高木貞治『解析概論』

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262:１３２人目の素数さん
 25/12/11 20:57:40.90 K3Iy8nk/.net
g が連続であることを以下で示す。 
 
(1) x ∈ [a, b] ∩ Q とする。 
y ∈ (x - δ, x + δ) ∩ [a, b] ∩ Q とする。 
x, y ∈ [a, b] ∩ Q であるから、 |g(y) - g(x)| < ε/3 < ε である。 
 
y ∈ (x - δ, x + δ) ∩ [a, b] ∩ (R - Q) とする。 
[a, b] ∩ Q の点列 {y_n} で y に収束するようなものが存在する。 
y_n ∈ (x - δ, x + δ) ∩ [a, b] ∩ Q かつ |g(y_n) - g(y)| < ε/3 を満たす n が存在する。 
|g(y) - g(x)| ≦ |g(y_n) - g(y)| + |g(y_n) - g(x)| < (2/3)×ε < ε である。 
 
 
(2) x ∈ [a, b] ∩ (R - Q) とする。 
y ∈ (x - δ/2, x + δ/2) ∩ [a, b] ∩ Q とする。 
[a, b] ∩ Q の点列 {x_n} で x に収束するようなものが存在する。 
x_n ∈ (x - δ/2, x + δ/2) ∩ [a, b] ∩ Q かつ |g(x_n) - g(x)| < ε/3 を満たす n が存在する。 
|g(y) - g(x)| ≦ |g(y) - g(x_n)| + |g(x_n) - g(x)| < (2/3)×ε < ε である。 
 
y ∈ (x - δ/2, x + δ/2) ∩ [a, b] ∩ (R - Q) とする。 
[a, b] ∩ Q の点列 {x_n} で x に収束するようなものが存在する。 
x_m ∈ (x - δ/2, x + δ/2) ∩ [a, b] ∩ Q かつ |g(x_m) - g(x)| < ε/3 を満たす m が存在する。 
[a, b] ∩ Q の点列 {y_n} で y に収束するようなものが存在する。 
y_n ∈ (x - δ/2, x + δ/2) ∩ [a, b] ∩ Q かつ |g(y_n) - g(y)| < ε/3 を満たす n が存在する。 
|g(y) - g(x)| ≦ |g(y_n) - g(y)| + |g(y_n) - g(x_m)| + |g(x_m) - g(x)| < ε である。 
 
(1), (2)から g は連続である。

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