25/09/05 11:02:56.98 9s+SPZw0.net
>>12
>選択公理を採用しないあるいは否定する立場であれば、ヴィタリ集合はどうなるの？
良い質問ですね by Ikegami
１）ja.wikipedia ヴィタリ集合 より再録 下記 有理数体 Q 実数体 R 普通の加法 で 加法の商群 R/Q
ここまでは 選択公理は 不要です
２）R/Q の元は R の分割の1ピースである。そのピースは不可算個 つまり 集合として R/Q は 非可算だ
選択公理を採用すると 同値類R/Q の 一つの類に対して 一つの代表を決めることができる
例えば、√2=1.414・・を含む類で √2 -1=0.414・・ と平行移動すると 区間[0, 1]内に代表を取れる
また √5=2.2360・・ なら √5 -2=0.2360・・ と-2平行移動すれば 区間[0, 1]内に代表を取れる
これを、全ての無理数でやり尽くすことができるが 選択公理
３）直感的には 選択公理無しでは 無理ゲーと思うだろうが
数学的にもその通りです （同値類が非可測なので フルパワー選択公理要です）
４）では、上記のヴィタリ集合そのものではなく 類似で 選択公理 なしで ルベーグ非可測集合はできないのか？
選択公理 なしでは ルベーグ非可測集合はできない （但し 到達不能基数（inaccessible cardinals）を仮定して）
が、現代数学の結論です（下記 en.wikipediaご参照）
(参考)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ヴィタリ集合（英: Vitali set）とはジュゼッペ・ヴィタリ(Giuseppe Vitali (1905))によって作られたルベーグ非可測な実数集合の基本的な例である[1]。ヴィタリの定理はそのような集合が存在することを保証する存在定理である。不可算個のヴィタリ集合が存在し、それらの存在は選択公理の仮定の下で示される
有理数体 Q は実数体 R の普通の加法についての部分群を成す。なので加法の商群 R/Q (つまり、有理数分の差を持つ実数同士を集めた同値類による剰余群) は有理数集合の互いに交わらない"平行移動コピー"によって出来ている。この群の任意の元はある r ∈ R についての Q + r として書ける。
R/Q の元は R の分割の1ピースである。そのピースは不可算個あり、各ピースはそれぞれ R の中で稠密である。
R/Q の元はどれも [0, 1] と交わっており、選択公理によって [0, 1] の部分集合で、R/Q の代表系になっているものが取れる
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Vitali set
Role of the axiom of choice
The construction of Vitali sets given above uses the axiom of choice.
The question arises: is the axiom of choice needed to prove the existence of sets that are not Lebesgue measurable?
The answer is yes, provided that inaccessible cardinals are consistent with the most common axiomatization of set theory, so-called ZFC.
In 1980, Saharon Shelah proved that it is not possible to establish Solovay's result without his assumption on inaccessible cardinals.[4]