I, I'⊂Rを開区間、写像f: I → I'は全単射で連続とする。このとき、f^(-1)も連続であることを示せ。at MATH

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1:１３２人目の素数さん 25/05/21 08:15:53.84 +jbWUBnt.net 貴様らにできるかな？（笑） 2:１３２人目の素数さん 25/05/21 10:01:37.94 Ey8mdJmB.net 働け 3:１３２人目の素数さん 25/05/21 12:44:34.67 gA/AGcuq.net Lemma: f: I → I'が連続な単射ならば、単調増加または単調減少 Proof: fが単調増加でも単調減少でもないと仮定する。 このとき、a < bかつf(a) > f(b)となるa, b∈Iおよび、c < dかつf(c) < f(d)となるc, d∈Iが取れる。 a, b, c, dの順番（6通り）で場合分けして、それぞれのケースで中間値の定理を使えば、fは単射じゃないとわかる（略）。□ Prop: f: I → I'が連続で単調増加または単調減少ならば、逆関数f^(-1)も連続 Proof: fが単調増加の場合のみ示せばよい。 y∈f(I)を任意の点とする。f(x) = yとなるxが存在する。 正の数εを任意に取る。 fは単調増加なので、f(x - ε) < f(x) < f(x + ε)が成り立つ。 δ = min {|f(x) - f(x - ε)|, |f(x + ε) - f(x)|}/2とおくと、 f(x - ε) < f(x) - δ < f(x) < f(x) + δ < f(x + ε)。 fは連続なので、中間値の定理より、区間(f(x) - δ, f(x) + δ)の任意の点y’に対して、f(x') = y'となるx'∈(x - ε, x + ε)が存在する。よって、 |y - y'| < δ ⇒ |f^(-1)(y) - f^(-1)(y')| = |x - x'| < ε。□

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