25/05/21 10:01:37.94 Ey8mdJmB.net
働け
3:１３２人目の素数さん
25/05/21 12:44:34.67 gA/AGcuq.net
Lemma:
f: I → I'が連続な単射ならば、単調増加または単調減少
Proof:
fが単調増加でも単調減少でもないと仮定する。
このとき、a < bかつf(a) > f(b)となるa, b∈Iおよび、c < dかつf(c) < f(d)となるc, d∈Iが取れる。
a, b, c, dの順番（6通り）で場合分けして、それぞれのケースで中間値の定理を使えば、fは単射じゃないとわかる（略）。□
Prop:
f: I → I'が連続で単調増加または単調減少ならば、逆関数f^(-1)も連続
Proof:
fが単調増加の場合のみ示せばよい。
y∈f(I)を任意の点とする。f(x) = yとなるxが存在する。
正の数εを任意に取る。
fは単調増加なので、f(x - ε) < f(x) < f(x + ε)が成り立つ。
δ = min {|f(x) - f(x - ε)|, |f(x + ε) - f(x)|}/2とおくと、
f(x - ε) < f(x) - δ < f(x) < f(x) + δ < f(x + ε)。
fは連続なので、中間値の定理より、区間(f(x) - δ, f(x) + δ)の任意の点y’に対して、f(x') = y'となるx'∈(x - ε, x + ε)が存在する。よって、
|y - y'| < δ ⇒ |f^(-1)(y) - f^(-1)(y')| = |x - x'| < ε。□
4:１３２人目の素数さん
25/05/21 21:43:23.87 lE8IyQho.net
「I, I'⊂Rを開集合」にすれば、どうか。
（配点5点）
5:１３２人目の素数さん
25/05/21 21:57:45.63 IPQtaOTf.net
全然まったくちっともまるで面白くない拡張もどき