、なぜならば z = 0 において定義された log z の分枝は存在せず、したがって当然 0 の近傍で定義された log z の分枝も存在しないからである[9]。したがってこの意味で 0w は定義されないのであるが、著者によっては別途、
Re w > 0 に対しては 0 と定義したり[10]
w ≠ 0 に対しては 0 と定義したり[11]
している。
(引用終り)
以上
71:１３２人目の素数さん
25/09/09 11:17:17.07 LeAc3O74.net
>>69
>”不勉強 オチコボレのさばる 便所板”
自嘲？
>無限小量εを導入した 拡張ルベーグ測度論を
>どう構築するかだけ 私にはできませんが
だったら
>超準ルベーグ測度に拡張（超準の無限小量を含む）できれば
>ヴィタリ集合 V の拡張ルベーグ測度 λ(V)は超準の無限小量とできるだろう
なんて妄想書かなきゃいいのに？
君、🚽の💩？
72:１３２人目の素数さん
25/09/09 11:22:10.25 ghc91aQD.net
>>69-70
グダグダ言い訳しても無駄
（引用開始）
これから ヴィタリ集合 V のルベーグ測度 λ(V) >>19 に
0を超える有限の測度を与えることができないことは 直ちに納得できる
もし λ(V)に 小さいが しかし 有限値を与えるならば
[0,ε]のεを微小にとることで、区間[0,1]内に 長さεの区間を いくらでも多く作れて
区間[0,1]のルベーグ測度1を超えさせることで 矛盾が導ける
（引用終了）
が正しくなることはないから
73:１３２人目の素数さん
25/09/09 20:54:40.35 DOqIl8q0.net
>>71-72
ふっふ、ほっほ
再録
一句”不勉強 オチコボレのさばる 便所板”（字余り）>>69
>>無限小量εを導入した 拡張ルベーグ測度論
昔っから、数学の歴史は 概念の拡張につぐ拡張だった
例えば 19世紀 カントールが無限集合を考える数十年前に
天才リーマンは、複素平面に無限大を導入して リーマン球面を考えて 複素関数論を刷新した
リーマンのリーマン球面上で 複素関数論を考えると、”零点と極”は対応がつく
つまり、有理型関数fとその逆数の関数1/f で、fの極→1/ｆの零点、fの零点→1/ｆの極 の対応がつき
普通は、ご法度の 「ゼロ除算を許容する」 つまり”1/0＝∞”なｗｗｗ（下記）
”無限小量ε”を考えることくらい 21世紀数学では日常茶飯事よ
下記を百回音読してね
複素関数論を勉強しなおせ オチコボレ
(参考)
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Zeros and poles
零点と極
極とは複素変数の複素数値関数のある種の特異点である。
技術的には、点z 0が関数fの極であるとは、それが関数1/ fの零点であり、かつ1/ f がz 0のある近傍において正則（すなわち複素微分可能）であることを意味する。
関数fが開集合Uにおいて有理型であるとは、 Uのあらゆる点zに対して、少なくともfと1/ fの 1 つが正則となるzの近傍が存在する場合を言います。
f がUにおいて有理型関数であるならば、 fの零点は1/ fの極であり、fの極は1/ fの零点である。これは零点と極の双対性をもたらし、これは有理型関数の研究において基本的なものである。
無限遠
n次多項式には無限遠にn次極があります。
無限遠点によって拡張された複素平面はリーマン球面と呼ばれます。
例
URLﾘﾝｸ(upload.wikimedia.org)
9 次多項式には ∞ に 9 次極があり、ここではリーマン球面の領域色分けによってプロットされています。
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Riemann sphere
リーマン球面
リーマン球面はベルンハルト・リーマンにちなんで名付けられ、 [ 1 ] 、拡張複素平面（閉複素平面とも呼ばれる）のモデルであり、複素平面に無限遠点を加えたものである。
拡張複素数は、状況によってはゼロ除算を許容するため、複素解析において有用であり、次のような式が成り立つ。
1/0＝∞ 行儀の良い関数。例えば、複素平面上の任意の有理関数は、リーマン球面上の正則関数に拡張することができ、その有理関数の極は無限遠に写像される。より一般的には、任意の有理型関数は、その余域がリーマン球面である 正則関数と考えることができる。
74:１３２人目の素数さん
25/09/09 21:15:05.09 ghc91aQD.net
>>73
グダグダ言い訳しても無駄
（引用開始）
これから ヴィタリ集合 V のルベーグ測度 λ(V) >>19 に
0を超える有限の測度を与えることができないことは 直ちに納得できる
もし λ(V)に 小さいが しかし 有限値を与えるならば
[0,ε]のεを微小にとることで、区間[0,1]内に 長さεの区間を いくらでも多く作れて
区間[0,1]のルベーグ測度1を超えさせることで 矛盾が導ける
（引用終了）
が正しくなることはないから
75:１３２人目の素数さん
25/09/10 07:21:25.26 u0x0EfOw.net
>>73 つづき
ふっふ、ほっほ
再録
一句”不勉強 オチコボレのさばる 便所板”（字余り）>>69
”無限小量ε”を考えることくらい 21世紀数学では日常茶飯事よ
例えば、下記磯野優介『ライプニッツは，1/∞ を0ではない数（つまり無限小）として捉えており，このように∞を一つの数とみなす研究方法は無限小解析と呼ばれています』
1980年代の数学科で学んだが、”超準解析入門－超実数と無限大の数学”に到達できなかった人は
”ε-δ 論法が、大学数学の精華であり 数学の頂だ”と 錯覚し妄想する
だが、その考えは 古い
下記を百回音読してね（無限小数展開も出てくるよ）
(参考) これ分かり易い （＾＾
URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)
超準解析入門－超実数と無限大の数学 磯野優介
数学入門公開講座テキスト 京都大学数理解析研究所，平成29年
概要
「無限に大きい数」は存在しません．どんな数を持ってきても，それに1を足せば，より大きな数が出来るからです．同様に「無限に小さい数」も存在しません．このような無限数は，数学的に厳密に定義出来ないにもかかわらず，古くから研究に用いられてきました（いわゆる「無限小解析」）．その後19世紀に入り，厳密さを備えたε-δ論法が登場し，無限小解析は歴史から姿を消します．超準解析とは，「無限に大きい，小さい数」を，数学として厳密に定式化し，取り扱う学問です．この枠組みでは，無限数を用いた計算や証明が可能で，現代数学を用いた無限小解析の再現とも言えます．この講義では，そのような無限数を含む「超実数」を構成し，それを用いて解析学の基礎的な定理を実際に証明してみようと思います．
1 イントロダクション
ε-δ 論法と超準解析
ライプニッツは，1/∞ を0ではない数（つまり無限小）として捉えており，このように∞を一つの数とみなす研究方法は無限小解析と呼ばれています．
無限小解析は，長い間主流の考え方でしたが，数学としてそれを厳密に正当化する事は出来ませんでした．
19 世紀前半に，コーシーやワイエルシュトラスの手によって，ε-δ論法と呼ばれる方法が開発されます．これは収束に関する簡潔な手続きを与えるもので，要するに「∞を手続きに読み替える」論法です．これは極めて厳密に，そして扱いやすい形で極限を取り扱う方法を提供してくれました．この論法の開発以後，解析学はこれを基礎に展開していきます．現代においてもその重要性は変わらず，例えば数学科の大学一年生は必ずこれを学びます（大学生からの評判はすこぶる悪いようですが．．．）この論法が広まるに伴い，上で見たような∞を数とみなす考え方は，（少なくとも厳密な数学としては）用いられる事はなくなります．
1960年代，アブラハム・ロビンソンは超準解析と呼ばれる新しい解析学を確立します．これは実数を拡張した超実数と呼ばれるものを用いる研究方法で，超実数の立場から実数の研究を行おうというものです．この超実数は，ライプニッツの無限小解析を念頭に置いており，例えば無限大超実数（どんな実数よりも大きな数）や無限小超実数（どんな実数よりも小さい数）を含んでいます
つづく
76:１３２人目の素数さん
25/09/10 07:22:16.13 u0x0EfOw.net
つづき
超準解析とモデル理論
モデル理論とは，数学で扱う構造そのものを研究する理論です．ロビンソンは超実数を構成した後，モデル理論の枠組みで超実数を捉え直し，超準解析を進めていきました．特に，実数で成立する性質が全て超実数でも成立する，という事実がモデル理論を用いて厳密に証明出来ます．しかしモデル理論は初学者には分かりづらい理論ですし，我々の講義時間も限られていますので，この講義ではモデル理論には一切触れません．
P5
2.2 コーシー列を用いた実数Rの構成
この方法は，後で超実数を作る際の参考になるため，やや詳しく解説します．
実数の小数点展開について考察しましょう．
コーシー列は収束先の元aに一切言及していない事に注意しましょう．
この考察により，有理数からなるコーシー列が一つの数を表すという考え方が有効であるように思えます．しかし，異なる数列が同じ数を表す事があるため，その分を同一視するという操作がさらに必要となります．
P7
実数の構成
以上によって，有理数Qから実数Rを作る事が出来ました．今回の構成では，実数を有理数の数列として理解していますが，頭の中で考える際には必ずしも数列だと思う必要はありません．大事なのは，我々が実数だと考えている対象と同じものが，数学的対象として（つまり集合として）実現出来ているという点です．また実際に研究を行う際は，実数を特徴づける性質を抜き出しておいて，それのみを用いて証明を行う事が多いです．
演習 2.11. （難しい）上の実数の構成では，「小数点展開で得られる数」を全て含むように構成した．逆に上のように作られた実数α=(an)nが，小数点展開の形で書けるかどうかを考察せよ．（つまり，(an)n =(bn)nなる(bn)nを上手く探してきて，各bnを√2を小数点展開した時のように取れるのかという事．）
P8
3 超実数∗Rの構成
P10
3.2 フィルターと超フィルター
P15
4 超実数を用いた解析学の展開
P21
5 超積とフォンノイマン環
突然ですが，この章ではやや先進的な話題について学びます．私の専門分野であるフォンノイマン環論と，そこで使われている超積の技術について眺めてみます．超積がなぜフォンノイマン環論で重要か，という点に焦点を当てたお話になります．専門的な内容がたくさん出てくるので，細かい事は気にせず雰囲気を味わおうという視点で読んでください．私もそのつもりで書きます．
つづく
77:１３２人目の素数さん
25/09/10 07:22:42.26 u0x0EfOw.net
つづき
5.1 関数解析とフォンノイマン環
無限次元ベクトル空間
P24
コンヌの分類定理
その重要性を完全に決定づけたのは，1970年代のアラン・コンヌによる一連の研究でしょう．
以下，コンヌの超積を用いた研究を，非常に大雑把に説明してみます．
専門用語の羅列になってしまうので，面倒なら下の定理5.1まで飛ばしてください．
P25
定理5.1 (コンヌ，1976年). 超有限フォンノイマン環は，従順性と呼ばれる条件で特徴づけられる．特にここから，量子力学で現れるフォンノイマン環は全て分類出来る．
これにより，量子力学で現れるフォンノイマン環を全て列挙するという偉業が達成されたのです．すでに述べたように，これは当時の有名な未解決問題の解決で，コンヌはこの業績を主として1982年にフィールズ賞を受賞しました．
(引用終り)
以上
78:１３２人目の素数さん
25/09/10 07:46:32.20 lAy8sx+U.net
>>75-77
>”無限小量ε”を考えることくらい
>22世紀数学では日常茶飯事よ
>『ライプニッツは，1/∞ を0ではない数（つまり無限小）として捉えており，
>このように∞を一つの数とみなす研究方法は無限小解析と呼ばれています』
>1980年代の数学科で学んだが、
>”超準解析入門－超実数と無限大の数学”
>に到達できなかった人は
>”ε-δ 論法が、大学数学の精華であり 数学の頂だ”
>と 錯覚し妄想する
>だが、その考えは 古い
Qの元の個数を表す無限大量ωは具体的にいくつ？
ヴィタリ集合の測度εは1/ωだろ？
εがあるというならその逆数であるωが示せる筈
それはズバリいくつだい？
1980年代の大学の一般教養数学で
εーNによる有理コーシー列の同値類としての実数の定義と
εーδによる関数の連続性の定義が理解できず落第した君に
超準解析とか超実数とか１００００年早いよ
日本列島の縄文人は数を数えるところから始めたら？
フハハハハハハ！！！
79:１３２人目の素数さん
25/09/10 07:49:20.37 u0x0EfOw.net
>>74
（引用開始）
これから ヴィタリ集合 V のルベーグ測度 λ(V) >>19 に
0を超える有限の測度を与えることができないことは 直ちに納得できる
もし λ(V)に 小さいが しかし 有限値を与えるならば
[0,ε]のεを微小にとることで、区間[0,1]内に 長さεの区間を いくらでも多く作れて
区間[0,1]のルベーグ測度1を超えさせることで 矛盾が導ける
（引用終了）
ふっふ、ほっほ >>53にも書いたが
少し メンタルピクチャーの補足をしよう >>21の加藤文元 メンタルピクチャー も再度見てね
１）R/Qで ヴィタリ集合 V で区間[0,1]に集める前は、数直線（-∞,+∞）全体に広がっているとして
まず 全てを プラス側 [0,+∞）に集める
そして、R/Qの代表の元の無限小数展開を考えると
無限小数展開の整数部分を 全て0にすることで 区間[0,1]に集めることができる（整数成分による平行移動）
２）これは、あたかも 部屋全体にケムリが分散しているときに
そのケムリの量（例えば体積）を量るために ある小さな空間に集めたことに相当する
３）この考えは、ケムリの量は 集める前と後で 不変という仮定をおいているってことだ
つまり ヴィタリ集合 V のルベーグ測度 λ(V) は、分散しているときと 小さな空間に集めたときとで不変と仮定している
４）さて、区間[0,1]を 無限小数展開を使って、任意の 少数n位以下に縮小できる（少数n-1位以上の成分は有理数だから その分の平行移動を使える）
そうすると、区間[0,10^n]に入れることができる
つまり、ヴィタリ集合 V は 任意に小さい区間に集めることができる
よって ルベーグ測度 λ(V) ＜ 10^n が言える
５）では、区間[0,0]に入れることができるか？
上記のR/Qの代表の元の無限小数展開モデルでは、区間[0,0]は 無限小数展開が 全て 0.000・・・となって
数0に潰れるので それはできない
よって、R/Qで ヴィタリ集合 V は 0でない 任意微小区間 区間[0,ε]に入れることができるが
εは0にはできない
もし、ルベーグ測度の超準版ができれば ヴィタリ集合 V のルベーグ測度 λ(V) ＝ε だな■
なお、ヴィタリ集合 V が 集める前と後で 不変という仮定とは無関係に
非可測を証明するのが 元証明です
だが、元証明は ヴィタリ集合 Vの メンタルピクチャーとしては いまいちスッキリしないだろう
上記の ”ヴィタリ集合 V が 集める前と後で 不変という仮定”をおいた考察とを 併用すると いいだろうと思うよ
80:１３２人目の素数さん
25/09/10 07:52:17.91 u0x0EfOw.net
>>79 タイポ訂正
そうすると、区間[0,10^n]に入れることができる
つまり、ヴィタリ集合 V は 任意に小さい区間に集めることができる
よって ルベーグ測度 λ(V) ＜ 10^n が言える
↓
そうすると、区間[0,10^-n]に入れることができる
つまり、ヴィタリ集合 V は 任意に小さい区間に集めることができる
よって ルベーグ測度 λ(V) ＜ 10^-n が言える
分ると思うが （＾＾；
81:１３２人目の素数さん
25/09/10 08:02:46.35 EM57T3O/.net
＞R/Qで ヴィタリ集合 V で区間[0,1]に集める前は、数直線（-∞,+∞）全体に広がっているとして
そのまえに、(R/Z)/(Q/Z)で考えなよ、そうすればイヤでも区間[0,1]内に押し込めるから
>もし、ルベーグ測度の超準版ができれば ヴィタリ集合 V のルベーグ測度 λ(V) ＝ε だな
もし、ヴィタリ集合 V のルベーグ測度 λ(V) ＝εなら、Q/Zの元の数は1/εだな
で、それはいくつだい？
なぜ、聞かれてることに答えないんだい？
ああ、考え無しに口から出まかせでホラ吹いたからか
オチコボレはだいたいそう 考えもなしにホラを吹く
だから間違う だから落ちこぼれる
馬鹿は考えることができない ただ感じるだけ
ブルース・リーの映画の見過ぎ（笑）
82:１３２人目の素数さん
25/09/10 08:18:46.79 +LOF2kS8.net
セタ「測度の値域に超準実数を許せばヴィタリ集合は可測になる！」←ホントけ？
83:１３２人目の素数さん
25/09/10 08:19:21.55 +LOF2kS8.net
何がメンタルピクチャーだよ。ただのトンデモじゃんｗ
84:１３２人目の素数さん
25/09/10 08:25:57.83 +LOF2kS8.net
直観してしかも致命的に間違うのは、数学センスがないんだよ。
が、本人にその自覚はなく、自信満々。
おっちゃんとかいうお仲間によく似てはりますなぁ。
85:１３２人目の素数さん
25/09/10 09:31:12.65 FdK5Pbp7.net
>>84
君、高校生？
そもそも、測度論に数学センスという考え方は合わない
センスという言葉が通用するのは高校まで
後で解析したら、恐らく無理数であろう実数が
実はオイラーの定数γではないことが判明した
86:１３２人目の素数さん
25/09/10 09:48:34.07 uWaGqrb4.net
>>79
>１）R/Qで ヴィタリ集合 V で区間[0,1]に集める前は、数直線（-∞,+∞）全体に広がっているとして
> まず 全てを プラス側 [0,+∞）に集める
> そして、R/Qの代表の元の無限小数展開を考えると
> 無限小数展開の整数部分を 全て0にすることで 区間[0,1]に集めることができる（整数成分による平行移動）
>２）これは、あたかも 部屋全体にケムリが分散しているときに
> そのケムリの量（例えば体積）を量るために ある小さな空間に集めたことに相当する
>３）この考えは、ケムリの量は 集める前と後で 不変という仮定をおいているってことだ
> つまり ヴィタリ集合 V のルベーグ測度 λ(V) は、分散しているときと 小さな空間に集めたときとで不変と仮定している
>４）さて、区間[0,1]を 無限小数展開を使って、任意の 少数n位以下に縮小できる（少数n-1位以上の成分は有理数だから その分の平行移動を使える）
> そうすると、区間[0,10^n]に入れることができる
> つまり、ヴィタリ集合 V は 任意に小さい区間に集めることができる
最初から選択公理を {x∩[0,ε]∈2^R|x∈R/Q} に適用すれば集める必要が無い。
>少し メンタルピクチャーの補足をしよう >>21の加藤文元 メンタルピクチャー も再度見てね
君のゴミピクチャーをばら撒かれても迷惑。ゴミは自分で処分したまえ。
87:１３２人目の素数さん
25/09/10 09:54:34.76 EM57T3O/.net
任意に小さい区間に集める必要はない
単に、思考力がない奴に、
「もし、測度があるとすれば、いくらでも小さくなる」
と分からせる意味があるかもしれないが
それだけなら０でいいじゃんとなる
でも、０だとすると、可算和で１にできない
そこが非可測性の最大のポイント
ここ分かんない奴は、測度論分からないから諦めろ
まあ、そもそも実数の定義分かんないオチコボレには無理だけどなｗ
88:１３２人目の素数さん
25/09/10 10:24:02.32 uWaGqrb4.net
>>87
>単に、思考力がない奴に、
>「もし、測度があるとすれば、いくらでも小さくなる」
>と分からせる意味があるかもしれないが
ならば最低限
> ”ヴィタリ集合 V が 集める前と後で 不変という仮定”
は証明しないとただの絵空事
> ”ヴィタリ集合 V が 集める前と後で 不変という仮定”
の書き方が馬鹿丸出しで、正しく書くなら
”ヴィタリ集合 V が可測と仮定したとき、集める前と後で測度不変という仮定”
だろうけど
89:１３２人目の素数さん
25/09/10 21:33:16.98 u0x0EfOw.net
>>82
>セタ「測度の値域に超準実数を許せばヴィタリ集合は可測になる！」←ホントけ？
ふっふ、ほっほ
商R/Qの代表元からなるヴィタリ集合V
これは 数直線（-∞、+∞）に分散している
いま、Vの測度λ(V)について その分散状態に無関係にある決まった測度を付与できると仮定する
A)実数の無限小数展開を考えると
Vを 微小区間[0,10^-n] ｜ｎ>1 の任意整数
内に取れることは すでに示した
だから λ(V)＜10^-n だ
B)一方、区間[0,0]に入れることが出来ないことも
既に示した
二つの条件A)B)両方を同時に満たすのは
超準実数の無限小ε 以外にはありえない
あとは、無限小εを含むように
拡張ルベーグ測度論が構築できるか否かだけｗ ；ｐ）
90:１３２人目の素数さん
25/09/10 22:39:04.56 +LOF2kS8.net
ヴィタリ集合→可測とすると、ルベーグ測度のσ加法性（可算加法性）と矛盾する。
バナッハ・タルスキーのパラドックスで構成されるR^3の部分集合
→（ユークリッド運動群で不変な）ある測度で可測とすると
（可算加法性より弱い）有限加法性と矛盾する。
セタの直観「ヴィタリ集合の測度として無限小超実数εを割り当てればいいべ」
→考えなしのバカ。
選択公理から有限加法性に反する例も作られるのだから、問題の本質が
無限小にあるわけでもない。
91:１３２人目の素数さん
25/09/10 22:41:11.29 +LOF2kS8.net
今回のはコピペから離れたセタオリジナルの考えですな。
これまでセタオリジナルは、例外なくおっちゃんレベルのトンデモ。
92:１３２人目の素数さん
25/09/11 06:24:03.13 X5MBDTN2.net
君、全く関わってない人を根拠なく持ち出すことは止めてくれ
数学(的)センスという存在性が不明な概念を用いて話すのは
現実離れしていて何も根拠がない
93:１３２人目の素数さん
25/09/11 14:46:36.39 KfYwoBCP.net
>>89
Vの任意の有理数分の平行移動で[0,1]をカバーできる
したがって、有理数の個数をω個とするとεω＝1
で？有理数の個数ωはどういう無限大超自然数？
94:１３２人目の素数さん
25/09/11 17:59:40.73 Udk9IhMk.net
Rは非可算で、Qは可算だから、R/Qは集合としては非可算。
95:１３２人目の素数さん
25/09/13 16:25:55.53 QgqpGZ4Z.net
[0,1]区間内の実数であって、3進数で無限小数展開したときに、
展開に数字1が出てこない実数を集めた集合をSとするとき、
Sのルベーグ測度はどれだけか。（配点5点）
96:１３２人目の素数さん
25/09/13 20:10:53.59 EV1iU/cO.net
カントール集合のルベーグ測度は0
97:１３２人目の素数さん
25/09/13 21:27:59.04 sEZjaMYu.net
カントール集合は
カントールの3進集合だけではない
98:１３２人目の素数さん
25/09/13 22:27:39.57 EV1iU/cO.net
で？
99:１３２人目の素数さん
25/09/14 13:27:58.59 uEDeHLrZ.net
カントール集合の濃度が実数の濃度に等しいことを証明しなさい。（配点5点）
100:現代数学の系譜 雑談
25/09/14 19:47:38.37 m+0nOQgc.net
>>89
(引用開始)
二つの条件A)B)両方を同時に満たすのは
超準実数の無限小ε 以外にはありえない
あとは、無限小εを含むように
拡張ルベーグ測度論が構築できるか否かだけｗ ；ｐ）
(引用終り)
下記の ”Lebesgue Measure on the real line by G. H. Meisters • February 14, 1997”
のP1 に
”It turns out that it is not possible to define a function µ : 2^R → [0,∞] that satisfies all of these properties. It is possible if we allow our measure to assume “infinitesimal” values; that is, if we take µ : 2^R → [0,∞]∗, where [0,∞]∗ ⊂ R∗, a nonstandard model of R.”
とある
これが どこかの投稿論文か否かは 確認できなかった（ G. H. Meisters氏の詳細も不明）
だが
References（引用文献 ）で 取り上げている 2020年の論文があったので アップしておくよ
なので 知る人ぞ知るだな
まあ、誰でも思いつくことではあるｗ （＾＾
(参考)
URLﾘﾝｸ(www.stat.rice.edu)
Lebesgue Measure on the real line by G. H. Meisters • February 14, 1997
P1
It turns out that it is not possible to define a function µ : 2^R → [0,∞] that satisfies all of these properties. It is possible if we allow our measure to assume “infinitesimal” values; that is, if we take µ : 2^R → [0,∞]∗, where [0,∞]∗ ⊂ R∗, a nonstandard model of R.
(google訳)
これらの性質をすべて満たす関数 µ : 2^R → [0,∞] を定義することは不可能であることが判明した。しかし、測度が「無限小」値をとることを許容すれば、つまり、R の非標準モデルである [0,∞]∗ ⊂ R∗ となる µ : 2^R → [0,∞]∗ を取れば、定義は可能となる。
URLﾘﾝｸ(jsju.org)
Journal of Southwest Jiaotong University
Home > Vol 55, No 1 (2020) > Fadhil Abbas
New Definitions of Sigma Field
Hind Fadhil Abbas
Full Text:PDF URLﾘﾝｸ(jsju.org)
References
MEISTERS, G.H. (1997) Lebesgue Measure on the Real Line.
101:現代数学の系譜 雑談
25/09/14 22:28:08.25 m+0nOQgc.net
>>100 自己レス
＞これが どこかの投稿論文か否かは 確認できなかった（ G. H. Meisters氏の詳細も不明）
どうも 講義テキストらしい（下記）
なお Measure.Theory.Tao.pdf もある
なので G. H. Meisters氏も 多分どこかの大学教授だな
(参考)
URLﾘﾝｸ(www.stat.rice.edu)
Statistics and [some] Econometrics Qualifier Review
_Readme.00.txt
_Qualifier.Topics.EconShortList.txt
・Lebesgue_Measure.Meisters.pdf ← こいつ URLﾘﾝｸ(www.stat.rice.edu)
・Measure.Theory.Tao.pdf URLﾘﾝｸ(www.stat.rice.edu)
An introduction to measure theory
Terence Tao Department of Mathematics, UCLA, Los Angeles, CA 90095 E-mail address: tao@math.ucla.edu
Preface
This text is intended to form a prequel to my graduate text [Ta2010] (henceforth referred to as An epsilon of room, Vol. I), which is an introduction to the analysis of Hilbert and Banach spaces (such as Lp and Sobolev spaces), point-set topology, and related topics such as Fourier analysis and the theory of distributions; together, they serve as a text for a complete rst-year graduate course in real analysis.
102:１３２人目の素数さん
25/09/15 01:32:43.95 Rsum8kdu.net
>>100
>いま、Vの測度λ(V)について その分散状態に無関係にある決まった測度を付与できる
の証明まだ？
103:現代数学の系譜 雑談
25/09/15 08:45:07.27 iK+sB2GV.net
>>102
>>いま、Vの測度λ(V)について その分散状態に無関係にある決まった測度を付与できる
>の証明まだ？
質問の相手を間違えているぞｗ （＾＾
１）おれは 証明など 必要に迫られない限りしないのが主義ｗｗ ；ｐ）
２）君が >>100 の”Lebesgue Measure on the real line by G. H. Meisters • February 14, 1997”
P1 ”It turns out that it is not possible to define a function µ : 2^R → [0,∞] that satisfies all of these properties. It is possible if we allow our measure to assume “infinitesimal” values; that is, if we take µ : 2^R → [0,∞]∗, where [0,∞]∗ ⊂ R∗, a nonstandard model of R.”
について 何か疑問があれば 友人か
大学の知り合いの数学教授に 質問しなさい！ ；ｐ）
104:１３２人目の素数さん
25/09/15 10:57:25.58 Rsum8kdu.net
>>103
なにをトチ狂ってるの？
君がいま盛んに語ってるヴィタリ集合の超準実数測度での可測性は、君が勝手に置いた仮定
>いま、Vの測度λ(V)について その分散状態に無関係にある決まった測度を付与できる
が正しくない限りまったく無意味なんだけど
だから君が真っ先にやるべきは、君の持論を補強する文献探しなんかじゃなく、君が勝手に置いた仮定の証明の方なんだけど
まさかそこから分かってなかったの？ 馬鹿だね君
105:１３２人目の素数さん
25/09/15 11:02:21.32 Rsum8kdu.net
>>103
>質問の相手を間違えているぞｗ （＾＾
>いま、Vの測度λ(V)について その分散状態に無関係にある決まった測度を付与できる
は君が置いた仮定なんだけど憶えてないの？ 記憶障害？
106:現代数学の系譜 雑談
25/09/15 13:15:25.07 iK+sB2GV.net
>>103 補足
>>100より 再録
URLﾘﾝｸ(www.stat.rice.edu)
Lebesgue Measure on the real line by G. H. Meisters • February 14, 1997
P1
It turns out that it is not possible to define a function µ : 2^R → [0,∞] that satisfies all of these properties. It is possible if we allow our measure to assume “infinitesimal” values; that is, if we take µ : 2^R → [0,∞]∗, where [0,∞]∗ ⊂ R∗, a nonstandard model of R.
(google訳)
これらの性質をすべて満たす関数 µ : 2^R → [0,∞] を定義することは不可能であることが判明した。しかし、測度が「無限小」値をとることを許容すれば、つまり、R の非標準モデルである [0,∞]∗ ⊂ R∗ となる µ : 2^R → [0,∞]∗ を取れば、定義は可能となる。
(引用終り)
さて
１）上記で 2^Rが 実数の冪集合(下記)を意味し
Rの任意の部分集合に 対して
µ : 2^R → [0,∞]∗, where [0,∞]∗ ⊂ R∗, a nonstandard model of R, assume “infinitesimal” values
で、Rの任意の部分集合 に 拡張された測度 µ それは R∗ a nonstandard model of R “infinitesimal”無限小を仮定して
可能だと G. H. Meisters 1997 は 書いた
２）一方 下記 Vitali set（ヴィタリ集合）もまた、Rの部分集合 で 2^R に含まれることは 中高一貫校生も分るだろう
そして 下記 1964年 ソロヴェイ は、フルパワー選択公理無しでは 実数のすべての(部分)集合がルベーグ可測となる とした（但し 到達不可能基数の存在下で）
３）よって、実数の任意部分集合S ⊂R 全てに測度を付与するには 二択で
G. H. Meisters 1997のように “infinitesimal”無限小を仮定して 拡張された測度 µ nonstandard model
か、(到達不可能基数の存在下)フルパワー選択公理無しソロヴェイモデル*) とするのか■
注*) ソロヴェイモデルでは、R/Qの代表を取る Vitali set 類似を 構成できないってこと
G. H. Meisters 1997の証明がない？
それは プロ数学者に聞きなさいｗ ；ｐ）
(参考)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
冪集合
与えられた集合から、その部分集合の全体として新たに作り出される集合のこと
記法
集合 S の冪集合は ・・・
2^S のように記される。2^S という表記は、一般に X^Y が Y から X への写像全体の集合を表すことによる（後述）
つづく
107:現代数学の系譜 雑談
25/09/15 13:15:51.34 iK+sB2GV.net
つづき
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Vitali set
(google訳)
ヴィタリ集合
選択公理の役割
上に示したヴィタリ集合の構成には選択公理が用いられている。ここで疑問が生じる。ルベーグ測定可能でない集合の存在を証明するために選択公理は必要なのだろうか？答えは「はい」である。ただし、到達不可能基数は集合論における最も一般的な公理化、いわゆるZFCと整合している必要がある。
1964年、ロバート・ソロヴェイは、選択公理を用いずに、実数のすべての集合がルベーグ可測となるツェルメロ＝フランケル集合論のモデルを構築した。これはソロヴェイモデルとして知られている。[ 3 ]ソロヴェイは証明において、到達不可能基数の存在はツェルメロ＝フランケル集合論の他の公理と整合的であり、すなわち矛盾を生じないと仮定した。この仮定は集合論者の間では広く正しいと信じているが、ZFCだけでは証明できない。[ 4 ]
1980年、サハロン・シェラは、ソロヴェイの結果は到達不可能基数に関する彼の仮定なしには証明できないことを証明した。[ 4 ]
参考文献
4 ワゴン、スタン。トムコヴィッチ、グジェゴシュ (2016)。バナッハ・タルスキーのパラドックス(第 2 版)。ケンブリッジ大学出版局。296～ページ
＜ここで、英原文 は 下記＞
Role of the axiom of choice
The construction of Vitali sets given above uses the axiom of choice. The question arises: is the axiom of choice needed to prove the existence of sets that are not Lebesgue measurable? The answer is yes, provided that inaccessible cardinals are consistent with the most common axiomatization of set theory, so-called ZFC.
In 1964, Robert Solovay constructed a model of Zermelo–Fraenkel set theory without the axiom of choice where all sets of real numbers are Lebesgue measurable. This is known as the Solovay model.[3]
In his proof, Solovay assumed that the existence of inaccessible cardinals is consistent with the other axioms of Zermelo-Fraenkel set theory, i.e. that it creates no contradictions. This assumption is widely believed to be true by set theorists, but it cannot be proven in ZFC alone.[4]
In 1980, Saharon Shelah proved that it is not possible to establish Solovay's result without his assumption on inaccessible cardinals.[4]
(引用終り)
以上